長沙市第一中學2020屆高三數(shù)學月考卷七理含解析

湖南省長沙市第一中學2020屆高三數(shù)學月考卷七理含解析湖南省長沙市第一中學2020屆高三數(shù)學月考卷七理含解析PAGE27-湖南省長沙市第一中學2020屆高三數(shù)學月考卷七理含解析湖南省長沙市第一中學2020屆高三數(shù)學月考卷（七）理（含解析）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題)和第Ⅱ卷（非選擇題)兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2?；卮鸬冖窬頃r,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效.3?；卮鸬冖窬頃r，將答案寫在答題卡，上,寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1。已知全集,,,則（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】計算，再計算得到答案.【詳解】由題，則，故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集和補集的計算，意在考查學生的計算能力.2.已知，則（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由共軛復數(shù)的概念得結(jié)論?！驹斀狻俊?∴。故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．3.函數(shù)的圖像可能是（）．A。 B.C. D.【答案】D【解析】試題分析:∵，∴，∴函數(shù)需向下平移個單位，不過（0，1）點，所以排除A,當時，∴,所以排除B,當時，∴，所以排除C，故選D.考點：函數(shù)圖象的平移.4。的展開式中,項的系數(shù)（）A。20 B.30 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】直接利用二項式定理計算得到答案.【詳解】展開式的通項為。所以的展開式中項的系數(shù)為，故選：C?！军c睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生對于二項式定理的應用。5。2013年華人數(shù)學家張益唐證明了孿生素數(shù)(注：素數(shù)也叫做質(zhì)數(shù)）猜想的一個弱化形式.孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述:存在無窮多個素數(shù)使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù)，從20以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率為（）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意共包含個基本事件,4種情況滿足條件，得到答案.【詳解】依題意,20以內(nèi)的素數(shù)共有8個，從中選兩個共包含個基本事件，而20以內(nèi)的孿生素數(shù)有共四對,包含4個基本事件，所以從20以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成字生素數(shù)的概率為.故選：B?！军c睛】本題考查了概率的計算,意在考查學生的計算能力。6.如圖所示的程序框圖，則輸出的的值分別是(）A.，600， B.1200，500，300C。1100，400，600 D.300,500，1200【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)程序框圖得：①，滿足；②，滿足；③，，不滿足.故輸出的.故選：B.【點睛】本題考查了程序框圖，意在考查學生的理解能力.7。若，,則A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【詳解】【考點定位】本題從常規(guī)角度看考查了三角函數(shù)的求值,其中重點對倍角公式、平方關(guān)系等重點考查。而從答題技巧角度看，只是簡單的代入檢驗，由于給定了，使問題更趨于簡單化8.在平面直角坐標系中,拋物線的焦點為是拋物線上的一點，若的外接圓與拋物線的準線相切，且該圓的面積為，則()A。2 B.4 C。6 D.8【答案】D【解析】【分析】的外接圓圓心應位于線段的垂直平分線上，得到，計算得到答案?！驹斀狻康耐饨訄A半徑為6，的外接圓圓心應位于線段的垂直平分線上,圓心到準線的距離等于6,即有，由此解得，故選：D.【點睛】本題考查了拋物線中參數(shù)的計算,意在考查學生的綜合應用能力。9。在三棱錐中，,為等邊三角形,,是的中點，則異面直線和所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：取的中點,連接,則,所以或其補角就是異面直線和所成角．因為為正三角形，所以．設，因為平面，所以，所以，故選B．考點：1、異面直線所成角；2、線面垂直的性質(zhì)定理；3、余弦定理．【方法點睛】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”,平移的方法一般有三種類型:①利用圖中已有的平行線平移;②利用特殊點（線段的端點或中點)作平行線平移；③補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行．10。直線與雙曲線的漸近線交于兩點，設為雙曲線上任意一點，若(為坐標原點），則下列不等式恒成立的是()A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】不妨設，計算得到,再利用均值不等式得到答案.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為,聯(lián)立直線，解得，∴不妨設,∵，∴，∵為雙曲線上的任意一點，∴，∴，∴(時等號成立），可得,故選：D。【點睛】本題考查了雙曲線和不等式的綜合應用，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力。11。已知函數(shù)，給出下列命題:①,都有成立;②存在常數(shù)恒有成立；③的最大值為；④在上是增函數(shù)。以上命題中正確的為（）A.①②③④ B。②③ C.①②③ D。①②④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和值域依次判斷每個選項得到答案。【詳解】①,為奇函數(shù)，正確；②,為周期函數(shù)，正確；③，令,則，令，得，且為最大值，錯誤;④當時，，所以在上為增函數(shù)，正確。故選：D.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的奇偶性,周期，最值，單調(diào)性，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用。12.已知函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，則的取值范圍為（）A。 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】求導得到在上遞增，在上遞減，得到，計算得到答案?！驹斀狻繒r，；，,∴在上遞增，在上遞減,，即的值域為.令，則，∵在上遞增，在上遞減，要使的值域為,則，∴的取值范圍是，故選:D?！军c睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)值域求參數(shù)，意在考查學生的綜合應用能力。第Ⅱ卷二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分。把各題答案的最簡形式寫在題中的橫線上.13。已知向量，且與共線,則實數(shù)________【答案】【解析】【分析】計算得到，再根據(jù)向量共線計算得到答案?！驹斀狻坑杉褐?，，由于與共線，所以，得.故答案為:?！军c睛】本題考查了根據(jù)向量共線求參數(shù),意在考查學生的計算能力.14。某中學有學生3600名，從中隨機抽取300名調(diào)查他們的居住地與學校之間的距離，其中不超過1公里的學生共有15人，不超過2公里的學生共有45人，由此估計該學校所有學生中居住地到學校的距離在公里的學生有_____人.【答案】360【解析】【分析】直接根據(jù)比例關(guān)系計算得到答案?！驹斀狻恳李}意可知，樣本中公里的人數(shù)所占的比例為，故全體學生中居住地到學校的距離在公里的人數(shù)為人.故答案為:?！军c睛】本題考查了總體的估計，意在考查學生的應用能力。15.如圖所示，在正四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，分別是的中點,，若在同一球面上,則此球的體積為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥空睦忮F的外接球的球心在它的高上,根據(jù)計算得到答案?！驹斀狻坑深}意得，底面是邊長為4的正方形，，故高為2.易知正四棱錐外接球的球心在它的高上，記球心為，則或（此時在的延長線上），在直角中，,解得，所以球的體積為.故答案：.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力。16.如圖，在中，為邊上的點，為上的點，，則__________。【答案】2【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得到,計算，化簡得到答案.【詳解】設.在中，，，由正弦定理得：,即，在中,，由正切定義：，在中,,，由余弦定義：,∴。故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理和三角函數(shù)定義解三角形，意在考查學生的數(shù)形結(jié)合能力和計算能力.三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列和遞增的等比數(shù)列滿足:且，（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）設表示數(shù)列的前項和，若對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1）；（2).【解析】【詳解】試題分析:（1）由題意，設等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為，由,解出,得到；代入方程組得得到;（2）由題意，，由得設，．則當；當;由數(shù)列的單調(diào)可得,，即可得到實數(shù)的取值范圍。試題解析：(1）由題意,設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由則，解得（舍去）或所以；代入方程組得因此，綜上，.（2)由題意,，由得設當；當；由數(shù)列的單調(diào)可得，所以.18。如圖，三棱柱中，。（1)求證：;（2)若平面平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1)見解析；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）如圖，設的中點為，連接，證明平面，得到答案.（2)如圖，建立空間直角坐標系,平面的法向量，再利用向量夾角公式計算得到答案。【詳解】(1）如圖，設的中點為，連接，又設，則.在中，的中點為，故在中,,所以為等邊三角形.又的中點為,所以，因為，，且，所以平面，∵平面，所以，又，所以。（2)因為平面平面，平面平面，且，故平面,如圖，建立空間直角坐標系，則，故,設平面的法向量，則有令，得，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直和線面夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.19。2019年上半年我國多個省市暴發(fā)了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降,一時間豬肉價格暴漲，其他肉類價格也跟著大幅上揚，嚴重影響了居民的生活。為了解決這個問題，我國政府一方面鼓勵有條件的企業(yè)和散戶防控疫情，擴大生產(chǎn)；另一方面積極向多個國家開放豬肉進口，擴大肉源，確保市場供給穩(wěn)定.某大型生豬生產(chǎn)企業(yè)分析當前市場形勢，決定響應政府號召，擴大生產(chǎn)決策層調(diào)閱了該企業(yè)過去生產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數(shù)量之間的關(guān)系”進行研究.現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：生豬存欄數(shù)量(千頭）23458頭豬每天平均成本（元）3。22。421。91.5（1)研究員甲根據(jù)以上數(shù)據(jù)認為與具有線性回歸關(guān)系，請幫他求出關(guān)于的線.性回歸方程（保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）(2)研究員乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出與的回歸模型:。為了評價兩種模型的擬合效果，請完成以下任務:①完成下表（計算結(jié)果精確到0。01元）(備注:稱為相應于點的殘差）；生豬存欄數(shù)量（千頭）23458頭豬每天平均成本(元）3。22.421.91.5模型甲估計值殘差模型乙估計值3.22.421.761.4殘差0000。140.1②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較的大小，判斷哪個模型擬合效果更好.（3）根據(jù)市場調(diào)查,生豬存欄數(shù)量達到1萬頭時，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7。5元;生豬存欄數(shù)量達到1.2萬頭時，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7。2元若按(2）中擬合效果較好的模型計算一天中一頭豬的平均成本，問該生豬存欄數(shù)量選擇1萬頭還是1。2萬頭能獲得更多利潤？請說明理由.（利潤=收入—成本）參考公式：。參考數(shù)據(jù)：?！敬鸢浮?1）；(2)模型的擬合效果更好；（3）選擇生豬存欄數(shù)量1。2萬頭能獲得更多利潤。【解析】分析】（1)利用公式直接計算得到答案.（2）計算得到，得到答案。（3）根據(jù)模型分別計算利潤，比較大小得到答案.【詳解】（1）由題知:，，，故.（2）①經(jīng)計算,可得下表：生豬存欄數(shù)量(千頭）23458頭豬每天平均成本(元）3。22.421.91。5模型甲估計值2.802。552。302。051.30殘差0。400.20模型乙估計值322。421.761。4殘差0000。140。1，因為，故模型擬合效果更好。（3)若生豬存欄數(shù)量達到1萬頭，由(2）模型乙可知，每頭豬的成本為元，這樣一天獲得的總利潤為（元);若生豬存欄數(shù)量達到1。2萬頭，由（2）模型乙可知，每頭豬的成本為元,這樣一天獲得的總利潤為（元），因為,所以選擇生豬存欄數(shù)量1.2萬頭能獲得更多利潤?！军c睛】本題考查了回歸方程的計算和應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.20.已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足。（1）求出動點的軌跡的標準方程;(2）設動直線與曲線有且僅有一個公共點，與圓相交于兩點（兩點均不在坐標軸上），求直線的斜率之積。【答案】(1）；（2)。【解析】【分析】（1)計算得到，根據(jù)，計算得到答案.（2)討論直線的斜率存在和直線的斜率不存在兩種情況，計算得到答案.【詳解】（1）因為，即所以，所以又因為，所以,即，即。所以曲線的標準方程為.（2）當直線的斜率存在時，設的方程為。由方程組得.∵直線與橢圓有且僅有一個公共點,∴,即。由方程組得，則。設,則，設直線的斜率分別為,所以，將代入上式，得.當直線的斜率不存在時，由題意知的方程為。此時,圓與的交點也滿足.綜上，直線的斜率之積為定值。【點睛】本題考查了橢圓的軌跡問題,橢圓內(nèi)的定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.21.已知函數(shù)（為常數(shù)）.(1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在內(nèi)有極值，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【答案】(1）當時，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù),在上是減函數(shù)；（2)當時，;當時，；當時，。見解析【解析】【分析】（1）求導得到,討論，,三種情況計算得到答案。（2）根據(jù)題意有一變號零點在區(qū)間上，得到，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案?！驹斀狻浚?)定義域為,設當時，，此時,從而恒成立,故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)圖象開口向上,對稱軸，又所以此時，從而恒成立，故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；當時，，設有兩個不同的實根,共中，令,則,令，得或；令，得或，故函數(shù)在上是增函數(shù),在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù).綜上，當時，函數(shù)在上是增函數(shù),在上是增函數(shù)；當時,函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）要使在上有極值，由（1）知，①則有一變號零點在區(qū)間上，不妨設，又因為，∴，又，∴只需,即,∴，②聯(lián)立①②可得：。從而與均為正數(shù).要比較與的大小，同取自然底數(shù)的對數(shù)，即比較與的大小，再轉(zhuǎn)化為比較與的大小。構(gòu)造函數(shù)，則，再設,則，從而在上單調(diào)遞減，此時，故在上恒成立，則在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，；當時，；當時,.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，利用導數(shù)比較函數(shù)值大小,意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答,若多做，