專題六 第3講 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

第3講統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1．（2012福建）一支田徑隊(duì)有男女運(yùn)動(dòng)員98人，其中男運(yùn)動(dòng)員有56人，按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是 ．解析利用分層抽樣的特點(diǎn)，按比例抽樣去分析．依題意，女運(yùn)動(dòng)員有98-56=42（人）.設(shè)應(yīng)抽取女運(yùn)動(dòng)員x人，根據(jù)分層抽樣特x28點(diǎn)，得42=98，解得x=12.答案122．（2012湖北）容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40）的頻率為A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析根據(jù)頻率的定義求解.由表知［10,40）的頻數(shù)為2+3+4=9,9所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10.40）的頻率為20=0.45.答案B考題分析統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例部分的高考試題難度一般不大，考查的內(nèi)容多為抽樣方法，用樣本估計(jì)總體、線性回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等，這類題目作為解答題出現(xiàn)時(shí)，往往與概率結(jié)合命題．網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建廠簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣—系統(tǒng)抽樣「分層抽樣—頻率分布直方圖總體估計(jì)—莖葉圖「方差與標(biāo)準(zhǔn)差變量的相關(guān)性—線性回歸方程1回歸分析及廠回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)」獨(dú)立性檢驗(yàn)高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：抽樣方法【例1】（2012中山模擬）某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女學(xué)生人數(shù)如圖表示，已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二級(jí)女生的概率是0.19，現(xiàn)用分層抽樣的方法（按年級(jí)分層）在全校學(xué)生中抽取100人，則應(yīng)在高三級(jí)中抽取的學(xué)生人數(shù)為.高一級(jí)高二級(jí)咼二級(jí)女生385xy男生375360z［審題導(dǎo)引］據(jù)題意求出字母的值，按照分層抽樣的規(guī)則計(jì)算．［規(guī)范解答］據(jù)題意得x=2000X0.19=380,???高三級(jí)的學(xué)生人數(shù)為y+z=2000-385-375-380-360=500,.?.在高三級(jí)中抽取的學(xué)生人數(shù)為500x￡000=25.［答案］25【規(guī)律總結(jié)】抽樣方法的選取注意分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的計(jì)算方法，分層抽樣是按比例抽樣，比例的性質(zhì)、方程的方法起主要作用；系統(tǒng)抽樣首先是對(duì)總體分段的計(jì)算，注意分段時(shí)可能要排除一些個(gè)體，各段的間隔距離是一樣的，但各段中抽取的個(gè)體就可有不同的規(guī)則，要根據(jù)這些規(guī)則通過(guò)計(jì)算確立抽取的個(gè)體．【變式訓(xùn)練】1．某班級(jí)有50名學(xué)生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生，將這50名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1?50號(hào)，并分組，第一組1?5號(hào)，第二組6?10號(hào)，…，第十組46?50號(hào).若在第三組中抽得號(hào)碼為12的學(xué)生，則在第八組中抽得號(hào)碼為 的學(xué)生．解析由于組距為5,所以所抽號(hào)碼為（8-3）X5+12=37.答案37考點(diǎn)二：用樣本估計(jì)總體【例2】（1）（2012西城二模）下圖是1、2兩組各7名同學(xué)體重（單位：kg）數(shù)據(jù)的莖葉圖?設(shè)1、2兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為1和2，標(biāo)準(zhǔn)差依次為S］和$2，那么

1組2組3 6 7 854 6 8160102723（注：標(biāo)準(zhǔn)差s='（兀1_X）s2=-[(58-61)2+(57-61)2+(56-61)2+(53s2=-[(58-61)2+(57-61)2+(56-61)2+(53-61)2+(61-61)2+(72-61)2+其中x為x1，x2，?，x的平均數(shù)）A.xA.x1>x2,S]>s2B.x]>x2，s]Vs2C.xC.x]Vx2,S]Vs2D.x]Vx2，s]>s2（2）（2012?余州模擬）某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與]8秒之間．將測(cè)試結(jié)果分成5組：[]3,]4），[]4,]5），[]5,]6），[]6,]7），[]7,]8]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為1：3：7：6：3,那么成績(jī)?cè)赱16,18啲學(xué)生人數(shù)是 .(70－(70－61)2]=299V，[審題導(dǎo)引]（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分別計(jì)算丁1,72,s2,s2,然后比較大??；（2）根據(jù)直方圖中各小矩形的面積和為1計(jì)算出成績(jī)?cè)赱16,18]的頻率，然后計(jì)算成績(jī)?cè)赱16,18]的學(xué)生人數(shù)．[規(guī)范解答]（1）由莖葉圖知－ 58＋57＋56＋53＋61＋72＋70x1= =61.

6+31+36+31+3+7+6+320，9所以成績(jī)?cè)冢?6,18］的學(xué)生人數(shù)為石X120=54.［答案］(1)C(2)54【規(guī)律總結(jié)】用樣本估計(jì)總體時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題理解在抽樣具有代表性的前提下，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，用樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)，這是統(tǒng)計(jì)的基本思想；反映樣本數(shù)據(jù)分布的主要方式，一個(gè)是頻率分布表，一個(gè)是頻率分布直方圖，要學(xué)會(huì)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)總體的概率分布以及總體的特征數(shù)，特別是均值、眾數(shù)和中位數(shù)；要掌握好樣本均值和方差的實(shí)際意義，并在具體的應(yīng)用問(wèn)題中會(huì)根據(jù)計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的均值和方差對(duì)實(shí)際問(wèn)題做出解釋；莖葉圖是表示樣本數(shù)據(jù)分布的一種方法，其特點(diǎn)是保留了所有的原始數(shù)據(jù)，這是莖葉圖的優(yōu)勢(shì)．【變式訓(xùn)練】2．(2012義烏模擬)在如圖所示的莖葉圖中，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ；若從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中分別去掉一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)后，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)中較大的一組是 組．甲乙07954551844647m93解析把乙組數(shù)據(jù)從小到大排，得79,84,84,84,86,87,93，故中位數(shù)是84,x=84,x=85,甲乙二x>x乙甲．答案84乙(2012杭州二模)將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27,則n的值為A.70 B.60 C.50 D.40

解析據(jù)題意知2+解析據(jù)題意知2+3+42+3+4+6+4+127n?'?n=60.答案B考點(diǎn)三：線性回歸分析【例3】某種設(shè)備的使用年限x和維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有以下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如表所示x3456y2.5344.5(1)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；估計(jì)使用年限為10年，維修費(fèi)用是多少？［審題導(dǎo)引］(1)根據(jù)對(duì)應(yīng)值組成點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出各點(diǎn)即可；直接套用求回歸直線系數(shù)的公式，求出b，a；根據(jù)求出的回歸直線方程，求當(dāng)x=10時(shí)對(duì)應(yīng)的y值，即使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用的估計(jì)值．［規(guī)范解答］(1)作出散點(diǎn)圖如圖所示．和甘66.5,苧=32+42+52+62=86,x=4.5,y=3.5,66.5-466.5-4X4.5X3.586-4X4.5266.5-6386-81=0.7,a=-y-b-x=3.5-0.7X4.5=0.35,所以所求的回歸方程為$=0.7x+0.35.(3)當(dāng)x=10時(shí)，y=0.7X10+0.35=7.35,所以使用年限為10年,維修費(fèi)用的估計(jì)值是7.35萬(wàn)元規(guī)律總結(jié)】求線性回歸分析問(wèn)題的方法

畫(huà)出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖；求回歸直線方程；用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)．其中求回歸直線方程是關(guān)鍵．而求回歸直線方程的最好方法是“最小二乘法"，即對(duì)于線性回歸模型y=a+bx來(lái)說(shuō)，估計(jì)模型中的未知參數(shù)a和b的最好方法就是用最小二乘法，其計(jì)算公式為￡（兀廠兀）（y廠y）b=i一i ?好方法就是用最小二乘法，其計(jì)算公式為￡（x－－x）2i=1 i￡nxiy￡nxiyi－nx［易錯(cuò)提示］雖然由任何一組不完全相同的數(shù)據(jù)都可以求出回歸直線方程，但只有具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)才能得到有意義的回歸直線方程，求出的方程才具有實(shí)際價(jià)值．線性相關(guān)系數(shù)可以是正、負(fù)或零，線性相關(guān)系數(shù)為正時(shí)是正相關(guān)，為負(fù)時(shí)是負(fù)相關(guān)，反之也成立．變式訓(xùn)練】(2012?深圳模擬)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程y=0.67x+54.9.TOC\o"1-5"\h\z零件數(shù)％(個(gè)) 10 20 30 40 50加工時(shí)間y(min) 62 75 81 89現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為 .解析由表知丁=30，設(shè)模糊不清的數(shù)據(jù)為y,－1 307＋y貝Uy=5(62+y+75+81+89)= 5—,Ty=0.67x+54.9,307＋y即一=0.67X30+54.9,解得y=68.答案68考點(diǎn)四：獨(dú)立性檢驗(yàn)【例4】有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10乙班30合計(jì)1052已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為7?請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”？若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)．試求抽到6號(hào)或10號(hào)的概率．2［審題導(dǎo)引］第(I)問(wèn)由題易知成績(jī)優(yōu)秀的概率是7,則成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30，成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，據(jù)此即可以完成列聯(lián)表；第(2)問(wèn)按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理進(jìn)行判斷；第(3)問(wèn)列舉基本事件個(gè)數(shù)和隨機(jī)事件含有的基本事件個(gè)數(shù),按照古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算．［規(guī)范解答］(1)列聯(lián)表如表所示優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班104555乙班203050合計(jì)3075105(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到k丿駕為咒餘4"^6.109>3.841,因此有95%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”．(3)設(shè)“抽到6號(hào)或10號(hào)”為事件A,先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為(x，y).所有的基本事件有(1,1),(1,2),?(6,6)，共36個(gè).事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個(gè)，故82P(A)=^=9-【規(guī)律總結(jié)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2X2列聯(lián)表，假設(shè)兩個(gè)變量無(wú)關(guān)系；

5.(2012?南京模擬)某研究小組為了研究中學(xué)生的身體發(fā)育情況，在某學(xué)校隨機(jī)抽出20名15至16周歲的男生，將他們的身高和體重制成2X2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以有 %的把握認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系.招重不招重合計(jì)偏高415不偏高31215合計(jì)71320獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：P（K2三k）00.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.828獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2值的計(jì)算公式:_ n(ad-bc)2K (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)°解析k=2￥4X12；3X1"=5.934,根據(jù)臨界值表可知有97.5%的把握認(rèn)為5X15X7X13該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系．答案97.5名師押題高考【押題1】根據(jù)下面頻率分布直方圖(如圖所示)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別為A．12.5,12.5 B．13,12.5C．12.5,13 D．14,12.5解析中位數(shù)是位于中間的數(shù)，故中位數(shù)是13，眾數(shù)是12.5，中位數(shù)把圖形的面積一分為二．答案B［押題依據(jù)］高考要求考生能通過(guò)樣本的分布估計(jì)總體的分布；根據(jù)樣本的特征

數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)，考查考生的讀圖能力、概括能力，故押此題．【押題2】某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，得頻率分布表如下：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第一組[230,235)0.16第二組[235,240)①0.24第三組[240,245)15②第四組[245,250)100.20第五組[250,255]50.10合計(jì)501.00寫(xiě)出表中位置①②處的數(shù)據(jù)；為了選拔更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)行第二輪考核，分別求出第三、四、五組參加考核的人數(shù)；在(2)的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生，求2人中至少有1人在第四組中的概率．解析(1)由題知位置①的數(shù)據(jù)是50X0.24=12,位置②的數(shù)據(jù)是50=0.30.(2)第三組參加考核的人數(shù)為3^X6=3;第四組參加考核的人數(shù)為30X6=2;第五組參加考核的人數(shù)為30X6=1.(3)設(shè)第三組的3名學(xué)生為A、B、C,第四組的2名學(xué)生為D、E,第五組的1名學(xué)生為F,則從這6名學(xué)生中