山東省德州市某中學(xué)2023-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次(10月)月考試題

高二數(shù)學(xué)月考試題第I卷（選擇題）2023/10一、選擇題（本題共10道小題，每小題5分，共50分）1.命題“”的否定為A． B．C． D．2.是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：①?n⊥α；②?m∥n；③?n⊥β；④?n∥α．其中正確命題的序號(hào)是() A．①④ B．②④ C．①③ D．②③4.如圖，正方形O′A′B′C′的面積為4，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)為（） A． B． 16 C． 12 D． 5.對(duì)于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l（） A． 平行 B． 相交 C． 垂直 D． 互為異面直線6.自二面角α﹣l﹣β的棱l上任選一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α﹣l﹣β的平面角，必須具備條件（） A． AO⊥OB，AO?α，BO?β B． AO⊥l，BO⊥l C． AB⊥l，AO?α，BO?β D． AO⊥l，OB⊥l，AO?α，BO?β7.點(diǎn)B是點(diǎn)A（1，2，3）在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的正投影，則|OB|等于（） A． B． C． D． 8.已知平面的法向量為，點(diǎn)不在內(nèi)，則直線與平面的位置關(guān)系為A．B．C．與相交不垂直 D．9.給出如下四個(gè)命題：①若“p∨q”為真命題，則p、q均為真命題；②“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”；③“?x∈R，x2+x≥1”的否定是“?x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要條件．其中不正確的命題是（） A．①② B．②③ C．①③ D．③④10.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，點(diǎn)P(x，－1，3)在平面ABC內(nèi)，則x的值為()A.－4 B.1 C.10 D.11第II卷（非選擇題）二、填空題（本題共5道小題，每小題5分，共25分）11.從一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體中切去一部分，得到一個(gè)幾何體，其三視圖如圖，則該幾何體的體積為．12.在大小為60°的二面角α﹣1﹣β中，已知AB?α，CD?β，且AB⊥l于B，CD⊥l于D，若AB=CD=1，BD=2，則AC的長(zhǎng)為．13.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，則的值是--------------------.14.已知直線⊥平面，直線m平面，有下面四個(gè)命題：①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥其中正確命題序號(hào)是________．15.已知空間四邊形OABC，如圖所示，其對(duì)角線為OB，AC．M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，現(xiàn)用基向量表示向量，并設(shè)，則______．三、解答題（本題共6道小題，共75分，解答需寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明及推演步驟）16.（本小題滿分12分）已知，若是充分而不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.（本小題滿分12分）已知命題P:函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；命題Q:不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,若P、Q都是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=a．（1）求證：MN∥平面PAD；（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．19.（本題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直線B1C與平面ABC成30°角．（I）求證：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（II）求直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值．20.（本題滿分13分）如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：//平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使⊥平面？證明你的結(jié)論．21.（本小題滿分14分）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，PA＝PD＝4，BC＝eq\f(1,2)AD＝2，CD＝．(Ⅰ)求證：PA⊥CD；(Ⅱ)若M是棱PC的中點(diǎn)，求直線PB與平面BEM所成角的正弦值；(Ⅲ)在棱PC上是否存在點(diǎn)N，使二面角N－EB－C的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．高二數(shù)學(xué)試卷答案2023.10.1.C2.B3.C4.B5.C6.D7.B8.D9.C10.D11.12.13.614.①③15.16.由題意p:∴∴：（4分）q：∴：（8分）又∵是充分而不必要條件∴∴（12分）17.∵命題P函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；∴a>1……………3分 又∵命題Q不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；∴………5分 或，………8分 即……………10分∵P、Q都是真命題，∴的取值范圍是1<a…………12分18.解答： 證明：（1）設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連接AE、NE，由N為PC的中點(diǎn)知ENDC，又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB又M是AB的中點(diǎn)，∴ENAM，∴AMNE是平行四邊形∴MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD∴MN∥平面PAD-------------------6分證明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．---------------------12分19. 解：（I）證明：由直三棱柱性質(zhì)，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC?平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．---------------5分（II）解：過(guò)A1做A1M⊥B1A1，垂足為M，連接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM為直線A1C與平面B1AC所成的角，∵直線B1C與平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．設(shè)AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為------------------12分20.解：法一：（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，則由，得取，得． ∵，---4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個(gè)法向量，又是平面的一個(gè)法向量．設(shè)二面角的平面角為，由圖可知∴．故二面角的余弦值為． ---------8分（Ⅲ）∵∴假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使⊥平面，設(shè)，則，由得∴即在棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面．--------13分法二：（Ⅰ）連接，交于，連接．在中，為中位線，,//平面．（Ⅱ）⊥底面,平面⊥底面，為交線,⊥平面⊥平面，為交線,=，是的中點(diǎn)⊥⊥平面，⊥即為二面角的平面角．設(shè)，在中,故二面角的余弦值為（Ⅲ）由（Ⅱ）可知⊥平面，所以⊥，所以在平面內(nèi)過(guò)作⊥，連EF，則⊥平面．在中,，，，．所以在棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面21.（1）面面等腰中，為的中點(diǎn)，面又在面內(nèi)的射影是，由三垂線定理