高中數(shù)學(xué)必修一專題復(fù)習(xí)

..第一章集合與函數(shù)概念知識架構(gòu)集合集合集合表示法集合的運(yùn)算集合的關(guān)系列舉法描述法圖示法包含相等子集與真子集交集并集補(bǔ)集函數(shù)函數(shù)及其表示函數(shù)基本性質(zhì)單調(diào)性與最值函數(shù)的概念函數(shù)的奇偶性函數(shù)的表示法映射映射的概念集合與函數(shù)概念第一講集合★知識梳理一：集合的含義及其關(guān)系1.集合中的元素具有的三個性質(zhì):確定性、無序性和互異性;2.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖；3.集合中元素與集合的關(guān)系：文字語言符號語言屬于不屬于4.常見集合的符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集符號或二：集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同且子集A中任意一元素均為B中的元素或真子集A中任意一元素均為B中的元素,且B中至少有一元素不是A的元素空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,〔三：集合的基本運(yùn)算①兩個集合的交集:=;②兩個集合的并集:=;③設(shè)全集是U,集合,則交并補(bǔ)方法:常用數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)三種運(yùn)算.★重、難點(diǎn)突破重點(diǎn)：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補(bǔ)三種運(yùn)算。難點(diǎn)：正確把握集合元素的特征、進(jìn)行集合的不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化,準(zhǔn)確進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)三種運(yùn)算。重難點(diǎn)：1.集合的概念掌握集合的概念的關(guān)鍵是把握集合元素的三大特性,要特別注意集合中元素的互異性,在解題過程中最易被忽視,因此要對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)；2．集合的表示法〔1列舉法要注意元素的三個特性；〔2描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性質(zhì),如、、等的差別,如果對集合中代表元素認(rèn)識不清,將導(dǎo)致求解錯誤：問題：已知集合〔A.；B.；C.；D.[錯解]誤以為集合表示橢圓,集合表示直線,由于這直線過橢圓的兩個頂點(diǎn),于是錯選B[正解]C；顯然,,故<3>Venn圖是直觀展示集合的很好方法,在解決集合間元素的有關(guān)問題和集合的運(yùn)算時常用Venn圖。3．集合間的關(guān)系的幾個重要結(jié)論〔1空集是任何集合的子集,即〔2任何集合都是它本身的子集,即〔3子集、真子集都有傳遞性,即若,,則4．集合的運(yùn)算性質(zhì)〔1交集：①；②；③；④,⑤；〔2并集：①；②；③；④,⑤；〔3交、并、補(bǔ)集的關(guān)系①；②；★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：集合的定義及其關(guān)系題型1：集合元素的基本特征[例1]〔20XXXX理定義集合運(yùn)算：．設(shè),則集合的所有元素之和為〔A．0；B．2；C．3；D．6[解題思路]根據(jù)的定義,讓在中逐一取值,讓在中逐一取值,在值就是的元素[解析]：正確解答本題,必需清楚集合中的元素,顯然,根據(jù)題中定義的集合運(yùn)算知=,故應(yīng)選擇D[名師指引]這類將新定義的運(yùn)算引入集合的問題因?yàn)楸尘肮?所以成為高考的一個熱點(diǎn),這時要充分理解所定義的運(yùn)算即可,但要特別注意集合元素的互異性。題型2：集合間的基本關(guān)系[例2]．?dāng)?shù)集與之的關(guān)系是〔A．；B．；C．；D．[解題思路]可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來,然后進(jìn)行判斷；也可依選擇支之間的關(guān)系進(jìn)行判斷。[解析]從題意看,數(shù)集與之間必然有關(guān)系,如果A成立,則D就成立,這不可能；同樣,B也不能成立；而如果D成立,則A、B中必有一個成立,這也不可能,所以只能是C[名師指引]新定義問題是高考的一個熱點(diǎn),解決這類問題的辦法就是嚴(yán)格根據(jù)題中的定義,逐個進(jìn)行檢驗(yàn),不方便進(jìn)行檢驗(yàn)的,就設(shè)法舉反例。[新題導(dǎo)練]1．第二十九屆夏季奧林匹克運(yùn)動會將于2008年8月8日在北京舉行,若集合A={參加北京奧運(yùn)會比賽的運(yùn)動員},集合B={參加北京奧運(yùn)會比賽的男運(yùn)動員},集合C={參加北京奧運(yùn)會比賽的女運(yùn)動員},則下列關(guān)系正確的是〔A．B.C.D.[解析]D；因?yàn)槿癁?而=全集=2．<2006?XX改編定義集合運(yùn)算:,設(shè)集合,,則集合的所有元素之和為[解析]18,根據(jù)的定義,得到,故的所有元素之和為183．<2007·XX改編設(shè)和是兩個集合,定義集合,如果,,那么等于[解析]；因?yàn)?,所以4．研究集合,,之間的關(guān)系[解析]與,與都無包含關(guān)系,而；因?yàn)楸硎镜亩x域,故；表示函數(shù)的值域,；表示曲線上的點(diǎn)集,可見,,而與,與都無包含關(guān)系考點(diǎn)二：集合的基本運(yùn)算[例3]設(shè)集合,若,求實(shí)數(shù)的值；〔2若,求實(shí)數(shù)的取值范圍若,[解題思路]對于含參數(shù)的集合的運(yùn)算,首先解出不含參數(shù)的集合,然后根據(jù)已知條件求參數(shù)。[解析]因?yàn)?〔1由知,,從而得,即,解得或當(dāng)時,,滿足條件；當(dāng)時,,滿足條件所以或〔2對于集合,由因?yàn)?所以①當(dāng),即時,,滿足條件；②當(dāng),即時,,滿足條件；③當(dāng),即時,才能滿足條件,由根與系數(shù)的關(guān)系得,矛盾故實(shí)數(shù)的取值范圍是[名師指引]對于比較抽象的集合,在探究它們的關(guān)系時,要先對它們進(jìn)行化簡。同時,要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.[新題導(dǎo)練]6．若集合,,則是〔A.；B.；C.；D.有限集[解析]A；由題意知,集合表示函數(shù)的值域,故集合；表示函數(shù)的值域,,故7．已知集合,,那么集合為〔A.；B.；C.；D.[解析]D；表示直線與直線的交點(diǎn)組成的集合,A、B、C均不合題意。8．集合,,且,求實(shí)數(shù)的值.[解析]；先化簡B得,.由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一種情況是:的情形,此時.故所求實(shí)數(shù)的值為.備選例題1：已知,,則中的元素個數(shù)是〔A.；B.；C.；D.無窮多個[解析]選A;集合表示函數(shù)的值域,是數(shù)集,并且,而集合表示滿足的有序?qū)崝?shù)對的集合,即表示圓上的點(diǎn),是點(diǎn)集。所以,集合與集合中的元素均不相同,因而,故其中元素的個數(shù)為0[誤區(qū)分析]在解答過程中易出現(xiàn)直線與圓有兩個交點(diǎn)誤選C；或者誤認(rèn)為中,而中,從而有無窮多個解而選D。注意,明確集合中元素的屬性〔是點(diǎn)集還是數(shù)集是準(zhǔn)確進(jìn)行有關(guān)集合運(yùn)算的前提和關(guān)鍵。備選例題2：已知集合和集合各有12個元素,含有4個元素,試求同時滿足下面兩個條件的集合的個數(shù)：<Ⅰ>,且中含有3個元素；<Ⅱ>〔表示空集[解法一]因?yàn)?、各?2個元素,含有4個元素,因此,的元素個數(shù)是故滿足條件<Ⅰ>的集合的個數(shù)是上面集合中,還滿足的集合的個數(shù)是因此,所求集合的個數(shù)是[解法二]由題目條件可知,屬于而不屬于的元素個數(shù)是因此,在中只含有中1個元素的所要求的集合的個數(shù)為含有中2個元素的所要求的集合的個數(shù)為含有中3個元素的所要求的集合的個數(shù)為所以,所求集合的個數(shù)是★搶分頻道UBUBA〔09年吳川市川西中學(xué)09屆第四次月考設(shè)全集,則右圖中陰影部分表示的集合為<>A．；B．；C．；D．[解析]C；圖中陰影部分表示的集合是,而,故2.〔XX09屆高三摸底考已知則=A．；B．；C．；D．[解析]A；因?yàn)?,所以3.〔XX09屆高三調(diào)研考集合的所有子集個數(shù)為[解析]8；集合的所有子集個數(shù)為4.〔09年XX市高三第一次月考集合中的代表元素設(shè)為,集合中的代表元素設(shè)為,若且,則與的關(guān)系是[解析]或；由子集和交集的定義即可得到結(jié)論5．<20XX天津>設(shè)集合,則的取值范圍是〔A．；B．C．或；D．或[解析]A；,,所以,從而得綜合提高訓(xùn)練：6．,則下列關(guān)系中立的是<>A．;B．;C．;D．[解析]A；當(dāng)時,有,即；當(dāng)時,也恒成立,故,所以7.設(shè),,,記,,則＝<>A.;B.;C.;D.[解析]A；依題意得,,所以,,故應(yīng)選A8．〔09屆XX第一次調(diào)研考設(shè)A、B是非空集合,定義,已知A=,B=,則A×B等于〔A．；B．；C．；D．[解析]D；,∴A=[0,2],,∴B=〔1,＋∞,∴A∪B=[0,＋∞,A∩B=〔1,2],則A×B＝第2講函數(shù)與映射的概念★知識梳理1．函數(shù)的概念<1>函數(shù)的定義：設(shè)是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合中的每一個數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)叫做從到的一個函數(shù),通常記為<2>函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)中,叫做自變量,的取值范圍叫做的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。<2>函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則2．映射的概念設(shè)是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合中的任意元素,在集合中都有唯一確定的元素與之對應(yīng),那么這樣的單值對應(yīng)叫做從到的映射,通常記為★重、難點(diǎn)突破重點(diǎn)：掌握映射的概念、函數(shù)的概念,會求函數(shù)的定義域、值域難點(diǎn)：求函數(shù)的值域和求抽象函數(shù)的定義域重難點(diǎn)：1．關(guān)于抽象函數(shù)的定義域求抽象函數(shù)的定義域,如果沒有弄清所給函數(shù)之間的關(guān)系,求解容易出錯誤問題1：已知函數(shù)的定義域?yàn)?求的定義域[誤解]因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以,從而故的定義域是[正解]因?yàn)榈亩x域?yàn)?所以在函數(shù)中,,從而,故的定義域是即本題的實(shí)質(zhì)是求中的范圍問題2：已知的定義域是,求函數(shù)的定義域[誤解]因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是,所以得到,從而,所以函數(shù)的定義域是[正解]因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是,則,從而所以函數(shù)的定義域是即本題的實(shí)質(zhì)是由求的范圍即與中含義不同求值域的幾種常用方法〔1配方法：對于〔可化為"二次函數(shù)型"的函數(shù)常用配方法,如求函數(shù),可變?yōu)榻鉀Q〔2基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求,如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來求。〔3判別式法：通過對二次方程的實(shí)根的判別求值域。如求函數(shù)的值域由得,若,則得,所以是函數(shù)值域中的一個值；若,則由得,故所求值域是〔4分離常數(shù)法：常用來求"分式型"函數(shù)的值域。如求函數(shù)的值域,因?yàn)?而,所以,故〔5利用基本不等式求值域：如求函數(shù)的值域當(dāng)時,；當(dāng)時,,若,則若,則,從而得所求值域是〔6利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)的值域因,故函數(shù)在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增,從而可得所求值域?yàn)椤?圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出,則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域〔求某些分段函數(shù)的值域常用此法?！餆狳c(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)[例1]試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？〔1,；〔2,〔3,〔n∈N*；〔4,；〔5,[解題思路]要判斷兩個函數(shù)是否表示同一個函數(shù),就要考查函數(shù)的三要素。[解析]〔1由于,,故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同,所以它們不是同一函數(shù).〔2由于函數(shù)的定義域?yàn)?而的定義域?yàn)镽,所以它們不是同一函數(shù).〔3由于當(dāng)n∈N*時,2n±1為奇數(shù),∴,,它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同,所以它們是同一函數(shù).〔4由于函數(shù)的定義域?yàn)?而的定義域?yàn)?它們的定義域不同,所以它們不是同一函數(shù).〔5函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同,所以它們是同一函數(shù).[答案]〔1、〔2、〔4不是；〔3、〔5是同一函數(shù)[名師指引]構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)為同一函數(shù)。都可視為同一函數(shù).[新題導(dǎo)練]1．<2009·XX>下列函數(shù)中與函數(shù)相同的是<>A.y=<>2;B.y=;C.y=;D.y=[解析]B；因?yàn)閥=,所以應(yīng)選擇B2．<09年XX南開中學(xué)>與函數(shù)的圖象相同的函數(shù)是〔A.；B.；C.；D.[解析]C；根據(jù)對數(shù)恒等式得,且函數(shù)的定義域?yàn)?故應(yīng)選擇C考點(diǎn)二：求函數(shù)的定義域、值域題型1：求有解析式的函數(shù)的定義域[例2].〔08年XX函數(shù)的定義域?yàn)?lt;>A.;B.；C.;D.[解題思路]函數(shù)的定義域應(yīng)是使得函數(shù)表達(dá)式的各個部分都有意義的自變量的取值范圍。[解析]欲使函數(shù)有意義,必須并且只需,故應(yīng)選擇[名師指引]如沒有標(biāo)明定義域,則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的的取值范圍,實(shí)際操作時要注意：①分母不能為0；②對數(shù)的真數(shù)必須為正；③偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；④零指數(shù)冪中,底數(shù)不等于0；⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中,底數(shù)應(yīng)大于0；⑥若解析式由幾個部分組成,則定義域?yàn)楦鱾€部分相應(yīng)集合的交集；⑦如果涉及實(shí)際問題,還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義,而且注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先原則,實(shí)際問題的定義域不要漏寫。題型2：求抽象函數(shù)的定義域[例3]〔2006·XX設(shè),則的定義域?yàn)椤睞.；B.；C.；D.[解題思路]要求復(fù)合函數(shù)的定義域,應(yīng)先求的定義域。[解析]由得,的定義域?yàn)?故解得。故的定義域?yàn)?選B.[名師指引]求復(fù)合函數(shù)定義域,即已知函數(shù)的定義為,則函數(shù)的定義域是滿足不等式的x的取值范圍；一般地,若函數(shù)的定義域是,指的是,要求的定義域就是時的值域。題型3；求函數(shù)的值域[例4]已知函數(shù),若恒成立,求的值域[解題思路]應(yīng)先由已知條件確定取值范圍,然后再將中的絕對值化去之后求值域[解析]依題意,恒成立,則,解得,所以,從而,,所以的值域是[名師指引]求函數(shù)的值域也是高考熱點(diǎn),往往都要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。[新題導(dǎo)練]3.〔2008XX文、理函數(shù)的定義域?yàn)椋甗解析]；由解得4．定義在上的函數(shù)的值域?yàn)?則函數(shù)的值域?yàn)?lt;>A．；B．；C．；D．無法確定[解析]B；函數(shù)的圖象可以視為函數(shù)的圖象向右平移一個單位而得到,所以,它們的值域是一樣的5．<2008XX改>若函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域是[解析]；因?yàn)榈亩x域?yàn)?所以對,但故6．<2008XX理改>若函數(shù)的值域是,則函數(shù)的值域是[解析]；可以視為以為變量的函數(shù),令,則,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),故的最大值是,最小值是2考點(diǎn)三：映射的概念[例5]〔06XX為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文密文〔加密,接收方由密文明文〔解密,已知加密規(guī)則為：明文對應(yīng)密文例如,明文對應(yīng)密文當(dāng)接收方收到密文時,則解密得到的明文為〔A．；B．；C．；D．[解題思路]密文與明文之間是有對應(yīng)規(guī)則的,只要按照對應(yīng)規(guī)則進(jìn)行對應(yīng)即可。[解析]當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時,有,解得,解密得到的明文為C．[名師指引]理解映射的概念,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：〔1集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的,是一個整體系統(tǒng)；〔2對應(yīng)法則有"方向性",即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng),它與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；〔3集合A中每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的,這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)的本質(zhì)特征；〔4集合A中不同元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；〔5不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.[新題導(dǎo)練]7．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立從A到B的映射個數(shù)是__________,從B到A的映射個數(shù)是__________.[解析]9,8；從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對應(yīng)方法〔可對應(yīng)5或6或7,第二步A中的元素4也有這3種對應(yīng)方法.由乘法原理,不同的映射種數(shù)N1＝3×3＝9.反之從B到A,道理相同,有N2＝2×2×2＝8種不同映射.8．若f:y=3x+1是從集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一個映射,求自然數(shù)a、k的值及集合A[解析]a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}；∵f〔1=3×1+1=4,f〔2=3×2+1=7,f〔3=3×3+1=10,f〔k=3k+1,由映射的定義知〔1或〔2∵a∈N,∴方程組〔1無解.解方程組〔2,得a=2或a=－5〔舍,3k+1=16,3k=15,k=5.∴A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.備選例題：〔03年上海已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù),對任意,有成立?！?函數(shù)是否屬于集合？說明理由；〔2設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象有公共點(diǎn),證明：[解析]〔1對于非零常數(shù)T,f<x+T>=x+T,Tf<x>=Tx.因?yàn)閷θ我鈞∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f<x>=〔2因?yàn)楹瘮?shù)f<x>=ax〔a>0且a≠1的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn),所以方程組：有解,消去y得ax=x,顯然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常數(shù)T,使aT=T.于是對于f<x>=ax有故f<x>=ax∈M.★搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1．<2007·XX改編>已知函數(shù)的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?則[解析]；因?yàn)?故2．函數(shù)的定義域是[解析]；由得到3．函數(shù)的值域是[解析]；由知,從而得,而,所以,即4．〔XX從化中學(xué)09屆月考從集合A到B的映射中,下列說法正確的是<>A．B中某一元素的原象可能不只一個；B．A中某一元素的象可能不只一個C．A中兩個不同元素的象必不相同；D．B中兩個不同元素的原象可能相同[解析]A；根據(jù)映射的定義知可排除B、C、D5．〔XX中學(xué)09屆高三第一學(xué)段考試下列對應(yīng)法則中,構(gòu)成從集合A到集合的映射是 A． B． C． D．[解析]D；根據(jù)映射的定義知,構(gòu)成從集合A到集合的映射是D6．〔09年執(zhí)信中學(xué)若函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則的取值范圍是〔A．；B．；C．；D．[解析]B；因?yàn)楹瘮?shù)即為,其圖象的對稱軸為直線,其最小值為,并且當(dāng)及時,,若定義域?yàn)?值域?yàn)?則綜合提高訓(xùn)練：8．〔05天津改設(shè)函數(shù),則函數(shù)的定義域是[解析]；由得,的定義域?yàn)?。故解得或?．設(shè)函數(shù)的定義域是<是正整數(shù)>,那么的值域中共有個整數(shù)[解析]；因?yàn)?可見,在<是正整數(shù)>上是增函數(shù),又所以,在的值域中共有個整數(shù)第3講函數(shù)的表示方法★知識梳理一、函數(shù)的三種表示法：圖象法、列表法、解析法1．圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系；2．列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系；3．解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系,用等式來表示。二、分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)?！镏亍㈦y點(diǎn)突破重點(diǎn)：掌握函數(shù)的三種表示法-----圖象法、列表法、解析法,分段函數(shù)的概念難點(diǎn)：分段函數(shù)的概念,求函數(shù)的解析式重難點(diǎn)：掌握求函數(shù)的解析式的一般常用方法：〔1若已知函數(shù)的類型〔如一次函數(shù)、二次函數(shù),則用待定系數(shù)法；〔2若已知復(fù)合函數(shù)的解析式,則可用換元法或配湊法；問題1．已知二次函數(shù)滿足,求方法一：換元法令,則,從而所以方法二：配湊法因?yàn)樗苑椒ㄈ捍ㄏ禂?shù)法因?yàn)槭嵌魏瘮?shù),故可設(shè),從而由可求出,所以〔3若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式,則常用解方程組消參的方法求出問題2：已知函數(shù)滿足,求因?yàn)棰僖源芒谟散佗诼?lián)立消去得★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1：用圖像法表示函數(shù)[例1]〔09年XX南海中學(xué)一水池有個進(jìn)水口,個出水口,一個口的進(jìn)、出水的速度如圖甲乙所示.某天點(diǎn)到點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下個論斷：進(jìn)水量出水量蓄水量甲乙丙〔1點(diǎn)到點(diǎn)只進(jìn)水不出水；〔2點(diǎn)到點(diǎn)不進(jìn)水只出水；〔3點(diǎn)到點(diǎn)不進(jìn)水不出水．則一定不正確的論斷是<把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號都填上>.[解題思路]根據(jù)題意和所給出的圖象,對三個論斷進(jìn)行確認(rèn)即可。[解析]由圖甲知,每個進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時1個單位,兩個進(jìn)水口1個小時共進(jìn)水2個單位,3個小時共進(jìn)水6個單位,由圖丙知①正確；而由圖丙知,3點(diǎn)到4點(diǎn)應(yīng)該是有一個進(jìn)水口進(jìn)水,出水口出水,故②錯誤；由圖丙知,4點(diǎn)到6點(diǎn)可能是不進(jìn)水不出水,也可能是兩個進(jìn)水口都進(jìn)水,同時出水口也出水,故③不一定正確。從而一定不正確的論斷是〔2[名師指引]象這類給出函數(shù)圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個熱點(diǎn),它要求考生熟悉基本的函數(shù)圖象特征,善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點(diǎn)題型是"知式選圖"和"知圖選式"。[新題導(dǎo)練]1．<05XX改>一給定函數(shù)的圖象在下列圖中,并且對任意,由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足,則該函數(shù)的圖象是〔ABCD[解析]A.；令,則等價于,是由點(diǎn)組成,而又知道,所以每各點(diǎn)都在y=x的上方。2．<2005·XX>函數(shù)的圖象大致是<>[解析]D；當(dāng)時,,可以排除A和C；又當(dāng)時,,可以排除B考點(diǎn)2：用列表法表示函數(shù)[例2]〔07年北京已知函數(shù),分別由下表給出123131123321則的值為；滿足的的值是[解題思路]這是用列表的方法給出函數(shù),就依照表中的對應(yīng)關(guān)系解決問題。[解析]由表中對應(yīng)值知=；當(dāng)時,,不滿足條件當(dāng)時,,滿足條件,當(dāng)時,,不滿足條件,∴滿足的的值是[名師指引]用列表法表示函數(shù)具有明顯的對應(yīng)關(guān)系,解決問題的關(guān)鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系,用好對應(yīng)關(guān)系即可。[新題導(dǎo)練]3．〔09年XX梁山設(shè)f、g都是由A到A的映射,其對應(yīng)法則如下表〔從上到下：映射f的對應(yīng)法則是表1原象1234象3421映射g的對應(yīng)法則是表2原象1234象4312則與相同的是〔A．；B．；C．；D．[解析]A；根據(jù)表中的對應(yīng)關(guān)系得,,4．〔04年XX改編二次函數(shù)〔∈R的部分對應(yīng)值如下表：－3－2－10123460－4－6－6－406則不等式的解集是[解析]；由表中的二次函數(shù)對應(yīng)值可得,二次方程的兩根為－2和3,又根據(jù)且可知,所以不等式的解集是考點(diǎn)3：用解析法表示函數(shù)題型1：由復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式[例3]〔04XX改編已知=,則的解析式可取為[解題思路]這是復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式,應(yīng)該首選換元法[解析]令,則,∴.∴.故應(yīng)填[名師指引]求函數(shù)解析式的常用方法有：①換元法〔注意新元的取值范圍；②待定系數(shù)法〔已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等；③整體代換〔配湊法；④構(gòu)造方程組〔如自變量互為倒數(shù)、已知為奇函數(shù)且為偶函數(shù)等。題型2：求二次函數(shù)的解析式[例4]〔普寧市城東中學(xué)09屆高三第二次月考二次函數(shù)滿足,且。⑴求的解析式；⑵在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)的范圍。[解題思路]〔1由于已知是二次函數(shù),故可應(yīng)用待定系數(shù)法求解；〔2用數(shù)表示形,可得求對于恒成立,從而通過分離參數(shù),求函數(shù)的最值即可。[解析]⑴設(shè),則與已知條件比較得：解之得,又,⑵由題意得：即對恒成立,易得[名師指引]如果已知函數(shù)的類型,則可利用待定系數(shù)法求解；通過分離參數(shù)求函數(shù)的最值來獲得參數(shù)的取值范圍是一種常用方法。[新題導(dǎo)練]5．〔06全國卷二改編若,則[解析]；所以,因此6．〔09年XX金山中學(xué)設(shè)是一次函數(shù),若且成等比數(shù)列,則；[解析]；設(shè),由得,從而又由成等比數(shù)列得,解得所以,7．〔華僑中學(xué)09屆第3次月考〔09年XX設(shè),又記則〔A．；B．；C．；D．；[解析]C；由已知條件得到,,,可見,是以4為周期的函數(shù),而,所以,8．設(shè)二次函數(shù)滿足,且其圖象在y軸上的截距為1,在x軸上截得的線段長為,求的解析式。[解析]；設(shè)f<x>=ax2+bx+c,由f<x>滿足f<x－2>=f<－x－2>,可得函數(shù)y=f<x>的對稱軸為x=－2,所以由y=f<x>圖象在y軸上的截距為1,可得,即c=1由y=f<x>圖象在x軸上截得的線段長為,可得所以聯(lián)立方程組,可解得所以f<x>=.考點(diǎn)4：分段函數(shù)題型1：根據(jù)分段函數(shù)的圖象寫解析式[例5]<07年XX>為了預(yù)防流感,某學(xué)校對教室用藥物消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y〔毫克與時間t〔小時成正比；藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為〔a為常數(shù),如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題：〔Ⅰ從藥物釋放開媽,每立方米空氣中的含藥量y〔毫克與時間t〔小時之間的函數(shù)關(guān)系式為；〔Ⅱ據(jù)測定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時,學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過小時后,學(xué)生才能回到教室。[思路點(diǎn)撥]根據(jù)題意,藥物釋放過程的含藥量y〔毫克與時間t是一次函數(shù),藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系是已知的,由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定其中的參數(shù),然后再由所得的表達(dá)式解決〔Ⅱ[解析]〔Ⅰ觀察圖象,當(dāng)時是直線,故；當(dāng)時,圖象過所以,即,所以〔Ⅰ,所以至少需要經(jīng)過小時[名師指引]分段函數(shù)的每一段一般都是由基本初等函數(shù)組成的,解決辦法是分段處理。題型2：由分段函數(shù)的解析式畫出它的圖象例6]<2006·上海>設(shè)函數(shù),在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像。[思路點(diǎn)撥]需將來絕對值符號打開,即先解,然后依分界點(diǎn)將函數(shù)分段表示,再畫出圖象。[解析],如右上圖.[名師指引]分段函數(shù)的解決辦法是分段處理,要注意分段函數(shù)的表示方法,它是用聯(lián)立符號將函數(shù)在定義域的各個部分的表達(dá)式依次表示出來,同時附上自變量的各取值范圍。[新題導(dǎo)練]9．〔09年XX金山中學(xué)已知函數(shù),則[解析]2；由已知得到10．〔06XX改編設(shè)則不等式的解集為[解析]；當(dāng)時,由得,得當(dāng)時,由得,得備選例題1：<2005·XX>已知函數(shù)〔a,b為常數(shù)且方程f<x>－x+12=0有兩個實(shí)根為x1=3,x2=4.〔1求函數(shù)f<x>的解析式；〔2設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式；[解析]〔1將得〔2不等式即為即①當(dāng)②當(dāng)③.備選例題2：〔06XX已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足〔I若,求;又若,求;〔II設(shè)有且僅有一個實(shí)數(shù),使得,求函數(shù)的解析表達(dá)式★搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1．〔09年XX高三年級第一學(xué)期中段考函數(shù)的圖象如圖2所示.觀察圖象可知函數(shù)的定義域、值域分別是〔O-52625圖2O-52625圖2C.,；D.[解析]C；由圖象可以看出,應(yīng)選擇C2．〔09年XX第一次調(diào)研考某工廠從20XX開始,近八年以來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前四年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢,后四年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,則該廠這種產(chǎn)品的產(chǎn)量與時間的函數(shù)圖像可能是〔448yot48yot48yot48yot[解析]B；前四年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢,知圖象的斜率隨x的變大而變小,后四年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,知圖象的斜率不變,∴選B．3．〔2004·XX改編設(shè)函數(shù)若,,則關(guān)于的方程的解的個數(shù)為[解析]3；由,可得,從而方程等價于或,解得到或,從而得方程的解的個數(shù)為34．〔05XX已知為常數(shù),若,,則=[解析]2；因?yàn)?所以又,所以,解得或,所以5．對記,函數(shù)的最小值是〔A.；B.；C.；D.[解析]C；作出和的圖象即可得到函數(shù)的最小值是6．〔XX市09屆高三統(tǒng)測已知函數(shù)其中,。作出函數(shù)的圖象；[解析]函數(shù)圖象如下：說明：圖象過、、點(diǎn)；在區(qū)間上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間上的圖象為直線段綜合提高訓(xùn)練：7．〔09年XX第二次調(diào)研考如圖,動點(diǎn)在正方體的對角線上．過點(diǎn)作垂直于平面的直線,與正方體表面相交于．設(shè),,則函數(shù)的圖象大致是〔AABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O[解析]B；過點(diǎn)作垂直于平面的直線,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時,線與正方體表面相交于兩點(diǎn)形成的軌跡為平行四邊形,可以看出與的變化趨勢是先遞增再遞減,并且在的中點(diǎn)值時取最大8．〔06XX如圖所示,單位圓中的長為,與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,則函數(shù)的圖像是〔[解析]D；如圖所示,單位圓中的長為,與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,當(dāng)?shù)拈L小于半圓時,函數(shù)的值增加的越來越快,當(dāng)?shù)拈L大于半圓時,函數(shù)的值增加的越來越慢,所以函數(shù)的圖像是D.9．〔06XX已知是二次函數(shù),不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。 〔I求的解析式； 〔II是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實(shí)數(shù)根？若存在,求出的取值范圍；若不存在,說明理由。[解析]〔I是二次函數(shù),且的解集是可設(shè)在區(qū)間上的最大值是,由已知,得〔II方程等價于方程設(shè)則當(dāng)時,是減函數(shù)；當(dāng)時,是增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根,而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根,所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不同的實(shí)數(shù)根。第4講函數(shù)的單調(diào)性與最值★知識梳理函數(shù)的單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?區(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,,當(dāng)時,都有,那么就說在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),稱為的單調(diào)增區(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,,當(dāng)時,都有,那么就說在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),稱為的單調(diào)減區(qū)間如果用導(dǎo)數(shù)的語言來,那就是：設(shè)函數(shù),如果在某區(qū)間上,那么為區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上,那么為區(qū)間上的減函數(shù)；函數(shù)的最大〔小值設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿绻嬖诙ㄖ?使得對于任意,有恒成立,那么稱為的最大值；如果存在定值,使得對于任意,有恒成立,那么稱為的最小值?！镏?、難點(diǎn)突破重點(diǎn)：掌握求函數(shù)的單調(diào)性與最值的方法難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的理解,尤其用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與最值重難點(diǎn)：1.對函數(shù)單調(diào)性的理解函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論,所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域；〔2函數(shù)單調(diào)性定義中的,有三個特征：一是任意性；二是大小,即；三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間,三者缺一不可；〔3若用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性,則在某區(qū)間上〔僅是為區(qū)間上的增函數(shù)〔減函數(shù)的充分不必要條件?！?關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的證明,如果用定義證明在某區(qū)間上的單調(diào)性,那么就要用嚴(yán)格的四個步驟,即①取值；②作差；③判號；④下結(jié)論。但是要注意,不能用區(qū)間上的兩個特殊值來代替。而要證明在某區(qū)間上不是單調(diào)遞增的,只要舉出反例就可以了,即只要找到區(qū)間上兩個特殊的,,若,有即可。如果用導(dǎo)數(shù)證明在某區(qū)間上遞增或遞減,那么就證明在某區(qū)間上或?！?函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,所以受到區(qū)間的限制,如函數(shù)分別在和內(nèi)都是單調(diào)遞減的,但是不能說它在整個定義域即內(nèi)是單調(diào)遞減的,只能說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和〔6一些單調(diào)性的判斷規(guī)則：①若與在定義域內(nèi)都是增函數(shù)〔減函數(shù),那么在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)〔減函數(shù)。②復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則是"異減同增"2．函數(shù)的最值的求法〔1若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù),常用配方法?！?利用函數(shù)的單調(diào)性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值?！?基本不等式法：當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法〔但有注意等號是否取得?！?導(dǎo)數(shù)法：當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時,一般采用此法〔5數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)圖象,找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的幾何意義,在圖上找其變化范圍?！餆狳c(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性題型1：討論函數(shù)的單調(diào)性[例1]<2008XX>設(shè),函數(shù).試討論函數(shù)的單調(diào)性.[解題思路]分段函數(shù)要分段處理,由于每一段都是基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù),所以應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)來研究。[解析]:因?yàn)?所以.<1>當(dāng)x<1時,1-x>0,①當(dāng)時,在上恒成立,故F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時,令,解得,且當(dāng)時,；當(dāng)時,故F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；<2>當(dāng)x>1時,x-1>0,①當(dāng)時,在上恒成立,故F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時,令,解得,且當(dāng)時,；當(dāng)時,故F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；綜上得,①當(dāng)k=0時,F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞增,F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)k<0時,F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；③當(dāng)時,F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.[名師指引]求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或研究函數(shù)的單調(diào)性是高考的一個熱點(diǎn),分段落函數(shù)用注意分段處理.題型2：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性[例2]定義在R上的函數(shù),,當(dāng)x＞0時,,且對任意的a、b∈R,有f〔a+b=f〔a·f〔b.〔1求證：f〔0=1；〔2求證：對任意的x∈R,恒有f〔x＞0；〔3求證：f〔x是R上的增函數(shù)；〔4若f〔x·f〔2x－x2＞1,求x的取值范圍.[解題思路]抽象函數(shù)問題要充分利用"恒成立"進(jìn)行"賦值",從關(guān)鍵等式和不等式的特點(diǎn)入手。[解析]〔1證明：令a=b=0,則f〔0=f2〔0.又f〔0≠0,∴f〔0=1.〔2證明：當(dāng)x＜0時,－x＞0,∴f〔0=f〔x·f〔－x=1.∴f〔－x=＞0.又x≥0時f〔x≥1＞0,∴x∈R時,恒有f〔x＞0.〔3證明：設(shè)x1＜x2,則x2－x1＞0.∴f〔x2=f〔x2－x1+x1=f〔x2－x1·f〔x1.∵x2－x1＞0,∴f〔x2－x1＞1.又f〔x1＞0,∴f〔x2－x1·f〔x1＞f〔x1.∴f〔x2＞f〔x1.∴f〔x是R上的增函數(shù).〔4解：由f〔x·f〔2x－x2＞1,f〔0=1得f〔3x－x2＞f〔0.又f〔x是R上的增函數(shù),∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.[名師指引]解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件,尤其是〔3中"f〔x2=f［〔x2－x1+x1］"是證明單調(diào)性的關(guān)鍵,這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.[新題導(dǎo)練]1．〔XX北大希望之星實(shí)驗(yàn)學(xué)校09屆高三函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是〔A．;B．;C．;D．[解析]C；由得,又由知函數(shù)在上是減函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是2．〔東皖高級中學(xué)09屆高三月考函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為〔A．；B．；C．；D．[解析]D；由得或,又函數(shù)在上是減函數(shù),在上是減函數(shù),所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為3.<2008全國Ⅰ卷>已知函數(shù),．〔Ⅰ討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求的取值范圍．[解析]〔1；〔2〔1求導(dǎo)：當(dāng)時,,,在上遞增當(dāng),求得兩根為即在遞增,遞減,遞增〔2,且解得：考點(diǎn)2函數(shù)的值域〔最值的求法題型1：求分式函數(shù)的最值[例3]〔20XX上海已知函數(shù)當(dāng)時,求函數(shù)的最小值；[解題思路]當(dāng)時,,這是典型的"對鉤函數(shù)",欲求其最小值,可以考慮均值不等式或?qū)?shù)；[解析]當(dāng)時,,。在區(qū)間上為增函數(shù)。在區(qū)間上的最小值為。[名師指引]對于函數(shù)若,則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值,但要注意等號是否成立,否則會得到而認(rèn)為其最小值為,但實(shí)際上,要取得等號,必須使得,這時所以,用均值不等式來求最值時,必須注意：一正、二定、三相等,缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式,利用函數(shù)單調(diào)性,二次函數(shù)的配方法,考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；題型2：利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍[例4]〔20XX上海已知函數(shù)若對任意恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍。[解題思路]欲求參數(shù)的取值范圍,應(yīng)從恒成立的具體情況開始。[解析]在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3,即[名師指引]這里利用了分離參數(shù)的方法,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。題型3：求三次多項式函數(shù)的最值[例5]〔09年高州中學(xué)已知為實(shí)數(shù),函數(shù),若,求函數(shù)在上的最大值和最小值。[解題思路]求三次多項式函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)作為工具來研究其單調(diào)性。[解析]∵,……3分……4分得：當(dāng)……5分當(dāng)……6分因此,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,而在內(nèi)單調(diào)遞減,且又,,………………10分[名師指引]用導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性和最值是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),同時也是難點(diǎn),要求考生熟練掌握用導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性和最值的方法和步驟。[新題導(dǎo)練]4.〔09年XX南海若函數(shù)的最大值與最小值分別為M,m,則M+m=[解析]6；由知在上是增函數(shù)又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)是增函數(shù),故M+m=5.〔高州中學(xué)09屆模擬已知函數(shù)?！并袢魹槠婧瘮?shù),求的值；〔Ⅱ若在上恒大于0,求的取值范圍。[解析]〔Ⅰ；〔Ⅱ的取值范圍為〔Ⅰ的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱若為奇函數(shù),則∴〔Ⅱ∴在上∴在上單調(diào)遞增∴在上恒大于0只要大于0即可,∴若在上恒大于0,的取值范圍為備選例題：〔06年XX已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)?！并袂蟮闹?；〔Ⅱ若對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍；[解析]〔Ⅰ因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,即又由知〔Ⅱ[解法一]由〔Ⅰ知,易知在上為減函數(shù)。又因是奇函數(shù),從而不等式：等價于,因?yàn)闇p函數(shù),由上式推得：．即對一切有：,從而判別式[解法二]由〔Ⅰ知．又由題設(shè)條件得：,即,整理得上式對一切均成立,從而判別式★搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1．〔華師附中09高三數(shù)學(xué)訓(xùn)練題若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是〔A.；B.；C.；D.[解析]C；因?yàn)?由其圖象知,若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則應(yīng)有2．〔普寧市城東中學(xué)09若函數(shù)在上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是〔A．；B．；C．；D．[解析]A；若函數(shù)在上是增函數(shù),則對于恒成立,即對于恒成立,而函數(shù)的最大值為,實(shí)數(shù)的取值范圍是3．〔09XX金中下列四個函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是〔A．；B．；C．；D．[解析]C；顯然在上是增函數(shù),在上也是增函數(shù)而對求導(dǎo)得,對于,,所以在區(qū)間上為增函數(shù),從而應(yīng)選擇C4．〔09XX金山中學(xué)已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),當(dāng)時,恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值是〔A．1；B．2；C．3；D．4[解析]D；依題意,應(yīng)將函數(shù)向右平行移動得到的圖象,為了使得在上,的圖象都在直線的下方,并且讓取得最大,則應(yīng)取,這時取得最大值45．〔06北京改編已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是[解析]；要在上是減函數(shù),則,要在上為減函數(shù),則需并且,所以6．〔2008XX理已知t為常數(shù),函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值為2,則[解析]1；顯然函數(shù)的最大值只能在或時取到,若在時取到,則,得或,時,；,時,〔舍去；若在時取到,則,得或,時,；,時,〔舍去所以綜合提高訓(xùn)練：7.〔06XX改編已知函數(shù)若則與的大小關(guān)系為[解析]；函數(shù)的圖象開口向上,對稱軸為,因,故,從而,又,所以的對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離大于的對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離,故8．已知函數(shù),求的值[解析]；為,令,則,從而所以9．〔09年XX金中對于函數(shù)成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最大值－1叫做,的下確界為〔 A．；B．2；C．；D．4[解析]A；因?yàn)?故的下確界為10．〔08年XX設(shè)表示不超過的最大整數(shù)〔如,,對于給定的N*,定義,求當(dāng)時,函數(shù)的值域[解析]；當(dāng)時,,,因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù),得；當(dāng)時,,,因?yàn)?由單調(diào)性得,故當(dāng)時,函數(shù)的值域是第5講函數(shù)的奇偶性和周期性★知識梳理1．函數(shù)的奇偶性的定義：①對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有〔或〕,則稱為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。②對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有〔或〕,則稱為偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。③通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性.具有奇偶性的函數(shù),其定義域原點(diǎn)關(guān)于對稱〔也就是說,函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)的周期性命定義：對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得定義域內(nèi)的每一個值,都滿足,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期?！镏?、難點(diǎn)突破重點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和周期性,函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用難點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性的判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用重難點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性的判斷：可以利用奇偶函數(shù)的定義判斷或者利用定義的等價形式,也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性.注意①若,則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),若,則是偶函數(shù)；②若是奇函數(shù)且在處有定義,則③若在函數(shù)的定義域內(nèi)有,則可以斷定不是偶函數(shù),同樣,若在函數(shù)的定義域內(nèi)有,則可以斷定不是奇函數(shù)。2．奇偶函數(shù)圖象的對稱性若是偶函數(shù),則的圖象關(guān)于直線對稱；若是偶函數(shù),則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；3．函數(shù)的周期性周期性不僅僅是三角函數(shù)的專利,抽象函數(shù)的周期性是高考熱點(diǎn),主要難點(diǎn)是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn),主要有幾種情況：〔1函數(shù)值之和等于零型,即函數(shù)對于定義域中任意滿足,則有,故函數(shù)的周期是〔2函數(shù)圖象有,兩條對稱軸型函數(shù)圖象有,兩條對稱軸,即,,從而得,故函數(shù)的周期是兩個函數(shù)值之積等于,即函數(shù)值互為倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)型若,則得,所以函數(shù)的周期是；同理若,則的周期是分式遞推型,即函數(shù)滿足由得,進(jìn)而得,由前面的結(jié)論得的周期是★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1判斷函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用題型1：判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性[例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性：〔1f〔x=|x+1|－|x－1|；〔2f〔x=〔x－1·；〔3；〔4[思路點(diǎn)撥]判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)依照定義解決,但都要先考查函數(shù)的定義域。[解析]〔1函數(shù)的定義域x∈〔－∞,+∞,對稱于原點(diǎn).∵f〔－x=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－〔|x+1|－|x－1|=－f〔x,∴f〔x=|x+1|－|x－1|是奇函數(shù).〔2先確定函數(shù)的定義域.由≥0,得－1≤x＜1,其定義域不對稱于原點(diǎn),所以f〔x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).〔3去掉絕對值符號,根據(jù)定義判斷.由得=,∴f〔－x==－=－f〔x故f〔x為奇函數(shù).〔4∵函數(shù)f〔x的定義域是〔－∞,0∪〔0,+∞,并且當(dāng)x＞0時,－x＜0,∴f〔－x=〔－x［1－〔－x］=－x〔1+x=－f〔x〔x＞0.當(dāng)x＜0時,－x＞0,∴f〔－x=－x〔1－x=－f〔x〔x＜0.故函數(shù)f〔x為奇函數(shù).[名師指引]eq\o\ac<○,1>函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì),定義域具有對稱性<即若奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域?yàn)镈,則時>是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件eq\o\ac<○,2>分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式.題型2：證明抽象函數(shù)的奇偶性[例2]〔09年XX梁山定義在區(qū)間上的函數(shù)f<x>滿足：對任意的,都有.求證f<x>為奇函數(shù)；[思路點(diǎn)撥]欲證明為奇函數(shù),就要證明,但這是抽象函數(shù),應(yīng)設(shè)法充分利用條件"對任意的,都有"中的進(jìn)行合理"賦值"[解析]令x=y=0,則f<0>+f<0>=∴f<0>=0令x∈<－1,1>∴－x∈<－1,1>∴f<x>+f<－x>=f<>=f<0>=0∴f<－x>=－f<x>∴f<x>在<－1,1>上為奇函數(shù)[名師指引]對于抽象函數(shù)的奇偶性問題,解決的關(guān)鍵是巧妙進(jìn)行"賦值",而抽象函數(shù)的不等式問題,要靈活利用已知條件,尤其是f<x1>－f<x2>=f<x1>+f<－x2>[新題導(dǎo)練]1．〔09XX電白一中設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),則___________。[解析]0；由函數(shù)為奇函數(shù)得到,即所以2．〔高州中學(xué)09屆訓(xùn)練題已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),則的值是〔A．0；B．；C．1；D．[解析]B；由函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)得,并且,即,所以的值是03．定義兩種運(yùn)算：,,則是______________函數(shù),〔填奇、偶、非奇非偶,既奇又偶四個中的一個[解析]奇；依和得,其定義域?yàn)?所以,可見,是奇函數(shù)4．已知函數(shù)〔a、b、c∈Z是奇函數(shù),又,,求a、b、c的值.[解析]；由f〔－x=－f〔x,得－bx+c=－〔bx+c.∴c=0,由f〔1=2,得a+1=2b,由f〔2＜3,得＜3,解得－1＜a＜2.又a∈Z,∴a=0或a=1.若a=0,則b=,與b∈Z矛盾.∴a=1,b=1,c=0.考點(diǎn)2函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用[例3]〔普寧市城東中學(xué)09已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍。[思路點(diǎn)撥]欲求的取值范圍,就要建立關(guān)于的不等式,可見,只有從出發(fā),所以應(yīng)該利用的奇偶性和單調(diào)性將外衣""脫去。[解析]是定義在上奇函數(shù)對任意有由條件得=是定義在上減函數(shù),解得實(shí)數(shù)的取值范圍是[名師指引]利用函數(shù)的奇偶性可以求對稱區(qū)間上的函數(shù)的表達(dá)式[例4]設(shè)函數(shù)f<x>是定義在R上的偶函數(shù),并在區(qū)間<－∞,0>內(nèi)單調(diào)遞增,f<2a2+a+1><f<3a2－2a+1>.求a的取值范圍,并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=<>[思路點(diǎn)撥]欲由f<2a2+a+1><f<3a2－2a+1>求a的取值范圍,就要設(shè)法利用函數(shù)f而函數(shù)y=<>是一個復(fù)合函數(shù),應(yīng)該利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法解決[解析]設(shè)0<x1<x2,則－x2<－x1<0,∵f<x>在區(qū)間<－∞,0>內(nèi)單調(diào)遞增,∴f<－x2><f<－x1>,∵f<x>為偶函數(shù),∴f<－x2>=f<x2>,f<－x1>=f<x1>,∴f<x2><f<x1>.∴f<x>在<0,+∞>內(nèi)單調(diào)遞減.由f<2a2+a+1><f<3a2－2a+1>得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之,得0<a<3.又a2－3a+1=<a－>2－.∴函數(shù)y=<>的單調(diào)減區(qū)間是結(jié)合0<a<3,得函數(shù)y=<>的單調(diào)遞減區(qū)間為［,3>.[名師指引]偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反,而奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同。[新題導(dǎo)練]5．〔普寧市城東中學(xué)09屆高三模擬若是奇函數(shù),且在內(nèi)是增函數(shù),又,則的解集是〔A.；B.C.；D.[解析]D；因?yàn)樵趦?nèi)是增函數(shù),,所以當(dāng)時,；當(dāng)時,,又因是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以當(dāng)時,；當(dāng)時,,可見的解集是6．〔2007·天津改編在上定義的函數(shù)是奇函數(shù),且,若在區(qū)間是減函數(shù),則函數(shù)〔A.在區(qū)間上是增函數(shù),區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù),區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù),區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù),區(qū)間上是減函數(shù)[解析]C；由知的圖象關(guān)于直線對稱,由在區(qū)間是減函數(shù)知在區(qū)間是增函數(shù),又由及是奇函數(shù),得到,進(jìn)而得,所以是以4為周期的函數(shù),故在上是減函數(shù)。7．〔普寧市城東中學(xué)09屆高三模擬定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期4,且時,。求在上的解析式[解析]⑴當(dāng)時,又為奇函數(shù),,當(dāng)時,由有最小正周期4,綜上,考點(diǎn)3函數(shù)奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用[例5]〔09年XX第三次調(diào)研考已知定義在上的偶函數(shù)滿足對于恒成立,且,則________[思路點(diǎn)撥]欲求,應(yīng)該尋找的一個起點(diǎn)值,發(fā)現(xiàn)的周期性[解析]由得到,從而得,可見是以4為周期的函數(shù),從而,又由已知等式得又由是上的偶函數(shù)得又在已知等式中令得,即所以[名師指引]近年將函數(shù)的奇偶性、周期性綜合在一起考查逐步成為一個熱點(diǎn),解決問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性〔奇偶性。[新題導(dǎo)練]8．〔執(zhí)信中學(xué)09屆訓(xùn)練題設(shè)是定義在上的正值函數(shù),且滿足.若是周期函數(shù),則它的一個周期是〔.；.；.；.[解析]；由是定義在上的正值函數(shù)及得,,,所以,即的一個周期是69．〔06年XX改編函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件,若則__________[解析]；由得,進(jìn)而得所以備選例題：〔05年XX設(shè)函數(shù),且在閉區(qū)間上,只有〔Ⅰ試判斷函數(shù)的奇偶性；〔Ⅱ試求方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.[解析]〔Ⅰ方法一：若是偶函數(shù),則于是有,這與在閉區(qū)間上,只有矛盾故不是偶函數(shù)；若是奇函數(shù),則,這與在閉區(qū)間上,只有矛盾,故若不是奇函數(shù)所以既不是偶函數(shù),也不是奇函數(shù)方法二：因?yàn)樵陂]區(qū)間上,只有故,即不是奇函數(shù)又由知,,而,所以,又所以,可見不是偶函數(shù)所以既不是偶函數(shù),也不是奇函數(shù)〔Ⅱ方法一：因?yàn)樗?即所以,即又,所以和都是方程的根由和及得到故方程在閉區(qū)間上的根至少有802個如果存在使得,則但,這與在閉區(qū)間上,只有矛盾故在上只有兩個根,即和設(shè)是方程在閉區(qū)間上任意一個根,則存在整數(shù),使得,且由上可知或,所以或〔所以故方程在閉區(qū)間上僅有802個根方法二：由知是周期為10的函數(shù),由知的圖象關(guān)于直線對稱又因?yàn)樵谏蟽H有所以在上沒有根即在上只有兩個根,即和于是,在內(nèi)只有400個根,在上僅有2個根,在內(nèi)僅有400個根,在上沒有根。所以故方程在閉區(qū)間上僅有802個根★搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1．〔普寧市城東中學(xué)09屆月考已知是定義在R上的函數(shù),且滿足,則"為偶函數(shù)"是〔"2為函數(shù)的一個周期"的<> A．充分不必要條件；B．必要不充分條件；C．充要條件；D．既不充分也不必要條件[解析]C；由得若為偶函數(shù),則,即2為函數(shù)的一個周期；若2為函數(shù)的一個周期,則,又由得,所以,即為偶函數(shù)2．〔XX市金山中學(xué)09年模擬若偶函數(shù)在上是增函數(shù),則下列關(guān)系式中成立的是〔A．；B．；C．；D．[解析]D；因?yàn)闉榕己瘮?shù),故,又,在上是增函數(shù),所以3．〔09年XX翠園、寶安中學(xué)設(shè)函數(shù)<x∈R>為奇函數(shù),,,則〔A．0；B．1；C．；D．5[解析]C；特取,則4．〔XX市09年高三調(diào)研函數(shù)在其定義域內(nèi)是<>A.是增函數(shù)又是偶函數(shù)；B.是增函數(shù)又是奇函數(shù)C.是減函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是減函數(shù)又是奇函數(shù)[解析]B；因?yàn)?故是奇函數(shù)；又,可見是增函數(shù),所以應(yīng)選B5．〔XX市09年高三統(tǒng)考偶函數(shù)滿足：,且在區(qū)間與上分別遞減和遞增,則不等式的解集為〔A．；B．C．；D．[解析]D；由已知條件通過的草圖得知函數(shù)的值在、、上都為正,在、上為負(fù),故不等式的解集為6．〔09年XX九校聯(lián)考已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),若當(dāng)時,,則滿足的的取值范圍是．[解析]；當(dāng)時,,由已知條件得,又是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),故得,即當(dāng)時由得；當(dāng)時由得綜合提高訓(xùn)練：7．設(shè)是上的奇函數(shù),,當(dāng)時,,則為[解析]；由得,故是以4為周期的函數(shù),故,又是上的奇函數(shù),且當(dāng)時,所以8．〔四會中學(xué)高三09年月考符號表示不超過的最大整數(shù),如,,定義函數(shù)．給出下列四個命題：①函數(shù)的定義域是R,值域?yàn)椋虎诜匠逃袩o數(shù)個解;③函數(shù)是周期函數(shù)；④函數(shù)是增函數(shù)．其中正確命題的序號有〔A．①④；B．③④；C．②③；D．②④[解析]C；依據(jù)函數(shù)的定義知函數(shù)的定義域是R,但,故①錯誤；而方程,即方程有無數(shù)個解,故②正確；由于當(dāng)取整數(shù)時,都有,所以函數(shù)不是增函數(shù),即④是錯誤的,從而應(yīng)選C9.〔08年XX改編設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)時是單調(diào)函數(shù),求滿足的所有之和[解析]；根據(jù)題意,由已知得,又是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)時是單調(diào)函數(shù),故得或即①或②兩根之和為,②的兩根之和為,所以所有根的和為第一章綜合檢測一、選擇題〔本大題共8小題,每小題5分,共40分1.集合,,則下列關(guān)系中,正確的是<>A. ；B.；C.；D.[解析]D；由集合的定義知,應(yīng)選D〔注意：本題易錯選C2.〔09年XX梁山二中若則實(shí)數(shù)的取值范圍是〔A.；B.；C.；D.[解析]B；由題意知,集合不是空集,故實(shí)數(shù)即其取值范圍是3．〔09年XX南開中學(xué)已知集合,則集合N的真子集個數(shù)為〔A．3；B．4；C．7；D．8[解析]B；由題意得,所以N的真子集個數(shù)為44.下列判斷正確的是〔A．函數(shù)是奇函數(shù)；B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是非奇非偶函數(shù)D．函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)[解析]C；顯然,函數(shù)的定義域?yàn)?不關(guān)于原點(diǎn)對稱,故排除A；函數(shù)的定義域?yàn)橐膊魂P(guān)于原點(diǎn)對稱,故排除B；又函數(shù)不是奇函數(shù),所以應(yīng)選擇C5.〔恩城中學(xué)09屆高三上中段考已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足條件：,,,則的值為〔A．－2；B．2；C．4；D．－4[解析]B；由的定義知,是定義在正整數(shù)集上的周期為6的函數(shù),故6．〔08年XX為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為〔,傳輸信息為,其中,運(yùn)算規(guī)則為：,,,,例如原信息為111,則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯,則下列接收信息一定有誤的是〔A．11010；B．01100；C．10111；D．00011[解析]C；假設(shè)傳輸信息為"10111”,那么的值分別為"1,0,1,1,1”這5個數(shù),據(jù)題目條件必有；,這與矛盾,故此信息錯誤。7．〔07年XX定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),是它的