講義不完全信息靜態(tài)博弈

第5講：不完全信息靜態(tài)博弈主講人：張成科博士廣東工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院zhangck@管理博弈論

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GameTheory)一不完全信息靜態(tài)博弈和貝葉斯納什均衡不完全信息博弈海薩尼轉(zhuǎn)換不完全信息靜態(tài)博弈的戰(zhàn)略式表述和貝葉斯納什均衡二貝葉斯納什均衡應(yīng)用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡四機(jī)制設(shè)計(jì)理論與顯示原理第四章不完全信息靜態(tài)博弈

------貝葉斯納什均衡不完全信息博弈我們不可能料事如神，也無(wú)法掌握所有變因，更無(wú)力預(yù)測(cè)未來(lái)，不確定性不可避免。這里主要探討如何在不確定性的情況下做出理性、一致的決策，換句話說(shuō)，首先必須承認(rèn)自己雖然沒(méi)有辦法做到無(wú)所不知，但也不至于一無(wú)所知，而應(yīng)該或盡可能有效運(yùn)用自己所知的一切為自己謀利。不完全信息博弈“空城計(jì)”街亭失守，司馬懿引大軍蜂擁而來(lái)，當(dāng)時(shí)孔明身邊只有一班文官，軍士一半已經(jīng)運(yùn)糧草去了，只有2500軍士在城中。眾官聽(tīng)得這個(gè)消息，盡皆失色?？酌鞯浅峭?，果然塵土沖天，魏兵分兩路殺來(lái)?？酌髁畋妼㈧浩毂M皆藏匿，打開(kāi)城門(mén)，每一門(mén)用20軍士，扮作百姓，灑掃街道。而孔明羽扇綸巾，引二小童攜琴一張，于城上敵樓前憑欄而望，焚香操琴。不完全信息博弈司馬懿自馬上遠(yuǎn)遠(yuǎn)望之，見(jiàn)諸葛亮神態(tài)自若，頓時(shí)心生疑忌，猶豫再三，難下決斷。又接到遠(yuǎn)山中可能有埋伏的情報(bào)，于是叫后軍做前軍，前軍做后軍，急速退去。司馬懿之子司馬昭問(wèn)：“莫非諸葛亮無(wú)軍，故做此態(tài)，父何故便退兵？”司馬懿說(shuō)：“亮平生謹(jǐn)慎，不曾弄險(xiǎn)，今大開(kāi)城門(mén)，必有埋伏，我兵若進(jìn)，必中計(jì)也?！笨酌饕?jiàn)魏軍退去，撫掌而笑，眾官無(wú)不駭然。諸葛亮說(shuō)，司馬懿“料吾生平謹(jǐn)慎，必不弄險(xiǎn)，疑有伏兵，所以退去。吾非行險(xiǎn)，蓋因不得已而用之，棄城而去，必為之所擒。”不完全信息博弈-信息的重要性被擒，？不被擒，？被擒，？不被擒，？司馬懿諸葛亮棄城守城進(jìn)攻撤退司馬懿：兵多將廣，但不知道自己和對(duì)方在不同行動(dòng)策略下的支付；諸葛亮：處于劣勢(shì)，但知道博弈的結(jié)構(gòu)，比對(duì)方掌握更多的信息。計(jì)策：使用各種手段迷惑司馬懿，為的是不讓對(duì)方知道其策略的結(jié)果（支付）。迫使其認(rèn)為，撤退比進(jìn)攻好，降低其進(jìn)攻的預(yù)期收益。如用概率論的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，諸葛亮的做法是加大司馬懿對(duì)進(jìn)攻失敗的主觀概率，使司馬懿認(rèn)為進(jìn)攻的期望收益小于撤退的期望收益。

司馬懿關(guān)于自己策略的支付的信息是不完全的。不完全信息博弈

在信息不充分的情況下，博弈參與者不是使自己的支付或效用最大，而是使自己的期望效用或支付最大。如讓你在50%的概率獲得100元與10%的概率獲得200元兩者之間選擇的話，前者的期望所得是50元，后者是20元，故選前者。不完全信息博弈在生活中我們也會(huì)碰到這樣的問(wèn)題，比如一個(gè)乞丐向你乞討，你愿意幫助別人，但不知道他是真的乞丐還是騙子，該如何決定呢？如果你喜歡與人為善，你可能愿意冒一點(diǎn)上當(dāng)?shù)奈ｋU(xiǎn)，這不等于你愚蠢，而是你認(rèn)為，幫助一個(gè)困境中的人比回絕一個(gè)騙子更重要。不完全信息博弈完全信息與不完全信息：每一個(gè)參與人對(duì)所有其他參與人的（對(duì)手）的特征、戰(zhàn)略空間及支付函數(shù)有準(zhǔn)確的知識(shí)，否則為不完全信息。類(lèi)似上述情況稱為不完全信息博弈，即在不完全信息博弈中，至少有一個(gè)參與人不知道其他參與人的支付函數(shù)。第四章不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡一不完全信息靜態(tài)博弈和貝葉斯納什均衡不完全信息博弈海薩尼轉(zhuǎn)換不完全信息靜態(tài)博弈的戰(zhàn)略式表述和貝葉斯納什均衡二貝葉斯納什均衡應(yīng)用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡海薩尼轉(zhuǎn)換-3,-3-3,-31,01,00,10,00,10,0默許斗爭(zhēng)默許斗爭(zhēng)進(jìn)入不進(jìn)入在位者市場(chǎng)進(jìn)入博弈：不完全信息進(jìn)入者高成本情況低成本情況

進(jìn)入者似乎在與兩個(gè)在位者博弈，一個(gè)是高成本的在位者，一個(gè)是低成本的在位者；如果在位者有T種不同的成本函數(shù)進(jìn)入者就相當(dāng)于與T個(gè)不同的在位者博弈。

1976年以前，博弈論專(zhuān)家認(rèn)為這樣的不完全信息是沒(méi)法分析的。海薩尼轉(zhuǎn)換海薩尼在1967-1968年提出了一個(gè)處理不完全信息的方法-引入一個(gè)虛擬的參與人“自然”，自然首先行動(dòng)，選擇決定參與人的特征（如成本函數(shù)），參與人知道自己的特征，其他參與人不知道。這樣不完全信息博弈就轉(zhuǎn)換為完全但不完美信息博弈，可以利用標(biāo)準(zhǔn)的分析技術(shù)進(jìn)行分析，這就是“海薩尼轉(zhuǎn)換”。N高低[P][1-P]不進(jìn)入進(jìn)入不進(jìn)入進(jìn)入BB合作斗爭(zhēng)合作斗爭(zhēng)(0,300)(40,50)(-10,0)(30,80)(-10,100)進(jìn)入者在位者在位者(0,400)海薩尼轉(zhuǎn)換類(lèi)型：一個(gè)參與人擁有的所有的個(gè)人信息（即所有不是共同知識(shí)的信息）稱為他的類(lèi)型。根據(jù)這個(gè)定義，甚至允許參與人不知道其他參與人是否知道自己的類(lèi)型。例如：市場(chǎng)進(jìn)入博弈：在位者不知道進(jìn)入者是否知道自己是高成本還是低成本，只知道進(jìn)入者有p’的概率知道自己的成本函數(shù)，（1-p’）的概率不知道自己的成本函數(shù)。這種情況下，進(jìn)入者也有兩種類(lèi)型：知道（在位者的成本）或不知道（在位者的成本）。例如：在談判中，甲方知道自己是強(qiáng)硬派或妥協(xié)派，乙方知道自己是否知道甲方是強(qiáng)硬派或妥協(xié)派，但甲方不知道乙方是否知道自己是強(qiáng)硬派還是妥協(xié)派，則甲方有兩種類(lèi)型：強(qiáng)硬派或妥協(xié)派，乙方有兩種類(lèi)型：知道或不知道。不完全信息意味著，至少有一個(gè)參與人有多個(gè)類(lèi)型。真正的“信息不對(duì)稱”一個(gè)古董商發(fā)現(xiàn)一個(gè)人用珍貴的茶碟做貓食碗，于是假裝對(duì)這只貓很感興趣，要叢主人手里買(mǎi)下，主人不賣(mài)，為此古董商出了大價(jià)錢(qián)。成交之后，古董商裝做不在意地說(shuō)：這個(gè)碟子它已經(jīng)用慣了，就一塊送給我吧。貓主人不干了：你知道用這個(gè)碟子，我已經(jīng)賣(mài)了多少只貓了？關(guān)于完全信息與不完全信息的關(guān)系如果參與人i的類(lèi)型只包含一個(gè)元素，即每個(gè)參與人只有一種類(lèi)型，則該博弈退化為完全信息靜態(tài)博弈，即完全信息靜態(tài)博弈是不完全信息靜態(tài)博弈的特例。Bayes法則:在日常生活中,當(dāng)面臨不確定時(shí),在任何一個(gè)時(shí)點(diǎn)上,我們對(duì)某件事情發(fā)生的可能性有一個(gè)判斷(先驗(yàn)概率),然后,會(huì)根據(jù)新的信息來(lái)修正這個(gè)判斷(后驗(yàn)概率),Bayes法則就是這樣的方法。設(shè)參與人的類(lèi)型是獨(dú)立分布的,參與人i有K個(gè)可能的類(lèi)型;有H個(gè)可能的行動(dòng),θk和ak分別表示特定的類(lèi)型和行動(dòng),則P(θk)≥0,∑P(θk)=1,i選擇ak的概率為:P{aK}=P(a1｜θ1)P(θ1)+···+P(aK｜θK)P(θK)=Bayes公式:Bayes法則要求P(aK)>0,否則后驗(yàn)概率無(wú)意義。如果P(aK)=0,我們?cè)试SP(θK｜aK)在區(qū)間[0,1]區(qū)間取任何值,只要所取的值與均衡策略相容。在動(dòng)態(tài)博弈中,P(aK)=0對(duì)應(yīng)的則為非均衡路徑上的信息集。海薩尼轉(zhuǎn)換設(shè)θi表示參與人i的一個(gè)特定的類(lèi)型，根據(jù)海薩尼公理：假定參與人類(lèi)型的分布函數(shù)P（θ1,…,θn)是所有參與人的共同知識(shí)，所有參與人知道P（θ1,…,θn)，所有參與人知道所有參與人知道P（θ1,…,θn)，如此等等。這意味著在進(jìn)入市場(chǎng)的博弈中，如果進(jìn)入者有一種類(lèi)型，在位者有兩種類(lèi)型，那么p是共同知識(shí)，即進(jìn)入者知道在位者是高成本的概率是p，進(jìn)入者知道在位者知道進(jìn)入者知道在位者是高成本的概率是p，如此等等，即在博弈開(kāi)始時(shí)，所有參與人有關(guān)自然行動(dòng)的信念（belief）是相同的。第四章不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡一不完全信息靜態(tài)博弈和貝葉斯納什均衡不完全信息博弈海薩尼轉(zhuǎn)換不完全信息靜態(tài)博弈的戰(zhàn)略式表述和貝葉斯納什均衡二貝葉斯納什均衡應(yīng)用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡四機(jī)制設(shè)計(jì)理論與顯示原理不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡在不完全信息靜態(tài)博弈中，所有參與人同時(shí)行動(dòng)，其戰(zhàn)略空間等于行動(dòng)空間，但是參與人i的行動(dòng)空間可能依賴于其類(lèi)型，也就是行動(dòng)空間是類(lèi)型依存的。類(lèi)似的，其支付函數(shù)也是類(lèi)型依存的。如企業(yè)能選擇什么產(chǎn)量依賴于它的成本函數(shù)，一個(gè)人能干什么依賴于它的能力等。貝葉斯納什均衡是完全信息靜態(tài)博弈納什均衡概念在不完全信息靜態(tài)博弈上的擴(kuò)展，不完全信息靜態(tài)博弈又叫做靜態(tài)貝葉斯博弈。不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡靜態(tài)貝葉斯博弈的時(shí)間順序?yàn)椋?、自然選擇類(lèi)型向量，參與人i能觀測(cè)到自己的類(lèi)型，但參與人j只知道除i之外所有參與人類(lèi)型，但不知道參與人i的類(lèi)型。2、n個(gè)參與人同時(shí)行動(dòng)；3、參與人i得到類(lèi)型依存支付函數(shù)。給定參與人i只知道自己的類(lèi)型而不知道其他參與人的類(lèi)型，參與人i將選擇使自己的效應(yīng)最大化的期望效用。貝葉斯納什均衡：n人不完全信息靜態(tài)博弈的純戰(zhàn)略均衡是一個(gè)類(lèi)型依存戰(zhàn)略組合，其中每個(gè)參與人i在給定自己的類(lèi)型θi和其他參與人類(lèi)型依存戰(zhàn)略的情況下，最大化自己的期望效用。靜態(tài)貝葉斯博弈定義n人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述包括：參與人的類(lèi)型空間Θ1,…,Θn，條件概率p1,…,pn，類(lèi)型依存戰(zhàn)略空間A1(θ1),…,An(θn)和類(lèi)型依存支付函數(shù)u1(a1,…,an;θ1),…，un(a1,…,an;θn)。參與人i知道自己的類(lèi)型θi∈Θi，條件概率pi=pi(θ-i︱θi)描述給定自己屬于θi的情況下，參與人i有關(guān)其他參與人類(lèi)型θ-i∈Θ-i的不確定性?？梢杂肎={A1,…,An;θ1,…,θn;p1,…,pn;u1,…,un}代表這個(gè)博弈。靜態(tài)貝葉斯博弈的時(shí)間順序?yàn)椋?、自然選擇類(lèi)型向量θ=(θ1,…,θn)，參與人i觀測(cè)到θi，但參與人j(≠i)只知道pj(θ-j︱θj)，觀測(cè)不到θi；2、n個(gè)參與人同時(shí)選擇行動(dòng)a=(a1,…,an)，其中ai(θi)∈Ai(θi)；3、參與人i得到類(lèi)型依存支付函數(shù)ui(a1,…,an;θi)。

靜態(tài)貝葉斯博弈定義給定參與人i只知道自己的類(lèi)型θi而不知道其他參與人的類(lèi)型θ-i

，參與人i將選擇行動(dòng)ai(θi)最大化自己的期望效用。參與人i的期望效用函數(shù)定義為

vi=∑pi(θ-i︱θi)ui(ai(θi),a-i(θ-i);θi,θ-i)戰(zhàn)略：在n人靜態(tài)貝葉斯博弈G={A1,…,An;θ1,…,θn;p1,…,pn;u1,…,un}中，參與人i的戰(zhàn)略是一個(gè)類(lèi)型依存函數(shù)ai(θi)，其中對(duì)Θi中的每一個(gè)類(lèi)型θi，ai(θi)包含了自然賦予i的可能類(lèi)型為ai(θi)時(shí)，i將從自己的戰(zhàn)略空間Ai(θi)中中選擇戰(zhàn)略ai(θi)。靜態(tài)貝葉斯博弈定義貝葉斯納什均衡：n人不完全信息靜態(tài)博弈G={A1,…,An;θ1,…,θn;p1,…,pn;u1,…,un}的純戰(zhàn)略均衡是一個(gè)類(lèi)型依存戰(zhàn)略組合{ai*(θi)}ni=1

，其中每個(gè)參與人i在給定自己的類(lèi)型θi和其他參與人類(lèi)型依存戰(zhàn)略a-i*(θ-i)的情況下，最大化自己的期望效用函數(shù)vi

。與純戰(zhàn)略納什均衡不同的是，在貝葉斯均衡中參與人i只知道具有類(lèi)型θj的參與人j將選擇aj(θj)但并不知道θj。因此，即使純戰(zhàn)略選擇也必須取支付函數(shù)的期望值。

二貝葉斯納什均衡應(yīng)用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡第四章不完全信息靜態(tài)博弈（續(xù)）N高低[P][1-P]不進(jìn)入進(jìn)入不進(jìn)入進(jìn)入BB合作斗爭(zhēng)合作斗爭(zhēng)(0,300)(40,50)(-10,0)(30,80)(-10,100)進(jìn)入者在位者在位者(0,400)市場(chǎng)進(jìn)入博弈在市場(chǎng)進(jìn)入的例子里，均衡戰(zhàn)略是：高成本的在位者選擇默許，低成本的在位者選擇斗爭(zhēng)。只有當(dāng)高成本的概率p=1/5時(shí)，進(jìn)入者才選擇進(jìn)入，否則不進(jìn)入。不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡假定參與人i的類(lèi)型依存活動(dòng)空間和參與人i的效用函數(shù)是共同知識(shí)，其他參與人不知道參與人i的類(lèi)型，但知道其戰(zhàn)略空間和支付函數(shù)是如何依賴于他的類(lèi)型的。給定參與人i只知道自己的類(lèi)型而不知道其他參與人的類(lèi)型，參與人i將選擇使自己的效應(yīng)最大化的期望效用。貝葉斯納什均衡：n人不完全信息靜態(tài)博弈的純戰(zhàn)略均衡是一個(gè)類(lèi)型依存戰(zhàn)略組合，其中每個(gè)參與人i在給定自己的類(lèi)型θi和其他參與人類(lèi)型依存戰(zhàn)略的情況下，最大化自己的期望效用。在市場(chǎng)進(jìn)入的例子里，高成本的在位者選擇默許，低成本的在位者選擇斗爭(zhēng)，只有當(dāng)如果p>=1/5時(shí)，進(jìn)入者才選擇進(jìn)入。不完全信息庫(kù)諾特模型企業(yè)1企業(yè)2參與人：企業(yè)1、企業(yè)2；行動(dòng)順序：同時(shí)行動(dòng)不完全信息：企業(yè)1單位成本c1是共同知識(shí)，企業(yè)2的成本可能是c2l或c2h，企業(yè)1只知道c2=c2l的可能性是1/2，這是共同知識(shí)。不完全信息庫(kù)諾特模型qi

：第i個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量Ci：代表第i個(gè)企業(yè)的成本假定逆需求函數(shù)為：第i個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為：企業(yè)1企業(yè)2假定a=2，c1=1，c2l=3/4，c2h=5/4。給定企業(yè)2知道企業(yè)1的成本，企業(yè)2將選擇q2最大化利潤(rùn)函數(shù)：t=a-c=a-3/4=5/4或t=a-5/4=3/4依賴于企業(yè)2的實(shí)際成本。從最優(yōu)化一階條件可得企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)為：企業(yè)1企業(yè)2不完全信息庫(kù)諾特模型不完全信息庫(kù)諾特模型也就是說(shuō)，企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量不僅依賴于企業(yè)的產(chǎn)量，而且依賴于自己的成本，令q2l為t=5/4時(shí)企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量，q2h為t=3/4時(shí)企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量。那么，

q2l=1/2*（5/4-q1）；q2h=1/2*（3/4-q1）

企業(yè)1不知道企業(yè)2的真實(shí)成本從而不知道企業(yè)2的最優(yōu)反應(yīng)究竟是q2l還是q2h，因此企業(yè)1將選擇q1最大化下列利潤(rùn)函數(shù)：不完全信息庫(kù)諾特模型最優(yōu)化一階條件得企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)為：是企業(yè)1關(guān)于企業(yè)2產(chǎn)量的期望值均衡意味著兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)同時(shí)成立，解兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)得貝葉斯均衡為：

拍賣(mài)理論簡(jiǎn)介拍賣(mài)或招標(biāo)有兩個(gè)基本功能，一是揭示信息，二是減少代理成本。拍賣(mài)是博弈論重要的分支。著名拍賣(mài)理論專(zhuān)家維克利(Vickrey)，由于在拍賣(mài)及在拍賣(mài)基礎(chǔ)上衍生的機(jī)制設(shè)計(jì)理論的一些原創(chuàng)新工作，獲得了1996年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài)（招標(biāo)）當(dāng)一件物品對(duì)買(mǎi)者的價(jià)值買(mǎi)者比賣(mài)者更清楚時(shí)，賣(mài)者一般不愿意首先提出價(jià)格，而常常采用拍賣(mài)的方式以獲得可能的最高價(jià)格。這種情況在古董和名畫(huà)的交易中特別普遍。一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài)是許多拍賣(mài)方式中的一種。在這種拍賣(mài)中，投標(biāo)人同時(shí)將自己的出價(jià)寫(xiě)下來(lái)裝入一個(gè)信封，密封后交給拍賣(mài)人，拍賣(mài)人打開(kāi)信封，出價(jià)最高者是贏者，按他的出價(jià)支付價(jià)格，拿走被拍賣(mài)的物品。這里，每個(gè)投標(biāo)人的戰(zhàn)略是根據(jù)自己對(duì)該物品的評(píng)價(jià)和對(duì)其他投標(biāo)人評(píng)價(jià)的判斷來(lái)選擇自己的出價(jià)，贏者的支付是他對(duì)物品的評(píng)價(jià)減去他的出價(jià)，其他投標(biāo)人的支付為零。首先考慮兩個(gè)投標(biāo)人的情況，i=1，2。令bi≥0是投標(biāo)人i的出價(jià)，vi為拍賣(mài)物品對(duì)投標(biāo)人i的價(jià)值。假定vi只有i知道（因而vi是投標(biāo)人i的類(lèi)型），但兩個(gè)投標(biāo)人都知道vi獨(dú)立地取自定義在區(qū)間[0,1]上的均勻分布函數(shù)。投標(biāo)人i的支付如下：這里，我們假定如果兩個(gè)投標(biāo)人出價(jià)相同，拍賣(mài)品在兩人之間隨機(jī)的分配。一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài)（招標(biāo)）假定投標(biāo)人i的出價(jià)bi(vi)是其價(jià)值vi的嚴(yán)格遞增可微函數(shù)。顯然，bi>1≥vi不可能是最優(yōu)的，因?yàn)闆](méi)有人愿意付出比物品價(jià)值本身更高的價(jià)格。由于博弈的對(duì)稱性，我們可只需考慮對(duì)稱的均衡出價(jià)戰(zhàn)略：b=b*(v)。給定v

和b，投標(biāo)人i的期望支付為：這里Prob（·）代表bj<b的概率，其中bj是投標(biāo)人j的出價(jià)戰(zhàn)略。因?yàn)槌鰞r(jià)戰(zhàn)略是嚴(yán)格遞增的，Prob（bj<b

）=Prob（

bj≤b

）。期望支付的第一項(xiàng)（v-b）是給定贏的情況下投標(biāo)人i的凈所得，第二項(xiàng)Prob（·）是贏的概率。一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài)（招標(biāo)）根據(jù)對(duì)稱性，bj=b*(vj)，所以這里，φ(b)是b*的逆函數(shù)（即當(dāng)投標(biāo)人選擇b時(shí)他的價(jià)值是φ(b)）。因此，投標(biāo)人i面臨的問(wèn)題是：最優(yōu)化的一階條件是：一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài)（招標(biāo)）如果b*(·)是投標(biāo)人i的最優(yōu)策略，φ(b)=v。因此，上述微分方程可以寫(xiě)成：解得：就是說(shuō)，這個(gè)博弈的貝葉斯均衡是。每個(gè)投標(biāo)人的出價(jià)是其實(shí)際價(jià)值的一半：。在均衡情況下，被拍賣(mài)品歸評(píng)價(jià)最高的投標(biāo)人所有，這從資源配置的角度講是有效率的，但賣(mài)者只得到買(mǎi)者價(jià)值的一半。一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài)（招標(biāo)）可以證明，投標(biāo)人出價(jià)與實(shí)際價(jià)值之間的差距隨投標(biāo)人數(shù)的增加而遞減。假定有n個(gè)投標(biāo)人，每個(gè)投標(biāo)人的價(jià)值vi具有獨(dú)立的、相同的定義在[0，1]區(qū)間上的均勻分布，如果評(píng)價(jià)為v的投標(biāo)人i出價(jià)b，他的期望支付函數(shù)為：最優(yōu)化的一階條件為：

或一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài)（招標(biāo)）一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài)（招標(biāo)）因?yàn)樵诰馇闆r下φ(b)=v，一階條件可以寫(xiě)成：

解上述微分方程得：顯然，b*(v)隨著n的增加而增加。特別地，當(dāng)n→∞時(shí)，b*→

v

。就是說(shuō)，投標(biāo)人越多，賣(mài)方能得到的價(jià)格就越高；當(dāng)投標(biāo)人趨于無(wú)窮時(shí)，賣(mài)方幾乎可以得到買(mǎi)方價(jià)值的全部。所以，讓更多的投標(biāo)人加入競(jìng)標(biāo)是賣(mài)方的利益所在。在公共管理中，政府的采購(gòu)和公共工程招投標(biāo)中通常規(guī)定要進(jìn)行公開(kāi)招標(biāo)，并在參加競(jìng)標(biāo)的公司數(shù)目上有下限規(guī)定，其緣故正是如此，因?yàn)楦嗟母?jìng)爭(zhēng)者參加投標(biāo)會(huì)壓低工程報(bào)價(jià)，從而使政府開(kāi)支得到一定程度的節(jié)省。二貝葉斯納什均衡應(yīng)用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡第四章不完全信息靜態(tài)博弈（續(xù)）4.3

貝葉斯博弈與混合戰(zhàn)略均衡例抓錢(qián)(grabthedolla)博弈:

每個(gè)參與人有兩個(gè)可能的行動(dòng):投資(“抓”)或不投資,在完全相信博弈中兩人的得益如下:

抓不抓抓-1,-11,0

不抓0,10,0該博弈有唯一的混合策略Nash均衡σ1=σ2=(1/2,1/2)。現(xiàn)在我們稍微擾動(dòng)一下得益矩陣,即對(duì)部分得益賦予一個(gè)小的“隨機(jī)干擾”:

投資不投資

投資-1,-11+θ1,0

不投資0,1+θ20,0

其中θi在[-ε,ε]上均勻地分布。12這是一個(gè)不完全信息的Bayes博弈，如果把“抓錢(qián)”看作投資，不論公司屬于什么類(lèi)型，它們依然各有兩個(gè)策略：投資或不投資。信念密度為:如果當(dāng)θ1超過(guò)某臨界值x時(shí)，公司1投資，否則就不投資；同樣，如果θ2超過(guò)某臨界值y時(shí)，公司2投資，否則就不投資。X、y∈[-ε,ε]。公司1投資時(shí)的期望利潤(rùn)為:時(shí)公司1投資。類(lèi)似地，只有當(dāng)時(shí)公司2投資。將上面兩式聯(lián)立，解得：x=y=0。于是我們得到對(duì)稱的純策略Bayes均衡解為：公司i當(dāng)θi≥0時(shí)投資，當(dāng)θi<0時(shí)不投資。從以上分析可知，每家公司均以1/2的概率投資，1/2的概率不投資。當(dāng)ε→0時(shí)，不完全信息靜態(tài)博弈趨于完全信息靜態(tài)博弈，而完全信息靜態(tài)博弈的混合策略Nash均衡{(1/2,1/2),(1/2,1/2)}可以看作這一系列Bayes博弈均衡的極限。例2性別戰(zhàn)博弈該博弈有兩個(gè)純策策Nash均衡和一個(gè)混合策略Nash均衡，分別為：(戲,戲)、(足球,足球)和{(2/3,1/3),(1/3,2/3)}。戲足球戲2,10,0足球0,01,2女男Ⅰ例2性別戰(zhàn)博弈明顯地，t1應(yīng)有一個(gè)臨界值c1，超過(guò)c1女方就會(huì)選擇“戲”，同樣t2也有一個(gè)臨界值c2，超過(guò)c2時(shí)男方就會(huì)選擇“足球”。對(duì)該博弈稍作擾動(dòng)，變?yōu)橄率霾┺模簍1為女方的私人信息，t2為男方的私人信息。設(shè)類(lèi)型t1、t2為來(lái)自[0，x]上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量。在該博弈中，行動(dòng)空間A1=A2={戲，足球}，類(lèi)型空間T1=T2=[0,x],信念密度為p1(t1)=p2(t2)=1/x戲足球戲2+t1,10,0足球0.01,2+t2男女Ⅱ現(xiàn)在來(lái)尋求Bayes博弈的純策略均衡，在這個(gè)均衡中，女以(x－c1)/x的概率看戲；男以(x－c2)/x的概率看足球。對(duì)給定的x，要求出c1、c2的確定值，使上述策略構(gòu)成純策略Baye