正余弦定理知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典題有復(fù)習(xí)資料

正余弦定理1.定理內(nèi)容：（1）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即（2）余弦定理：三角形中隨意一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍。即：（3）面積定理：2.利用正余弦定理解三角形：（1）已知一邊和兩角：（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角：（3）已知兩邊和它們所夾的角：（4）已知三邊：正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，則b等于()A.eq\r(6)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(6)2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D.eq\f(32,3)3．在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則角B為()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不對(duì)4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不確定解析：選A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，若A＝105°，B＝45°，b＝eq\r(2)，則c＝()A．1B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)6．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，則△ABC是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)8．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，則a等于()A.eq\r(6)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)9．在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，則A＝________.10．在△ABC中，已知a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，則a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，則△ABC的形態(tài)為________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，則eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝________.15．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.16．在△ABC中，b＝4eq\r(3)，C＝30°，c＝2，則此三角形有________組解．17．如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是多少？在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，若a＝2eq\r(3)，sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，求A,B及b,c.(2009年高考四川卷)在△ABC中，A,B為銳角，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a，b，c的值．△ABC中，ab＝60eq\r(3)，sinB＝sinC，△ABC的面積為15eq\r(3)，求邊b的長(zhǎng)．余弦定理1．在△ABC中，假如BC＝6，AB＝4，cosB＝eq\f(1,3)，則AC等于()A．6B．2eq\r(6)C．3eq\r(6)D．4eq\r(6)2．在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(3)－1，C＝30°，則c等于()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\r(5)D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc，則∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則∠B的值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)5．在△ABC中，a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊，則acosB＋bcosA等于()A．a(chǎn)B．bC．cD．以上均不對(duì)6．假如把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形態(tài)為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加的長(zhǎng)度確定7．已知銳角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，△ABC的面積為eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為()A．2B．－2C．4D．－48．在△ABC中，b＝eq\r(3)，c＝3，B＝30°，則a為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3)D．29．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿意2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為________．10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，求最大角的度數(shù)．11．已知a,b,c是△ABC的三邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，則邊c的值為________．12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cosA∶cosB∶cosC＝________.13．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.14．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝7，BC＝5，AC＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為________．15．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c，且面積S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，則角C＝________.16．(2011年廣州調(diào)研)三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角，則最小角的余弦值為________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的長(zhǎng)．18．已知△ABC的周長(zhǎng)為eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC.(1)求邊AB的長(zhǎng)；(2)若△ABC的面積為eq\f(1,6)sinC，求角C的度數(shù)．19．在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－eq\f(π,4))的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，確定△ABC的形態(tài)．正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，則b等于()A.eq\r(6)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(6)解析：選A.應(yīng)用正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，求得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(6).2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D.eq\f(32,3)解析：選C.A＝45°，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝4eq\r(6).3．在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則角B為()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不對(duì)解析：選C.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得：sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2),2)，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6 B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不確定解析：選A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，若A＝105°，B＝45°，b＝eq\r(2)，則c＝()A．1B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)解析：選A.C＝180°－105°－45°＝30°，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得c＝eq\f(\r(2)×sin30°,sin45°)＝1.6．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，則△ABC是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：選D.∵eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)，∴eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA)，sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq\f(π,2).7．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)解析：選D.eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，求出sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵AB＞AC，∴∠C有兩解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA可求面積．8．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，則a等于()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：選D.由正弦定理得eq\f(\r(6),sin120°)＝eq\f(\r(2),sinC)，∴sinC＝eq\f(1,2).又∵C為銳角，則C＝30°，∴A＝30°，△ABC為等腰三角形，a＝c＝eq\r(2).9．在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，則A＝________.解析：由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinA＝eq\f(a·sinC,c)＝eq\f(1,2).又∵a＜c，∴A＜C＝eq\f(π,3)，∴A＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)10．在△ABC中，已知a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)?sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4×\f(1,2),\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，則a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，a＝eq\f(12×sin30°,sin120°)＝4eq\r(3)，∴a＋c＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)12．在△ABC中，a＝2bcosC，則△ABC的形態(tài)為________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化簡(jiǎn)，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，C=30°則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.解析：由正弦定理得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(6\r(3),sin60°)＝12，又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\f(1,2)×12×sin60°×c＝18eq\r(3)，∴c＝6.答案：12614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，則eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(1,sin30°)＝2，又∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝eq\f(2RsinA－2sinB＋sinC,sinA－2sinB＋sinC)＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.解析：依題意，sinC＝eq\f(2\r(2),3)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，解得b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)16．在△ABC中，b＝4eq\r(3)，C＝30°，c＝2，則此三角形有________組解．解析：∵bsinC＝4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3)且c＝2，∴c<bsinC，∴此三角形無解．答案：017．如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是多少？解：在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．即貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是10eq\r(2)km.18．在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，若a＝2eq\r(3)，sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，求A,B及b,c.解：由sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，得sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6)或C＝eq\f(5π,6).由sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，得sinBsinC＝eq\f(1,2)[1－cos(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＋cos(B＋C)＝1，變形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝eq\f(π,6)，B＝C＝eq\f(5π,6)(舍去)，A＝π－(B＋C)＝eq\f(2π,3).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝c＝aeq\f(sinB,sinA)＝2eq\r(3)×eq\f(\f(1,2),\f(\r(3),2))＝2.故A＝eq\f(2π,3)，B＝eq\f(π,6)，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A,B為銳角，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A,B為銳角，sinB＝eq\f(\r(10),10)，∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(3\r(10),10).又cos2A＝1－2sin2A＝eq\f(3,5)，∴sinA＝eq\f(\r(5),5)，cosA＝eq\f(2\r(5),5)，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，C＝eq\f(3π,4)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2).由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得eq\r(5)a＝eq\r(10)b＝eq\r(2)c，即a＝eq\r(2)b，c＝eq\r(5)b.∵a－b＝eq\r(2)－1，∴eq\r(2)b－b＝eq\r(2)－1，∴b＝1.∴a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5).20．△ABC中，ab＝60eq\r(3)，sinB＝sinC，△ABC的面積為15eq\r(3)，求邊b的長(zhǎng)．解：由S＝eq\f(1,2)absinC得，15eq\r(3)＝eq\f(1,2)×60eq\r(3)×sinC，∴sinC＝eq\f(1,2)，∴∠C＝30°或150°.又sinB＝sinC，故∠B＝∠C.當(dāng)∠C＝30°時(shí)，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝60eq\r(3)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝2eq\r(15).當(dāng)∠C＝150°時(shí)，∠B＝150°(舍去)．故邊b的長(zhǎng)為2eq\r(15).余弦定理1．在△ABC中，假如BC＝6，AB＝4，cosB＝eq\f(1,3)，則AC等于()A．6 B．2eq\r(6)C．3eq\r(6) D．4eq\r(6)解析：選A.由余弦定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcosB)＝eq\r(42＋62－2×4×6×\f(1,3))＝6.2．在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(3)－1，C＝30°，則c等于()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\r(5) D．2解析：選B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋(eq\r(3)－1)2－2×2×(eq\r(3)－1)cos30°＝2，∴c＝eq\r(2).3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc，則∠A等于()A．60° B．45°C．120° D．150°解析：選D.cos∠A＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc,2bc)＝－eq\f(\r(3),2)，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．在△ABC中，∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則∠B的值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：選D.由(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，聯(lián)想到余弦定理，代入得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,tanB)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(cosB,sinB).明顯∠B≠eq\f(π,2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).∴∠B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).5．在△ABC中，a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊，則acosB＋bcosA等于()A．a(chǎn) B．bC．c D．以上均不對(duì)解析：選C.a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2c2,2c)＝c.6．假如把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形態(tài)為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．由增加的長(zhǎng)度確定解析：選A.設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a，b，c且a2＋b2＝c2.設(shè)增加的長(zhǎng)度為m，則c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，∴三角形各角均為銳角，即新三角形為銳角三角形．7．已知銳角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，△ABC的面積為eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為()A．2 B．－2C．4 D．－4解析：選A.S△ABC＝eq\r(3)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sinA＝eq\f(1,2)×4×1×sinA，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，又∵△ABC為銳角三角形，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4×1×eq\f(1,2)＝2.8．在△ABC中，b＝eq\r(3)，c＝3，B＝30°，則a為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．2解析：選C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－3eq\r(3)a，∴a2－3eq\r(3)a＋6＝0，解得a＝eq\r(3)或2eq\r(3).9．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿意2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為________．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcosB)＝eq\r(1＋4－2×1×2×\f(1,2))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，求最大角的度數(shù)．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，∴a∶b∶c＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10).設(shè)a＝(eq\r(3)－1)k，b＝(eq\r(3)＋1)k，c＝eq\r(10)k(k＞0)，∴c邊最長(zhǎng)，即角C最大．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.11．已知a,b,c是△ABC的三邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，則邊c的值為________．解析：S＝eq\f(1,2)absinC，sinC＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°.∴cosC＝±eq\f(1,2)，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝21或61，∴c＝eq\r(21)或eq\r(61).答案：eq\r(21)或eq\r(61)12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cosA∶cosB∶cosC＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，設(shè)a＝2k(k＞0)，則b＝3k，c＝4k，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2k2＋4k2－3k2,2×2k×4k)＝eq\f(11,16)，同理可得：cosA＝eq\f(7,8)，cosC＝－eq\f(1,4)，∴cosA∶cosB∶cosC＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.解析：∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3).又S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，即eq\f(1,2)·b·3eq\r(2)·eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝7，BC＝5，AC＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為________．解析：在△ABC中，cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(49＋25－36,2×7×5)＝eq\f(19,35)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝7×5×(－eq\f(19,35))＝－19.答案：－1915．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c，且面積S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，則角C＝________.解析：eq\f(1,2)absinC＝S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)·eq\f(ab,2)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.答案：45°16．(2011年廣州調(diào)研)三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角，則最小角的余弦值為________．解析：設(shè)三邊長(zhǎng)為k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋k－12－k＋12＜0,k＋k－1＞k＋1))?2＜k＜4，∴k＝3，故三邊長(zhǎng)分別為2,3,4，∴最小角的余弦值為eq\f(32＋42－22,2×3×4)＝e