中心極限定理

X_np

kkX_np

kk-1v'na:D(工X)I kf k—1的分布函數(shù)F(x)對于任意x滿足nlimF(x)-limP<nnfg nfgX_npkk-ivn^<x>=5.7)第二節(jié)中心極限定理在客觀實際中有許多隨機變量，它們是由大量相互獨立的偶然因素的綜合影響所形成的，而每一個因素在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布，這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景.概率論中有關(guān)論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理(Centrallimittheorem)，現(xiàn)介紹幾個常用的中心極限定理.定理5.5(獨立同分布的中心極限定理) 設(shè)隨機變量乙，X2，…，X,…相互獨立,12n服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差E(Xk)=p,D(X)=O2M0(k=l,2,…).則隨機變量工X-E[XX、kI kY—-k-l —nXn從定理5.5的結(jié)論可知，當(dāng)nXnX-npk~N(0,1).Y=~N(0,1).nG2或者說，當(dāng)n充分大時，近似地有XX?NCp,nG2) (58)kk-1如果用X,，X2，…，X表示相互獨立的各隨機因素.假定它們都服從相同的分布(不論12n服從什么分布)，且都有有限的期望與方差(每個因素的影響有一定限度).則(5.8)式說明，作為總和XX這個隨機變量，當(dāng)n充分大時，便近似地服從正態(tài)分布.kk-1例5.3一個螺絲釘重量是一個隨機變量，期望值是1兩，標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩.求一盒(100個)同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率.解設(shè)一盒重量為X,盒中第i個螺絲釘?shù)闹亓繛閄.(i=1,2,-,100).X1，X2，…，Xi00相互獨立，E(X.)=1,fD(X,)=0.1，則有X=藝X，且E(X)=100?E(X)=100(兩)，JD(X)=1(兩).i i F i根據(jù)定理5.5，有

P{X>102}=PJX~100>102?100匚1-P{X-100<2}^1-0（2）=1-0.977250=0.022750.例5.4對敵人的防御地進行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個隨機變量，其期望值是2，方差是1.69.求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率.解令第i次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)為X.，100次轟炸中命中目標(biāo)炸彈數(shù)X=￡X，應(yīng)用定理iii=1X—200135.5,X漸近服從正態(tài)分布，期望值為200，方差為169X—20013P{180WXW220}=P{IX-200lW20}=P"20（1.54）-1=0.87644.定理5?6（李雅普諾夫（Liapunov）定理）設(shè)隨機變量X1，X2，…相互獨立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=pk,D(XJ=ok2M0 (k=1,2,…).記B記B2=工b2,nkk=1若存在正數(shù)C，使得當(dāng)n--時,的分布函數(shù)F（x）的分布函數(shù)F（x）n:D（工X）k1 k=1對于任意x,滿足limF(x)=limPnnfg nJg工X-工卩k kJik-1 k-1——Bnt2e_2dt. (5.9)￡ETOC\o"1-5"\h\zB2+8n k=1則隨機變量￡nX-E(￡nX) ￡nX-￡nrk k k kZ=-k=1_ k=1n這個定理說明，隨機變量￡nX—￡nrkkZ= k=1 nBn當(dāng)n很大時，近似地服從正態(tài)分布N（0，1）.因此，當(dāng)n很大時,k=1k=k=1(\近似地服從正態(tài)分布N￡卩,B2.這表明無論隨機變量Xk(k=l,2,…)具有怎樣的分Ik=1k"丿 k布，只要滿足定理條件，則它們的和才X當(dāng)n很大時，就近似地服從正態(tài)分布.而在許多kk=1實際問題中，所考慮的隨機變量往往可以表示為多個獨立的隨機變量之和，因而它們常常近似服從正態(tài)分布.這就是為什么正態(tài)隨機變量在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有重要地位的主要原因.在數(shù)理統(tǒng)計中我們將看到，中心極限定理是大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ).下面介紹另一個中心極限定理.定理5.7設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為n,p(OVpVl)的二項分布，則(拉普拉斯(Laplace)定理) 局部極限定理：當(dāng)n_g時1P{X=1P{X=k}^2nnpqe(k_np)22npq =1Tnpq9丿'(5.10)1 _x2其中p+q=1,k=0,1,2,…,n其中p+q=1,k=0,1,2,…,n.2n(2)(德莫佛-拉普拉斯(DeMoivre Laplace)定理)積分極限定理：對于任意的x,恒有l(wèi)imPX一np/x1 _limP-1， <x}=『~'—e2dt. (5.11)Qnp(1一p) J 一8*2n這個定理表明，二項分布以正態(tài)分布為極限.當(dāng)n充分大時，我們可以利用上兩式來計算二項分布的概率.例5.510部機器獨立工作，每部停機的概率為0.2，求3部機器同時停機的概率.解10部機器中同時停機的數(shù)目X服從二項分布，n=10,p=0.2,np=2,、：npq宀1.265.(1)直接計算：P{X=3}=C3°X0.23X0.87~0.2013;若用局部極限定理近似計算：P{X=3}丄.P{X=3}丄.、：npqk一npyfnPQ丿11.265(3-2[、1.265丿申(0.79)=0.2308.1.265(2)的計算結(jié)果與(1)相差較大，這是由于n不夠大.例5.6應(yīng)用定理5.7計算§5.1中例5.2的概率.解np=7000,,npq~45.83.P{6800<X<7200}=P{|X-7000|<200}=P寸X巧陽。<4.36、二20(4.36)一1=0.99999.

例5.7產(chǎn)品為廢品的概率為p=0.005，求10000件產(chǎn)品中廢品數(shù)不大于70的概率.解10000件產(chǎn)品中的廢品數(shù)X服從二項分布，n=10000,p=0.005,np=50, ~7.053.P{XP{XW70}=①(70-50)、7.053丿二①(2.84)=0.9977.正態(tài)分布和泊松分布雖然都是二項分布的極限分布，但后者以n_8，同時p—0,npf人為條件，而前者則只要求n—8這一條件.一般說來，對于n很大，p(或q)很小的二項分布(npW5)用正態(tài)分布來近似計算不如用泊松分布計算精確.例5.8每顆炮彈命中飛機的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.解500發(fā)炮彈中命中飛機的炮彈數(shù)目X服從二項分布,n=500,p=0.01,np=5,“pq~2.2.下面用三