三角函數(shù)與二次函數(shù)專題

..三角函數(shù)與二次函數(shù)專題一．解答題〔共30小題1．〔2012?涇川縣校級(jí)模擬計(jì)算：〔1．〔2．2．〔1998?XX求的值．3．〔2013?XX如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是BC邊上的中線,∠C=45°,sinB=,AD=1．〔1求BC的長(zhǎng)；〔2求tan∠DAE的值．4．〔2013?渝中區(qū)校級(jí)模擬如圖,在△ABC中,∠C=30°,AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,求DC的長(zhǎng)．〔結(jié)果保留根號(hào)5．〔2013?XX模擬如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上一點(diǎn),AC=2,CD=1,設(shè)∠CAD=a．〔1求sina、cosa、tana的值；〔2若∠B=∠CAD,求BD的長(zhǎng)．6．〔2013?南岸區(qū)校級(jí)模擬如圖,AD是△ABC中BC邊上的高,且∠B=30°,∠C=45°,CD=2．求BC的長(zhǎng)．7．〔2011?棗莊如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,連接EF．〔1證明：EF=CF；〔2當(dāng)tan∠ADE=時(shí),求EF的長(zhǎng)．8．〔2013?XX20XX3月,某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸,該地救援隊(duì)立即趕赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行救援,救援隊(duì)利用生命探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到C處有生命跡象．已知A、B兩點(diǎn)相距4米,探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和45°,試確定生命所在點(diǎn)C的深度．〔精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：9．〔2013?眉山如圖,某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)江邊一處長(zhǎng)500米,高10米,背水坡的坡角為45°的防洪大堤〔橫斷面為梯形ABCD急需加固．經(jīng)調(diào)查論證,防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進(jìn)行加固,并使上底加寬3米,加固后背水坡EF的坡比i=1：．〔1求加固后壩底增加的寬度AF；〔2求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米？〔結(jié)果保留根號(hào)10．〔2013?XX如圖,某幼兒園為了加強(qiáng)安全管理,決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜度由45°降為30°,已知原滑滑板AB的長(zhǎng)為5米,點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少？〔精確到0.01〔參考數(shù)據(jù)：=1.414,=1.732,=2.44911．〔2011?XX圖1是安裝在斜屋面上的熱水器,圖2是安裝該熱水器的側(cè)面示意圖．已知,斜屋面的傾斜角為25°,長(zhǎng)為2.1米的真空管AB與水平線AD的夾角為40°,安裝熱水器的鐵架水平橫管BC長(zhǎng)0.2米,求〔1真空管上端B到AD的距離〔結(jié)果精確到0.01米；〔2鐵架垂直管CE的長(zhǎng)〔結(jié)果精確到0.01米．12．〔2011?XX某校初三年級(jí)"數(shù)學(xué)興趣小組"實(shí)地測(cè)量操場(chǎng)旗桿的高度．旗桿的影子落在操場(chǎng)和操場(chǎng)邊的土坡上,如圖所示,測(cè)得在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)BC=20m,斜坡上的影長(zhǎng)CD=8m,已知斜坡CD與操場(chǎng)平面的夾角為30°,同時(shí)測(cè)得身高l.65m的學(xué)生在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)為3.3m．求旗桿AB的高度．〔結(jié)果精確到1m〔提示：同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比．參考數(shù)據(jù)：≈1.414.≈1.732.≈2.23613．〔2011?通州區(qū)二模某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱恰踩鐖D,該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市,超市以上是居民住房．在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線的夾角為32°時(shí)．〔1問(wèn)超市以上的居民住房采光是否有影響,為什么？〔2若要使超市采光不受影響,兩樓應(yīng)相距多少米？〔結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：14．〔2015?XX如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．〔1求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；〔2在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)N,使△NAC的面積最大？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．15．〔2015?XX如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A〔﹣3,0和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C〔0,3．〔1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2若點(diǎn)P在拋物線上,且S△AOP=4SBOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3如圖b,設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作DQ⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DQ長(zhǎng)度的最大值．16．〔2015?內(nèi)江如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)A〔﹣,0、點(diǎn)B〔2,0,與y軸交于點(diǎn)C〔0,1,連接BC．〔1求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2點(diǎn)N為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t〔﹣＜t＜2,求△ABN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；〔3若﹣＜t＜2且t≠0時(shí)△OPN∽△COB,求點(diǎn)N的坐標(biāo)．17．〔2015?XX已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔﹣1,0,點(diǎn)C的坐標(biāo)是〔0,﹣3．〔1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2求直線BC的函數(shù)表達(dá)式和∠ABC的度數(shù)；〔3P為線段BC上一點(diǎn),連接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．〔2015?德陽(yáng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交于點(diǎn)A〔1,0和點(diǎn)B〔﹣3,0,與y軸交于點(diǎn)C,且OC=OB．〔1求此拋物線的解析式；〔2若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．19．〔2015?XX如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A〔﹣1,0,B〔3,0兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C．該拋物線的頂點(diǎn)為M．〔1求該拋物線的解析式；〔2判斷△BCM的形狀,并說(shuō)明理由；〔3探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．20．〔2015?XX如圖,已知拋物線y=﹣〔x+2〔x﹣m〔m＞0與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．〔1若拋物線過(guò)點(diǎn)G〔2,2,求實(shí)數(shù)m的值；〔2在〔1的條件下,解答下列問(wèn)題：①求出△ABC的面積；②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H,使AH+CH最小,并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；〔3在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在,求m的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．21．〔2015?XX已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1,0、C〔0,3,與x軸交于另一點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn)為D．〔1求此二次函數(shù)解析式；〔2連接DC、BC、DB,求證：△BCD是直角三角形；〔3在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC為等腰三角形？若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．22．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=﹣且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．〔1①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．〔2若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC．求△PAC的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．〔3拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．23．〔2015?XX已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣4的圖象與y軸的交點(diǎn)為C,與x軸正半軸的交點(diǎn)為A,且tan∠ACO=〔1求二次函數(shù)的解析式；〔2P為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),Q為其對(duì)稱軸上的一點(diǎn),QC平分∠PQO,求Q點(diǎn)坐標(biāo)；〔3是否存在實(shí)數(shù)x1、x2〔x1＜x2,當(dāng)x1≤x≤x2時(shí),y的取值范圍為≤y≤？若存在,直接寫在x1,x2的值；若不存在,說(shuō)明理由．24．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l⊥y軸于點(diǎn)B〔0,﹣2,A為OB的中點(diǎn),以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+c與x軸交于C、D兩點(diǎn),且CD=4,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心,PO為半徑畫圓．〔1求拋物線的解析式；〔2若⊙P與y軸的另一交點(diǎn)為E,且OE=2,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由．25．〔2015?XX如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．〔1求拋物線的解析式；〔2如圖,點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△BEC面積最大時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值？〔3在〔2的結(jié)論下,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M,連接AM,點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．26．〔2015?XX如圖,拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點(diǎn)A〔﹣1,0,B〔4,,點(diǎn)D是拋物線A,B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)A,B重合,直線CD與y軸平行,交直線AB于點(diǎn)C,連接AD,BD．〔1求拋物線的解析式；〔2設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△ADB的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．27．〔2015?XX如圖1,關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣3,0,點(diǎn)C〔0,3,點(diǎn)D為二次函數(shù)的頂點(diǎn),DE為二次函數(shù)的對(duì)稱軸,E在x軸上．〔1求拋物線的解析式；〔2DE上是否存在點(diǎn)P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點(diǎn)P,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3如圖2,DE的左側(cè)拋物線上是否存在點(diǎn)F,使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．28．〔2015?濰坊二模已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且m＜n,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔m,0、B〔0,n．〔1求這個(gè)拋物線的解析式；〔2設(shè)〔1中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D,試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；〔注：拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔3P是線段OC上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸,與拋物線交于H點(diǎn),若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．29．〔2015?劍川縣三模已知：如圖所示,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A〔1,0,B〔3,0．〔1求拋物線的解析式；〔2設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng),且滿足條件S△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C,問(wèn)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得△MAC的周長(zhǎng)最??？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．30．〔2015?濰坊模擬如圖1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a＞0的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)的坐標(biāo)為〔3,0,OB=OC,tan∠ACO=．〔1求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．〔2經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線,與x軸交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo)．〔3平行于x軸的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓與x軸相切,求圓的半徑．〔4如圖2,若點(diǎn)G〔2,y是該拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積．參考答案與試題解析一．解答題〔共30小題1．〔2012?涇川縣校級(jí)模擬計(jì)算：〔1．〔2．[考點(diǎn)]特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運(yùn)算．[專題]計(jì)算題；壓軸題．[分析]〔1把tan30°=,sin60°=,cos60°=代入,然后分母有理化后合并同類二次根式即可；〔2根據(jù)零指數(shù)冪和sin45°=得到原式=1+2﹣6×+〔﹣1,再進(jìn)行乘法運(yùn)算后合并即可．[解答]解：〔1原式=+=+=2﹣+=2；〔2原式=1+2﹣6×+〔﹣1=1+2﹣3﹣1=﹣．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：tan30°=,sin45°=,sin60°=,cos60°=．也考查了零指數(shù)冪以及二次根式的混合運(yùn)算．2．〔1998?XX求的值．[考點(diǎn)]特殊角的三角函數(shù)值．[專題]壓軸題；探究型．[分析]先把各特殊角的三角函數(shù)值值代入,再按照實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．[解答]解：原式==﹣2﹣4．[點(diǎn)評(píng)]本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值,熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．3．〔2013?XX如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是BC邊上的中線,∠C=45°,sinB=,AD=1．〔1求BC的長(zhǎng)；〔2求tan∠DAE的值．[考點(diǎn)]解直角三角形．[專題]壓軸題．[分析]〔1先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°,再解Rt△ADC,得出DC=1；解Rt△ADB,得出AB=3,根據(jù)勾股定理求出BD=2,然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解；〔2先由三角形的中線的定義求出CE的值,則DE=CE﹣CD,然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．[解答]解：〔1在△ABC中,∵AD是BC邊上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1．在△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1；〔2∵AE是BC邊上的中線,∴CE=BC=+,∴DE=CE﹣CD=﹣,∴tan∠DAE==﹣．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了三角形的高、中線的定義,勾股定理,解直角三角形,難度中等,分別解Rt△ADC與Rt△ADB,得出DC=1,AB=3是解題的關(guān)鍵．4．〔2013?渝中區(qū)校級(jí)模擬如圖,在△ABC中,∠C=30°,AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,求DC的長(zhǎng)．〔結(jié)果保留根號(hào)[考點(diǎn)]解直角三角形．[專題]計(jì)算題；壓軸題．[分析]在直角△ABD中,cos∠B=,BD=6,可得,AB=10,AD=8,在直角△ACD中,CD=cot30°×AD,解答出即可．[解答]解：∵AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,∴在直角△ABD中,得,AB===10,AD===8,∴在直角△ACD中,∠C=30°,CD=cot30°×AD,=×8,=．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了直角三角形勾股定理及三角函數(shù)的應(yīng)用,熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．5．〔2013?XX模擬如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上一點(diǎn),AC=2,CD=1,設(shè)∠CAD=a．〔1求sina、cosa、tana的值；〔2若∠B=∠CAD,求BD的長(zhǎng)．[考點(diǎn)]解直角三角形．[專題]計(jì)算題；壓軸題．[分析]〔1根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念來(lái)求解．〔2由∠B=∠CAD=α和〔1求得的tanα,根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)求出BC,從而求出BD的長(zhǎng)．[解答]解：在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD==．〔1sinα===,cosα===,tanα==；〔2在Rt△ABC中,tanB=,即tanα==,∴BC=4,∴BD=BC﹣CD=4﹣1=3．[點(diǎn)評(píng)]考查綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì),進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力．6．〔2013?南岸區(qū)校級(jí)模擬如圖,AD是△ABC中BC邊上的高,且∠B=30°,∠C=45°,CD=2．求BC的長(zhǎng)．[考點(diǎn)]解直角三角形．[專題]壓軸題．[分析]先在Rt△ACD中,運(yùn)用正切函數(shù)的定義得出AD=CD=2,然后在Rt△ABD中,運(yùn)用正切函數(shù)的定義得出BD=,則根據(jù)BC=BD+CD即可求解．[解答]解：∵AD是△ABC中BC邊上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90．在Rt△ACD中,∵tanC===tan45°=1,∴AD=2．在Rt△ABD中,∵tanB===tan30°=,∴BD=．∴BC=BD+CD=+2,即BC的長(zhǎng)為+2．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用,要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．7．〔2011?棗莊如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,連接EF．〔1證明：EF=CF；〔2當(dāng)tan∠ADE=時(shí),求EF的長(zhǎng)．[考點(diǎn)]解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理；直角梯形．[專題]計(jì)算題；證明題；壓軸題．[分析]〔1過(guò)D作DG⊥BC于G,由已知可得四邊形ABGD為正方形,然后利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明△ADE≌△GDC,接著利用全等三角形的性質(zhì)證明△EDF≌△CDF,〔2由tan∠ADE=根據(jù)已知條件可以求出AE=GC=2．設(shè)EF=x,則BF=8﹣CF=8﹣x,BE=4．在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可求出x,也就求出了EF．[解答]〔1證明：過(guò)D作DG⊥BC于G．由已知可得四邊形ABGD為正方形,∵DE⊥DC．∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC且AD=GD,∴△ADE≌△GDC,∴DE=DC且AE=GC．在△EDF和△CDF中,∴△EDF≌△CDF,∴EF=CF；〔2解：∵tan∠ADE==,∴AE=GC=2．∴BC=8,BE=4,設(shè)CF=x,則BF=8﹣CF=8﹣x,在Rt△BEF中,由勾股定理得：x2=〔8﹣x2+42,解得x=5,即EF=5．[點(diǎn)評(píng)]本題考查梯形、正方形、直角三角形的相關(guān)知識(shí)．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線,把梯形分割為矩形和直角三角形,從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來(lái)求解．8．〔2013?XX20XX3月,某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸,該地救援隊(duì)立即趕赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行救援,救援隊(duì)利用生命探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到C處有生命跡象．已知A、B兩點(diǎn)相距4米,探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和45°,試確定生命所在點(diǎn)C的深度．〔精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：[考點(diǎn)]解直角三角形的應(yīng)用．[專題]壓軸題．[分析]過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,設(shè)CD=x,在Rt△ACD中表示出AD,在Rt△BCD中表示出BD,再由AB=4米,即可得出關(guān)于x的方程,解出即可．[解答]解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,設(shè)CD=x,在Rt△ACD中,∠CAD=30°,則AD=CD?cot30°=CD=x,在Rt△BCD中,∠CBD=45°,則BD=CD=x,由題意得,AD﹣BD=AB,即x﹣x=4,解得：x==2〔+1≈5.5．答：生命所在點(diǎn)C的深度為5.5米．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)知識(shí)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度,注意方程思想的運(yùn)用．9．〔2013?眉山如圖,某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)江邊一處長(zhǎng)500米,高10米,背水坡的坡角為45°的防洪大堤〔橫斷面為梯形ABCD急需加固．經(jīng)調(diào)查論證,防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進(jìn)行加固,并使上底加寬3米,加固后背水坡EF的坡比i=1：．〔1求加固后壩底增加的寬度AF；〔2求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米？〔結(jié)果保留根號(hào)[考點(diǎn)]解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．[專題]應(yīng)用題；壓軸題．[分析]〔1分別過(guò)E、D作AB的垂線,設(shè)垂足為G、H．在Rt△EFG中,根據(jù)坡面的鉛直高度〔即壩高及坡比,即可求出水平寬FG的長(zhǎng)；同理可在Rt△ADH中求出AH的長(zhǎng)；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的長(zhǎng)．〔2已知了梯形AFED的上下底和高,易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長(zhǎng)即為所需的土石的體積．[解答]解：〔1分別過(guò)點(diǎn)E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四邊形ABCD是梯形,且AB∥CD,∴DH平行且等于EG．故四邊形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中,AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10〔米．在Rt△FGE中,i==,∴FG=EG=10〔米．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7〔米；〔2加寬部分的體積V=S梯形AFED×壩長(zhǎng)=×〔3+10﹣7×10×500=25000﹣10000〔立方米．答：〔1加固后壩底增加的寬度AF為〔10﹣7米；〔2完成這項(xiàng)工程需要土石〔25000﹣10000立方米．[點(diǎn)評(píng)]此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力．10．〔2013?XX如圖,某幼兒園為了加強(qiáng)安全管理,決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜度由45°降為30°,已知原滑滑板AB的長(zhǎng)為5米,點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少？〔精確到0.01〔參考數(shù)據(jù)：=1.414,=1.732,=2.449[考點(diǎn)]解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．[專題]壓軸題．[分析]在Rt△ABC中,根據(jù)AB=5米,∠ABC=45°,求出AC的長(zhǎng)度,然后在Rt△ADC中,解直角三角形求AD的長(zhǎng)度,用AD﹣AB即可求出滑板加長(zhǎng)的長(zhǎng)度．[解答]解：在Rt△ABC中,∵AB=5,∠ABC=45°,∴AC=ABsin45°=5×=,在Rt△ADC中,∠ADC=30°,∴AD==5=5×1.414=7.07,AD﹣AB=7.07﹣5=2.07〔米．答：改善后滑滑板約會(huì)加長(zhǎng)2.07米．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,利用這兩個(gè)直角三角形公共的直角邊解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．11．〔2011?XX圖1是安裝在斜屋面上的熱水器,圖2是安裝該熱水器的側(cè)面示意圖．已知,斜屋面的傾斜角為25°,長(zhǎng)為2.1米的真空管AB與水平線AD的夾角為40°,安裝熱水器的鐵架水平橫管BC長(zhǎng)0.2米,求〔1真空管上端B到AD的距離〔結(jié)果精確到0.01米；〔2鐵架垂直管CE的長(zhǎng)〔結(jié)果精確到0.01米．[考點(diǎn)]解直角三角形的應(yīng)用；矩形的判定與性質(zhì)．[專題]壓軸題；數(shù)形結(jié)合．[分析]〔1過(guò)B作BF⊥AD于F．構(gòu)建Rt△ABF中,根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值即可求出答案．〔2根據(jù)BF的長(zhǎng)可求出AF的長(zhǎng),再判定出四邊形BFDC是矩形,可求出AD與ED的長(zhǎng),再用CD的長(zhǎng)減去ED的長(zhǎng)即可解答．[解答]解：〔1過(guò)B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中,∵sin∠BAF=,∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距離約為1.35米．…〔4分〔2在Rt△ABF中,∵cos∠BAF=,∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos40°≈1.609．…〔6分∵BF⊥AD,CD⊥AD,又BC∥FD,∴四邊形BFDC是矩形．∴BF=CD,BC=FD．…〔7分在Rt△EAD中,∵tan∠EAD=,∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844．…〔9分∴CE=CD﹣ED=1.350﹣0.844=0.506≈0.51∴安裝鐵架上垂直管CE的長(zhǎng)約為0.51米．…〔10分[點(diǎn)評(píng)]本題以常見的太陽(yáng)能為背景,考查了學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,又讓學(xué)生感受到生活處處有數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活中有著廣泛的作用．12．〔2011?XX某校初三年級(jí)"數(shù)學(xué)興趣小組"實(shí)地測(cè)量操場(chǎng)旗桿的高度．旗桿的影子落在操場(chǎng)和操場(chǎng)邊的土坡上,如圖所示,測(cè)得在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)BC=20m,斜坡上的影長(zhǎng)CD=8m,已知斜坡CD與操場(chǎng)平面的夾角為30°,同時(shí)測(cè)得身高l.65m的學(xué)生在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)為3.3m．求旗桿AB的高度．〔結(jié)果精確到1m〔提示：同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比．參考數(shù)據(jù)：≈1.414.≈1.732.≈2.236[考點(diǎn)]解直角三角形的應(yīng)用．[專題]壓軸題．[分析]根據(jù)已知條件,過(guò)D分別作BC、AB的垂線,設(shè)垂足為E、F；在Rt△DCE中,已知斜邊CD的長(zhǎng),和∠DCE的度數(shù),滿足解直角三角形的條件,可求出DE、CE的長(zhǎng)．即可求得DF、BF的長(zhǎng)；在Rt△ADF中,根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比求出DF的長(zhǎng),即可求得AF的長(zhǎng),進(jìn)而AB=AF+BF可求出．[解答]解：過(guò)D作DE垂直BC的延長(zhǎng)線于E,且過(guò)D作DF⊥AB于F,∵在Rt△DEC中,CD=8米,∠DCE=30°∴DE=4米,CE=4米,∴BF=4米,DF=〔20+4米,∵身高l.65m的學(xué)生在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)為3.3m．∴=,則AF=〔10+2米,AB=AF+BF=10+2+4=〔14+2≈17米．∴電線桿的高度為17米．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,應(yīng)用問(wèn)題盡管題型千變?nèi)f化,但關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問(wèn)題,必要時(shí)應(yīng)添加輔助線,構(gòu)造出直角三角形．13．〔2011?通州區(qū)二模某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱恰踩鐖D,該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市,超市以上是居民住房．在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線的夾角為32°時(shí)．〔1問(wèn)超市以上的居民住房采光是否有影響,為什么？〔2若要使超市采光不受影響,兩樓應(yīng)相距多少米？〔結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：[考點(diǎn)]解直角三角形的應(yīng)用．[專題]計(jì)算題；壓軸題．[分析]〔1利用三角函數(shù)算出陽(yáng)光可能照到居民樓的什么高度,和6米進(jìn)行比較．〔2超市不受影響,說(shuō)明32°的陽(yáng)光應(yīng)照射到樓的底部,根據(jù)新樓的高度和32°的正切值即可計(jì)算．[解答]解：〔1如圖,設(shè)CE=x米,則AF=〔20﹣x米,,即20﹣x=15?tan32°,x≈11,∵11＞6,∴居民住房的采光有影響．〔2如圖：,=32〔米．故兩樓應(yīng)相距32米．[點(diǎn)評(píng)]本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．需注意直角三角形的構(gòu)造是常用的輔助線方法．14．〔2015?XX如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．〔1求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；〔2在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的周長(zhǎng)最??？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)N,使△NAC的面積最大？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x﹣1〔x﹣5,代入A〔0,4即可求得函數(shù)的解析式,則可求得拋物線的對(duì)稱軸；〔2點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為〔6,4,連接BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小,可求出直線BA′的解析式,即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．〔3在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,此時(shí)點(diǎn)N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,再求得直線AC的解析式,即可求得NG的長(zhǎng)與△ACN的面積,由二次函數(shù)最大值的問(wèn)題即可求得答案．[解答]解：〔1根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x﹣1〔x﹣5,把點(diǎn)A〔0,4代入上式得：a=,∴y=〔x﹣1〔x﹣5=x2﹣x+4=〔x﹣32﹣,∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=3；〔2P點(diǎn)坐標(biāo)為〔3,．理由如下：∵點(diǎn)A〔0,4,拋物線的對(duì)稱軸是x=3,∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為〔6,4如圖1,連接BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小．設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b,把A′〔6,4,B〔1,0代入得,解得,∴y=x﹣,∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,∴y=×3﹣=,∴P〔3,．〔3在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,此時(shí)點(diǎn)N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,如圖2,過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D,由點(diǎn)A〔0,4和點(diǎn)C〔5,0可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4,把x=t代入得：y=﹣t+4,則G〔t,﹣t+4,此時(shí)：NG=﹣t+4﹣〔t2﹣t+4=﹣t2+4t,∵AD+CF=CO=5,∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG?OC=×〔﹣t2+4t×5=﹣2t2+10t=﹣2〔t﹣2+,∴當(dāng)t=時(shí),△CAN面積的最大值為,由t=,得：y=t2﹣t+4=﹣3,∴N〔,﹣3．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用．15．〔2015?XX如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A〔﹣3,0和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C〔0,3．〔1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2若點(diǎn)P在拋物線上,且S△AOP=4SBOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3如圖b,設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作DQ⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DQ長(zhǎng)度的最大值．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式,列出關(guān)于系數(shù)的方程組,通過(guò)解方程組求得系數(shù)的值；〔2設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔x,﹣x2﹣2x+3,根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3,再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為〔x,x+3,則D點(diǎn)坐標(biāo)為〔x,x2+2x﹣3,然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值．[解答]解：〔1把A〔﹣3,0,C〔0,3代入y=﹣x2+bx+c,得,解得．故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．〔2由〔1知,該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,則易得B〔1,0．∵S△AOP=4S△BOC,∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理,得〔x+12=0或x2+2x﹣7=0,解得x=﹣1或x=﹣1±2．則符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：〔﹣1,4或〔﹣1+2,﹣4或〔﹣1﹣2,﹣4；〔3設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t,將A〔﹣3,0,C〔0,3代入,得,解得．即直線AC的解析式為y=x+3．設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為〔x,x+3,〔﹣3≤x≤0,則D點(diǎn)坐標(biāo)為〔x,﹣x2﹣2x+3,QD=〔﹣x2﹣2x+3﹣〔x+3=﹣x2﹣3x=﹣〔x+2+,∴當(dāng)x=﹣時(shí),QD有最大值．[點(diǎn)評(píng)]此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問(wèn)題．此題難度適中,解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．16．〔2015?內(nèi)江如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)A〔﹣,0、點(diǎn)B〔2,0,與y軸交于點(diǎn)C〔0,1,連接BC．〔1求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2點(diǎn)N為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t〔﹣＜t＜2,求△ABN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；〔3若﹣＜t＜2且t≠0時(shí)△OPN∽△COB,求點(diǎn)N的坐標(biāo)．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的性質(zhì)．[專題]壓軸題．[分析]〔1可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；〔2當(dāng)﹣＜t＜2時(shí),點(diǎn)N在x軸的上方,則NP等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo),只需求出AB,就可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；〔3根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．由于PO=,需分﹣＜t＜0和0＜t＜2兩種情況討論,由PN=2PO得到關(guān)于t的方程,解這個(gè)方程,就可解決問(wèn)題．[解答]解：〔1設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,由題可得：,解得：,∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+x+1；〔2當(dāng)﹣＜t＜2時(shí),yN＞0,∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1,∴S=AB?PN=×〔2+×〔﹣t2+t+1=〔﹣t2+t+1=﹣t2+t+；〔3∵△OPN∽△COB,∴=,∴=,∴PN=2PO．①當(dāng)﹣＜t＜0時(shí),PN==yN=﹣t2+t+1,PO==﹣t,∴﹣t2+t+1=﹣2t,整理得：3t2﹣9t﹣2=0,解得：t1=,t2=．∵＞0,﹣＜＜0,∴t=,此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔,；②當(dāng)0＜t＜2時(shí),PN==yN=﹣t2+t+1,PO==t,∴﹣t2+t+1=2t,整理得：3t2﹣t﹣2=0,解得：t3=﹣,t4=1．∵﹣＜0,0＜1＜2,∴t=1,此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔1,2．綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔,或〔1,2．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí),需要注意的是：用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度時(shí),應(yīng)先用坐標(biāo)的絕對(duì)值表示線段的長(zhǎng)度,然后根據(jù)坐標(biāo)的正負(fù)去絕對(duì)值；解方程后要檢驗(yàn),不符合條件的解要舍去．17．〔2015?XX已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔﹣1,0,點(diǎn)C的坐標(biāo)是〔0,﹣3．〔1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2求直線BC的函數(shù)表達(dá)式和∠ABC的度數(shù)；〔3P為線段BC上一點(diǎn),連接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1直接將A,C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求出即可；〔2首先求出B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,進(jìn)而利用CO,BO的長(zhǎng)求出∠ABC的度數(shù)；〔3利用∠ACB=∠PAB,結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出BP的長(zhǎng),進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．[解答]解：〔1將點(diǎn)A的坐標(biāo)〔﹣1,0,點(diǎn)C的坐標(biāo)〔0,﹣3代入拋物線解析式得：,解得：,故拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；〔2由〔1得：0=x2﹣2x﹣3,解得：x1=﹣1,x2=3,故B點(diǎn)坐標(biāo)為：〔3,0,設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d,則,解得：,故直線BC的解析式為：y=x﹣3,∵B〔3,0,C〔0,﹣3,∴BO=OC=3,∴∠ABC=45°；〔3過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,∵∠ACB=∠PAB,∠ABC=∠PBA,∴△ABP∽△CBA,∴=,∵BO=OC=3,∴BC=3,∵A〔﹣1,0,B〔3,0,∴AB=4,∴=,解得：BP=,由題意可得：PD∥OC,∴DB=DP=,∴OD=3﹣=,則P〔,﹣．[點(diǎn)評(píng)]此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識(shí),熟練應(yīng)用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解題關(guān)鍵．18．〔2015?德陽(yáng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交于點(diǎn)A〔1,0和點(diǎn)B〔﹣3,0,與y軸交于點(diǎn)C,且OC=OB．〔1求此拋物線的解析式；〔2若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1已知拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn),可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；〔2由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形,因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算,過(guò)E作EF⊥x軸于F,四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中,FO為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值,EF為E的縱坐標(biāo),已知C的縱坐標(biāo),就知道了OC的長(zhǎng)．在三角形BFE中,BF=BO﹣OF,因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng)．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo),然后代入上面的線段中,即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)；〔3由P在拋物線的對(duì)稱軸上,設(shè)出P坐標(biāo)為〔﹣1,m,如圖所示,過(guò)A′作A′N⊥對(duì)稱軸于N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對(duì)邊相等,再由同角的余角相等得到一對(duì)角相等,根據(jù)一對(duì)直角相等,利用AAS得到△A′NP≌△PMA,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到A′N=PM=|m|,PN=AM=2,表示出A′坐標(biāo),將A′坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出相應(yīng)m的值,即可確定出P的坐標(biāo)．[解答]解：〔1∵拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交于點(diǎn)A〔1,0和點(diǎn)B〔﹣3,0,∴OB=3,∵OC=OB,∴OC=3,∴c=3,∴,解得：,∴所求拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；〔2如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E〔a,﹣a2﹣2a+3〔﹣3＜a＜0,∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a,∴S四邊形BOCE=BF?EF+〔OC+EF?OF,=〔a+3?〔﹣a2﹣2a+3+〔﹣a2﹣2a+6?〔﹣a,=﹣﹣a+,=﹣〔a+2+,∴當(dāng)a=﹣時(shí),S四邊形BOCE最大,且最大值為．此時(shí),點(diǎn)E坐標(biāo)為〔﹣,；〔3∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱軸為x=﹣1,點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,∴設(shè)P〔﹣1,m,∵線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上,①當(dāng)m≥0時(shí),∴PA=PA1,∠APA1=90°,如圖3,過(guò)A1作A1N⊥對(duì)稱軸于N,設(shè)對(duì)稱軸于x軸交于點(diǎn)M,∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°,∴∠NA1P=∠NPA,在△A1NP與△PMA中,,∴△A1NP≌△PMA,∴A1N=PM=m,PN=AM=2,∴A1〔m﹣1,m+2,代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣〔m﹣12﹣2〔m﹣1+3,解得：m=1,m=﹣2〔舍去,②當(dāng)m＜0時(shí),要使P2A=P2A,2,由圖可知A2點(diǎn)與B點(diǎn)重合,∵∠AP2A2=90°,∴MP2=MA=2,∴P2〔﹣1,﹣2,∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P〔﹣1,1或〔﹣1,﹣2．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì),四邊形的面積,綜合性較強(qiáng),難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．19．〔2015?XX如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A〔﹣1,0,B〔3,0兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C．該拋物線的頂點(diǎn)為M．〔1求該拋物線的解析式；〔2判斷△BCM的形狀,并說(shuō)明理由；〔3探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；〔2根據(jù)B、C、M的坐標(biāo),可求得△BCM三邊的長(zhǎng),然后判斷這三條邊的長(zhǎng)是否符合勾股定理即可；〔3假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)；首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標(biāo)及〔2題所得△BDC三邊的比例關(guān)系,即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求,因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與△COA相似,那么分別過(guò)A、C作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)〔或射影定理求得OP的長(zhǎng),也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo)．[解答]解：〔1∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A〔﹣1,0,B〔3,0兩點(diǎn),∴,解得：,則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；〔2△BCM為直角三角形,理由為：對(duì)于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=〔x﹣12﹣4,即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為〔1,﹣4,令x=0,得到y(tǒng)=﹣3,即C〔0,﹣3,根據(jù)勾股定理得：BC=3,BM=2,CM=,∵BM2=BC2+CM2,∴△BCM為直角三角形；〔3若∠APC=90°,即P點(diǎn)和O點(diǎn)重合,如圖1,連接AC,∵∠AOC=∠MCB=90°,且,∴Rt△AOC∽R(shí)t△MCB,∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔0,0．若P點(diǎn)在y軸上,則∠PAC=90°,如圖2,過(guò)A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1,∵Rt△CAP1∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM,∴=,即=,∴點(diǎn)P1〔0,．若P點(diǎn)在x軸上,則∠PCA=90°,如圖3,過(guò)C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2,∵Rt△P2CA∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM,∴=,即=,AP2=10,∴點(diǎn)P2〔9,0．∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O〔0,0,P1〔0,,P2〔9,0．[點(diǎn)評(píng)]此題是二次函數(shù)的綜合題,涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),〔3題中能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O是符合要求的P點(diǎn),是解決此題的突破口．20．〔2015?XX如圖,已知拋物線y=﹣〔x+2〔x﹣m〔m＞0與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．〔1若拋物線過(guò)點(diǎn)G〔2,2,求實(shí)數(shù)m的值；〔2在〔1的條件下,解答下列問(wèn)題：①求出△ABC的面積；②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H,使AH+CH最小,并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；〔3在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在,求m的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1把C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m的值即可；〔2①對(duì)于拋物線解析式,令y=0求出x的值,確定出A與B坐標(biāo)；令x=0,求出y的值,確定出C坐標(biāo),求出三角形ABC面積即可；②如圖1,連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H,由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得：此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小,利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式,與拋物線對(duì)稱軸聯(lián)立求出H坐標(biāo)即可；〔3在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似,分兩種情況考慮：〔i當(dāng)△ACB∽△ABM時(shí)；〔ii當(dāng)△ACB∽△MBA時(shí),利用相似三角形的判定與性質(zhì),確定出m的值即可．[解答]解：〔1∵拋物線過(guò)G〔2,2,∴把G坐標(biāo)代入拋物線解析式得：2=﹣〔2+2〔2﹣m,解得：m=4；〔2①令y=0,得到﹣〔x+2〔x﹣m=0,解得：x1=﹣2,x2=m,∵m＞0,∴A〔﹣2,0,B〔m,0,把m=4代入得：B〔4,0,∴AB=6,令x=9,得到y(tǒng)=2,即C〔0,2,∴OC=2,則S△ABC=×6×2=6；②∵A〔﹣2,0,B〔4,0,∴拋物線解析式為y=﹣〔x+2〔x﹣4的對(duì)稱軸為x=1,如圖1,連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H,由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得：此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,把B與C坐標(biāo)代入得：,解得：,∴直線BC解析式為y=﹣x+2,令x=1,得到y(tǒng)=,即H〔1,；〔3在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似,分兩種情況考慮：〔i當(dāng)△ACB∽△ABM時(shí),則有=,即AB2=AC?AM,∵A〔﹣2,0,C〔0,2,即OA=OC=2,∴∠CAB=45°,∠BAM=45°,如圖2,過(guò)M作MN⊥x軸,交x軸于點(diǎn)N,則AN=MN,∴OA+ON=2+ON=MN,設(shè)M〔x,﹣x﹣2〔x＞0,把M坐標(biāo)代入拋物線解析式得：﹣x﹣2=﹣〔x+2〔x﹣m,∵x＞0,∴x+2＞0,∵m＞0,∴x=2m,即M〔2m,﹣2m﹣2,∴AM==2〔m+1,∵AB2=AC?AM,AC=2,AB=m+2,∴〔m+22=2?2〔m+1,解得：m=2±2,∵m＞0,∴m=2+2；〔ii當(dāng)△ACB∽△MBA時(shí),則=,即AB2=CB?MA,∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=90°,∴△ANM∽△BOC,∴=,∵OB=m,設(shè)ON=x,∴=,即MN=〔x+2,令M〔x,﹣〔x+2〔x＞0,把M坐標(biāo)代入拋物線解析式得：﹣〔x+2=﹣〔x+2〔x﹣m,∵x＞0,∴x+2＞0,∵m＞0,∴x=m+2,即M〔m+2,﹣〔m+4,∵AB2=CB?MA,CB=,AN=m+4,MN=〔m+4,∴〔m+22=?,整理得：=0,顯然不成立,綜上,在第四象限內(nèi),當(dāng)m=2+2時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．[點(diǎn)評(píng)]此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及兩點(diǎn)之間線段最短,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21．〔2015?XX已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1,0、C〔0,3,與x軸交于另一點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn)為D．〔1求此二次函數(shù)解析式；〔2連接DC、BC、DB,求證：△BCD是直角三角形；〔3在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC為等腰三角形？若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1將A〔﹣1,0、B〔3,0代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；〔2分別求得線段BC、CD、BD的長(zhǎng),利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可；〔3分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,再結(jié)合拋物線解析式即可求解．[解答]解：〔1∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1,0、C〔0,3,∴根據(jù)題意,得,解得,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．〔2由y=﹣x2+2x+3得,D點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,4,∴CD==,BC==3,BD==2,∵CD2+BC2=〔2+〔32=20,BD2=〔22=20,∴CD2+BC2=BD2,∴△BCD是直角三角形；〔3存在．y=﹣x2+2x+3對(duì)稱軸為直線x=1．①若以CD為底邊,則P1D=P1C,設(shè)P1點(diǎn)坐標(biāo)為〔x,y,根據(jù)勾股定理可得P1C2=x2+〔3﹣y2,P1D2=〔x﹣12+〔4﹣y2,因此2+〔3﹣y2=〔x﹣12+〔4﹣y2,即y=4﹣x．又P1點(diǎn)〔x,y在拋物線上,∴4﹣x=﹣x2+2x+3,即x2﹣3x+1=0,解得x1=,x2=＜1,應(yīng)舍去,∴x=,∴y=4﹣x=,即點(diǎn)P1坐標(biāo)為〔,．②若以CD為一腰,∵點(diǎn)P2在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上,由拋物線對(duì)稱性知,點(diǎn)P2與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱,此時(shí)點(diǎn)P2坐標(biāo)為〔2,3．∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為〔,或〔2,3．[點(diǎn)評(píng)]此題是一道典型的"存在性問(wèn)題",結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、直角梯形的性質(zhì),考查了它們存在的條件,有一定的開放性．22．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=﹣且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．〔1①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．〔2若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC．求△PAC的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．〔3拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1①先求的直線y=x+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a〔x+4〔x﹣1,然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；〔2設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m,分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo),從而可得到線段PQ=m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值,從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可：①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M〔0,2時(shí),△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M〔﹣3,2時(shí),△MAN∽△ABC；④當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),解題時(shí),需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．[解答]解：〔1①y=當(dāng)x=0時(shí),y=2,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣4,∴C〔0,2,A〔﹣4,0,由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=﹣對(duì)稱,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0．②∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A〔﹣4,0,B〔1,0,∴可設(shè)拋物線解析式為y=a〔x+4〔x﹣1,又∵拋物線過(guò)點(diǎn)C〔0,2,∴2=﹣4a∴a=∴y=x2x+2．〔2設(shè)P〔m,m2m+2．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q,∴Q〔m,m+2,∴PQ=m2m+2﹣〔m+2=m2﹣2m,∵S△PAC=×PQ×4,=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣〔m+22+4,∴當(dāng)m=﹣2時(shí),△PAC的面積有最大值是4,此時(shí)P〔﹣2,3．〔3在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,∴∠CAO=∠BCO,∵∠BCO+∠OBC=90°,∴∠CAO+∠OBC=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACO∽△CBO,如下圖：①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M〔0,2時(shí),△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M〔﹣3,2時(shí),△MAN∽△ABC；③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),設(shè)M〔n,n2n+2,則N〔n,0∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4當(dāng)時(shí),MN=AN,即n2+n﹣2=〔n+4整理得：n2+2n﹣8=0解得：n1=﹣4〔舍,n2=2∴M〔2,﹣3；當(dāng)時(shí),MN=2AN,即n2+n﹣2=2〔n+4,整理得：n2﹣n﹣20=0解得：n1=﹣4〔舍,n2=5,∴M〔5,﹣18．綜上所述：存在M1〔0,2,M2〔﹣3,2,M3〔2,﹣3,M4〔5,﹣18,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用,難度較大,解答本題需要同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關(guān)性質(zhì)．23．〔2015?XX已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣4的圖象與y軸的交點(diǎn)為C,與x軸正半軸的交點(diǎn)為A,且tan∠ACO=〔1求二次函數(shù)的解析式；〔2P為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),Q為其對(duì)稱軸上的一點(diǎn),QC平分∠PQO,求Q點(diǎn)坐標(biāo)；〔3是否存在實(shí)數(shù)x1、x2〔x1＜x2,當(dāng)x1≤x≤x2時(shí),y的取值范圍為≤y≤？若存在,直接寫在x1,x2的值；若不存在,說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1首先根據(jù)tan∠ACO=,求出OA的值,即可判斷出A點(diǎn)的坐標(biāo)；然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx﹣4,求出b的值,即可判斷出二次函數(shù)的解析式．〔2首先根據(jù)Q為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔﹣,n；然后根據(jù)∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ,可得∠OQC=∠OCQ,所以O(shè)Q=OC,據(jù)此求出n的值,進(jìn)而判斷出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．〔3根據(jù)題意,分3種情況：①當(dāng)x1≤x2≤﹣時(shí)；②當(dāng)x1≤﹣≤x2時(shí)；③當(dāng)﹣＜x1≤x2時(shí)；然后根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法,求出滿足題意的實(shí)數(shù)x1、x2〔x1＜x2,使得當(dāng)x1≤x≤x2時(shí),y的取值范圍為≤y≤即可．[解答]解：〔1如圖1,連接AC,,∵二次函數(shù)y=x2+bx﹣4的圖象與y軸的交點(diǎn)為C,∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0,﹣4,∵tan∠ACO=,∴,又∵OC=4,∴OA=1,∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1,0,把A〔1,0代入y=x2+bx﹣4,可得0=1+b﹣4,解得b=3,∴二次函數(shù)的解析式是：y=x2+3x﹣4．〔2如圖2,,∵y=x2+3x﹣4,∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=﹣,∵Q為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔﹣,n,∵拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸,∴∠CQP=∠OCQ,又∵∠OQC=∠CQP,∴∠OQC=∠OCQ,∴OQ=OC,∴,∴,解得n=±,∴Q點(diǎn)坐標(biāo)是〔﹣,或〔﹣,﹣．〔3①當(dāng)x1≤x2≤﹣時(shí),二次函數(shù)y=x2+3x﹣4單調(diào)遞減,∵y的取值范圍為≤y≤,∴由+3x1﹣4=,解得x1=﹣3,﹣2,2,由+3x2﹣4=,解得x2=﹣3,﹣2,2,∵x1≤x2≤﹣,∴②當(dāng)x1≤﹣≤x2時(shí),Ⅰ、當(dāng)﹣時(shí),可得x1+x2≤﹣3,∵y的取值范圍為≤y≤,∴由〔1,可得,由〔2,可得x1=﹣3,﹣2,2,∵x1≤﹣＜x2,,∴沒有滿足題意的x1、x2．Ⅱ、當(dāng)﹣時(shí),可得x1+x2＞﹣3,∵y的取值范圍為≤y≤,∴解得∵x1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3,∴沒有滿足題意的x1、x2．③當(dāng)﹣＜x1≤x2時(shí),二次函數(shù)y=x2+3x﹣4單調(diào)遞增,∵y的取值范圍為≤y≤,∴〔1×x2﹣〔2×x1,可得〔x1﹣x2〔x1x2+4=0,∵x1﹣x2≠0,∴x1x2+4=0,∴…〔1,把〔3代入〔1,可得,∵,∴,∴,∵,∴沒有滿足題意的x1、x2．綜上,可得x1=﹣3,x2=﹣2時(shí),當(dāng)x1≤x≤x2時(shí),y的取值范圍為≤y≤．[點(diǎn)評(píng)]〔1此題主要考查了二次函數(shù)綜合題,考查了分析推理能力,考查了分類討論思想的應(yīng)用,考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息,并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．〔2此題還考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法,以及二次函數(shù)的最值的求法,要熟練掌握．24．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l⊥y軸于點(diǎn)B〔0,﹣2,A為OB的中點(diǎn),以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+c與x軸交于C、D兩點(diǎn),且CD=4,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心,PO為半徑畫圓．〔1求拋物線的解析式；〔2若⊙P與y軸的另一交點(diǎn)為E,且OE=2,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1根據(jù)題意可知A〔0,﹣1,C〔﹣2,0,D〔2,0,從而可求得拋物線的解析式；〔2根據(jù)OE=2可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔0,2或〔0,﹣2,從而可確定出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1或﹣1；〔3設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔m,,然后求得圓P的半徑OP和點(diǎn)P到直線l的距離,根據(jù)d=r,可知直線和圓相切．[解答]解：〔1∵點(diǎn)A為OB的中點(diǎn),∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔0,﹣1．∵CD=4,由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)C〔﹣2,0,D〔2,0,將點(diǎn)A〔0,﹣1,C〔﹣2,0,D〔2,0代入拋物線的解析式得：,解得：,∴拋物線得解析式為y=．〔2如下圖：過(guò)點(diǎn)P1作P1F⊥OE．∵OE=2,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔0,2．∵P1F⊥OE．∴EF=OF．∴點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為1．同理點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)為1．將y=1代入拋物線的解析式得：x1=,x2=2．∴點(diǎn)P1〔﹣2,1,P2〔2,1．如下圖：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)P3與點(diǎn)A重合,∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為〔0,﹣1．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔﹣2,1或〔2,1或〔0,﹣1．〔3設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔m,,∴圓的半徑OP==,點(diǎn)P到直線l的距離=﹣〔﹣2=+1．∴d=r．∴直線l與圓P相切．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查的是二次函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用,根據(jù)題意確定出點(diǎn)E的坐標(biāo),然后再得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．25．〔2015?XX如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．〔1求拋物線的解析式；〔2如圖,點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△BEC面積最大時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值？〔3在〔2的結(jié)論下,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M,連接AM,點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1首先根據(jù)直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔0,3,點(diǎn)C的坐標(biāo)是〔4,0；然后根據(jù)拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),求出a\c的值是多少,即可求出拋物線的解析式．〔2首先過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M,EF交x軸于點(diǎn)F,然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是〔x,﹣x2+x+3,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是〔x,﹣x+3,求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法,求出S△ABC,進(jìn)而判斷出當(dāng)△BEC面積最大時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值各是多少即可．〔3在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論,根據(jù)平行四邊形的特征,求出使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可．[解答]解：〔1∵直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔0,3,點(diǎn)C的坐標(biāo)是〔4,0,∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),∴解得∴y=﹣x2+x+3．〔2如圖1,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M,EF交x軸于點(diǎn)F,,∵點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是〔x,﹣x2+x+3,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是〔x,﹣x+3,∴EM=﹣x2+x+3﹣〔﹣x+3=﹣x2+x,∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×〔﹣x2+x×4=﹣x2+3x=﹣〔x﹣22+3,∴當(dāng)x=2時(shí),即點(diǎn)E的坐標(biāo)是〔2,3時(shí),△BEC的面積最大,最大面積是3．〔3在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．①如圖2,,由〔2,可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2,∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是〔2,,又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔﹣2,0,∴AM==,∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是〔1,m,點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔x,﹣x2+x+3,則解得或,∵x＜0,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔﹣3,﹣．②如圖3,,由〔2,可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2,∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是〔2,,又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔﹣2,0,∴AM==,∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是〔1,m,點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔x,﹣x2+x+3,則解得或,∵x＞0,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔5,﹣．③如圖4,,由〔2,可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2,∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是〔2,,又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔﹣2,0,∴AM==,∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是〔1,m,點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔x,﹣x2+x+3,則解得,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔﹣1,．綜上,可得在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔﹣3,﹣、〔5,﹣、〔﹣1,．[點(diǎn)評(píng)]〔1此題主要考查了二次函數(shù)綜合題,考查了分析推理能力,考查了分類討論思想的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息,并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．〔2此題還考查了函數(shù)解析式的求法,以及二次函數(shù)的最值的求法,要熟練掌握．〔3此題還考查了三角形的面積的求法,要熟練掌握．26．〔2015?XX如圖,拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點(diǎn)A〔﹣1,0,B〔4,,點(diǎn)D是拋物線A,B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)A,B重合,直線CD與y軸平行,交直線AB于點(diǎn)C,連接AD,BD．〔1求拋物線的解析式；〔2設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△ADB的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]綜合題；壓軸題．[分析]〔1將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,可得a、b的值,繼而可得拋物線的解析式；〔2先確定直線AB的解析式,然后可得出點(diǎn)C、D的坐標(biāo),表示出△ADB的面積,根據(jù)二次函數(shù)的最值確定點(diǎn)C的坐標(biāo)．[解答]解：〔1由題意得,解得：,∴y=﹣x2+2x+．〔2設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b,則有,解得：,∴y=x+,則D〔m,﹣m2+2m+,C〔m,m+,CD=〔﹣m2+2m+﹣〔m+=﹣m2+m+2,∴S=〔m+1?CD+〔4﹣m?CD=×5×CD=×5×〔﹣m2+m+2=﹣m2+m+5∵﹣＜0,∴當(dāng)m=時(shí),S有最大值,當(dāng)m=時(shí),m+=×+=,∴點(diǎn)C〔,．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了二次函數(shù)的綜合,涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值及三角形的面積,關(guān)鍵是掌握配方法求最值的運(yùn)用,難度一般．27．〔2015?XX如圖1,關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣3,0,點(diǎn)C〔0,3,點(diǎn)D為二次函數(shù)的頂點(diǎn),DE為二次函數(shù)的對(duì)稱軸,E在x軸上．〔1求拋物線的解析式；〔2DE上是否存在點(diǎn)P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點(diǎn)P,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3如圖2,DE的左側(cè)拋物線上是否存在點(diǎn)F,使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得b、c,可求得拋物線解析式；〔2當(dāng)點(diǎn)P在∠DAB的平分線上時(shí),過(guò)P作PM⊥AD,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),可表示出PM、PE,由角平分線的性質(zhì)可得到PM=PE,可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在∠DAB外角平分線上時(shí),同理可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；〔3可先求得△FBC的面積,過(guò)F作FQ⊥x軸,交BC的延長(zhǎng)線于Q,可求得FQ的長(zhǎng),可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo),表示出B點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出FQ的長(zhǎng),可求得F點(diǎn)坐標(biāo)．[解答]解：〔1∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣3,0,點(diǎn)C〔0,3,∴,解得,∴拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2﹣2x+3,〔2存在,當(dāng)P在∠DAB的平分線上時(shí),如圖1,作PM⊥AD,設(shè)P〔﹣1,m,則PM=PD?sin∠ADE=〔4﹣m,PE=m,∵PM=PE,∴〔4﹣m=m,m=﹣1,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為〔﹣1,﹣1；當(dāng)P在∠DAB的外角平分線上時(shí),如圖2,作PN⊥AD,設(shè)P〔﹣1,n,則PN=PD?sin∠ADE=〔4﹣n,PE=﹣n,∵PN=PE,∴〔4﹣n=﹣n,n=﹣﹣1,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為〔﹣1,﹣﹣1；綜上可知存在滿足條件的P點(diǎn),其坐標(biāo)為〔﹣1,﹣1或〔﹣1,﹣﹣1；〔3解法1：∵拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2﹣2x+3,∴B〔1,0,∴S△EBC=EB?OC=3,∵2S△FBC=3S△EBC,∴S△FBC=,過(guò)F作FQ⊥x軸于點(diǎn)H,交BC的延長(zhǎng)線于Q,過(guò)F作FM⊥y軸于點(diǎn)M,如圖3,∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB?HQ﹣BH?HF﹣QF?FM=BH〔HQ﹣HF﹣QF?FM=BH?QF﹣QF?FM=QF?〔BH﹣FM=FQ?OB=FQ=,∴FQ=9,∵BC的解析式為y=﹣3x+3,設(shè)F〔x0,﹣x02﹣2x0+3,∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9,解得：x0=或〔舍去,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是〔,．解法2：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔x,﹣x2﹣2x﹣3,過(guò)點(diǎn)F作FM垂直y軸于點(diǎn)M,并與BC交于點(diǎn)N,如圖4,CM=CO﹣MO=3﹣〔﹣x2﹣2x﹣3=x2+2x,易得MN=CM=x2+x,∴FN=FM+MN=﹣x+x2+x=x2﹣x,同解法1可求得S△FBC=,即S△FBC=S△CFN+S△FNB=FN?CM+FN?MO=FN?CO=〔x2﹣x=,解得：x0=或〔舍去,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是〔,．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積等知識(shí)點(diǎn)．在〔1中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟,在〔2中注意分點(diǎn)P在∠DAB的角平分線上和在外角的平分線上兩種情況,在〔3中求得FQ的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題所考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性很強(qiáng),難度適中．28．〔2015?濰坊二模已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且m＜n,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔m,0、B〔0,n．〔1求這個(gè)拋物線的解析式；〔2設(shè)〔1中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D,試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；〔注：拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔3P是線段OC上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸,與拋物線交于H點(diǎn),若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．[考點(diǎn)]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1通過(guò)解方程即可求出m、n的值,那么