有限元法與程序-空間問題和軸對稱問題

第3章空間問題和空間軸對稱問題§3.1空間問題四面體常應(yīng)變單元單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元、軸對稱單元。（2）結(jié)點(diǎn)位移3個(gè)分量。（3）基本方程比平面問題多。3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程?！?.1空間問題四面體常應(yīng)變單元單元結(jié)點(diǎn)位移向量位移函數(shù)1、位移模式

將上式中第1式應(yīng)用于4個(gè)結(jié)點(diǎn)，則由此可解出代定常數(shù)a1~a4再回代得到:

編號約定：當(dāng)沿i,j,m的方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，p在大拇指所指的方向采用同樣的方法，可得單元位移：

2、單元應(yīng)變將單元中位移代入上式常量3、單元應(yīng)力彈性矩陣[D]:代入單元應(yīng)變計(jì)算公式，整理后：其中[S]為應(yīng)力矩陣，且：常量其中4、單元?jiǎng)偠染仃嚪謮K矩陣的形式

式中子矩陣[krs]為3×3的矩陣：5、等效結(jié)點(diǎn)荷載兩種常見荷載移置后的結(jié)果:

均質(zhì)單元的自重分配到四個(gè)節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)力，其數(shù)值都等于ρV/4，其中ρ是密度，V是單元的體積。

體積力與表面力的計(jì)算公式與平面三角形單元公式相似，可以采用靜力等效原則簡化計(jì)算。設(shè)單元e的某一表面，例如ijm是物體的邊界表面，承受平面分布荷載，它在i、j、m三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的強(qiáng)度分別為Psi,Psj,Psm,則分配到結(jié)點(diǎn)i的等效節(jié)點(diǎn)力的數(shù)值為式中，Δijm為三角形ijm的面積，方向均為與原分布荷載的方向平行?！?.2空間軸對稱問題三角形截面環(huán)單元在工程上有許多機(jī)械零件，例如高壓厚壁容器、汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子、活塞、氣閥等，它們的幾何形狀和所受的載荷和約束都是軸對稱的，這類問題稱為空間軸對稱問題。對空間軸對稱問題，常采用圓柱坐標(biāo)系。r表示徑向坐標(biāo)，z表示軸向坐標(biāo)，任一對稱面為rz面。在有限元分析時(shí)，可采用軸對稱的環(huán)形單元進(jìn)行。環(huán)形單元可以是任何平面單元，本節(jié)以三角形單元為例。1、位移模式軸對稱問題的環(huán)向位移恒等于零，徑向r位移與軸向z位移不等于零。對于圖示情形，依照平面問題的三角形單元分析，取位移模式為代入結(jié)點(diǎn)位移后，可解出a1-a6，再代入上式，得

x->r,y->z其中形函數(shù)：單元中位移2、單元應(yīng)變根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對稱問題的幾何方程為將u,w表達(dá)式代入上式，整理后得其中顯然，[B]矩陣中的環(huán)向正應(yīng)變含有變量r，z，因此它不是常數(shù)矩陣，即軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常應(yīng)變單元。3、單元中應(yīng)力根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對稱問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為彈性矩陣:單元中任意一點(diǎn)的應(yīng)力：其中為簡化計(jì)算和消除對稱軸上由于r=0所引起的麻煩，當(dāng)單元較小時(shí)，可把各個(gè)單元中的r，z近似看作常數(shù)，并且分別等于各單元形心的坐標(biāo)，即這樣，就可把各個(gè)單元近似地當(dāng)作常應(yīng)變單元。4、單元?jiǎng)偠染仃囉捎诒环e函數(shù)與θ無關(guān)，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可簡化為在三角形截面上的積分。故有：

單元?jiǎng)偠染仃嘯k]的分塊形式其中的近似子矩陣為5、等效結(jié)點(diǎn)荷載類似平面問題。對于作用于三角形環(huán)單元上的體積力、離心力、表面力的等效結(jié)點(diǎn)力為：體力§3.2空間軸對稱問題三角形截面環(huán)單元離心力：面力：特殊情況（1）均布表面力設(shè)單元ij邊上作用均布表面力，其集度為l當(dāng)ri=rj時(shí)，靜力等效原則(2)三角形分布表面力沿單元ij邊作用了三角形分布的表面力，表面力在i點(diǎn)集度為

當(dāng)ri=