輔導(dǎo)講義：弧長和扇形地面積、圓錐地側(cè)面積和全面積

實用文案輔導(dǎo)：弧長和扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積一、弧長和扇形的面積：『活動一』因為 360°的圓心角所對弧長就是圓周長 C=2πR，所以1°的圓心角所對的弧長是 .這樣，在半徑為 R的圓中，n°的圓心角所對的弧長 l= .『活動二』類比弧長的計算公式可知： 在半徑為 R的圓中，圓心角為n°的扇形面積的計算公式為：S=.『活動三』扇形面積的另一個計算公式比較扇形面積計算公式與弧長計算公式，可以發(fā)現(xiàn)：可以將扇形面積的計算公式：S=nπnR1360.R2化為S=·R，從面可得扇形面積的另一計算公式：S=1802二、圓錐的側(cè)面積和全面積：S1．圓錐的基本概念：的線lh段SA、SA1??叫做圓錐的母線，rA的線段叫做圓錐的高．A12.圓錐中的各元素與它的側(cè)面展開圖——扇形的各元素之間的關(guān)系：將圓錐的側(cè)面沿母線 l剪開，展開成平面圖形， 可以得到一個扇形， 設(shè)圓錐的底面半徑為 r，這個扇形的半徑等于 ，扇形弧長等于 ．．圓錐側(cè)面積計算公式圓錐的母線即為扇形的半徑，而圓錐底面的周長是扇形的弧長，1πrll這樣，S圓錐側(cè)=S扇形=·2πr·l=24．圓錐全面積計算公式O rS圓錐全=S圓錐側(cè)＋S圓錐底面= πrl＋πr2=πr（l＋r）標(biāo)準(zhǔn)實用文案三、例題講解：例1、（2011?德州，11，4分）母線長為2，底面圓的半徑為1的圓錐的側(cè)面積為．例2、（2011年山東省東營市，21，9分）如圖，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長為15．1）求此圓的半徑；2）求圖中陰影部分的面積．例3、（2010廣東，14，6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 P的坐標(biāo)為（－4，0），⊙P的半徑為2，將⊙P沿x軸向右平移 4個單位長度得⊙ P1．（1）畫出⊙P1，并直接判斷⊙ P與⊙P1的位置關(guān)系；（2）設(shè)⊙P1與x軸正半軸，y軸正半軸的交點分別為 A，B，求劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積（結(jié)果保留 π）．標(biāo)準(zhǔn)實用文案y321－6－5－4－3 －2－1 O 1 2 3 x－1－2－3四、同步練習(xí)：1、（2012北海,11，3分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，則頂點A所經(jīng)過的路徑長為：（）A．10πB．10C．10πD．π33AEDAODFOCBCB第2題圖CAB第1題圖（第3題）2、（2012 北海,12，3分）如圖，等邊△ABC的周長為 6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，又回到與 AB相切于點D的位置，則⊙O自轉(zhuǎn)了： （ ）標(biāo)準(zhǔn)實用文案A．2周．3周C．4周D．5周B3、（2012湖北咸寧，7，3分）如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（）．A．3π2ππ2π2B．3C．23D．233234、（2012四川內(nèi)江，8，3分）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，則陰影部分圖形的面積為（）A．4πB．2πC．πD．2π3C第9題第11題AOBD圖25、（2012·湖南省張家界市·14題·3分）已知圓錐的底面直徑和母線長都是１０cm，則圓錐的側(cè)面積為________.6、（2012·哈爾濱，題號16分值3）一個圓錐的母線長為4，側(cè)面積為8，則這個圓錐的底面圓的半徑是．7、（2012江蘇省淮安市，17，3分）若圓錐的底面半徑為2cm，母線長為5cm，則此圓錐的側(cè)面積為cm2．8、（2012四川達(dá)州，11，3分）已知圓錐的底面半徑為4，母線長為6，則它的側(cè)面積是 .（不取近似值）9、（2012年廣西玉林市，16，3）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時，∠NMB的度數(shù)是.10、(2012廣安中考試題第15題，3分)如圖6，△的邊BC位于直線上，=3，RtABClAC標(biāo)準(zhǔn)實用文案∠=90o，∠=30o，若△由現(xiàn)在的位置向右無滑動地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點A第3次落ACBARtABC在直線上l時，點A所經(jīng)過的路線的長為（結(jié)果用含л的式子表示）．A????CB圖6l11、（2011·丹東，14，3分）如圖，將半徑為3cm的圓形紙片剪掉三分之一，余下部分圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高是．12、（2012貴州貴陽，23，10分）如圖，在⊙O中，直徑AB=2，BCA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，則（1）BD的長是；（5分）DO（2）求陰影部分的面積.（5分）CA第12題圖標(biāo)準(zhǔn)實用文案13、（2012 浙江省義烏市， 20，8分）如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,點E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.BC（1）求∠ABC的度數(shù)；DO（2）求證：AE是⊙O的切線；AE（3）當(dāng)=4時，求劣弧AC的長.BC14、（2012 年吉林省，第23題、7分．）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6．將扇形OAB沿過點B的直線折疊．點 O恰好落在弧 AB上點D處，折痕交 OA于點C，求整個陰影部分的周長和面積．標(biāo)準(zhǔn)實用文案15、（2011 甘肅蘭州，25，9分）如圖，在單位長度為 1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點 A、B、C.（1）請完成如下操作：①以點O為原點、豎直和水平方向所在的直線為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；②用直尺和圓規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心 D的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并連結(jié) AD、CD.（2）請在（1）的基礎(chǔ)上，完成下列問題：①寫出點的坐標(biāo)： C 、D ；②⊙D的半徑= （結(jié)果保留根號）；③若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面面積為 （結(jié)果保留π）；④若E（7，0），試判斷直線 EC與⊙D的位置關(guān)系并說明你的理由 .標(biāo)準(zhǔn)實用文案A BCO參考答案例1、考點：圓錐的計算。 專題：計算題。分析：先計算出底面圓的周長， 它等于圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長， 而母線長為扇形的半徑，然后根據(jù)扇形的面積公式計算即可．解答：解：∵圓錐的底面圓的半徑為 1，∴圓錐的底面圓的周長 =2π×1=2π，標(biāo)準(zhǔn)實用文案1∴圓錐的側(cè)面積= ×2π×2=2π．故答案為： 2π．21點評：本題考查了圓錐的側(cè)面積公式： S= lr．圓錐側(cè)面展開圖為扇形，底面圓的周長等2于扇形的弧長，母線長為扇形的半徑．例2、考點：扇形面積的計算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．專題：幾何圖形問題．分析：（1）根據(jù)條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠=90°，DBC在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC，根據(jù)四邊形 ABCD的周長為15，即可求得BC，即可得到圓的半徑；（2）根據(jù)S陰影=S扇形AOD－S△AOD即可求解．解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴==，∠BCD=60°∴AB=AD=DC，∠DBC=90°又在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC．∴BC+3BC=15∴BC=6∴此圓的半徑為3．2（2）設(shè)BC的中點為O，由（1）可知O即為圓心．連接OA，OD，過O作OE⊥AD于E．33S△AOD=3393在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA?cos30°=1×3×=．2224S陰影S扇形AOD-SAOD6032-933-93=6-93∴3604244點評：本題主要考查了扇形的面積的計算，正確證得四邊形ABCD是等腰梯形，是解題的關(guān)鍵．例3、考點：圓與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；扇形面積的計算分析：（1）根據(jù)題意作圖即可求得答案，注意圓的半徑為2；標(biāo)準(zhǔn)實用文案（2）首先根據(jù)題意求得扇形 BP1A與△BP1A的面積，再作差即可求得劣弧 錯誤!未找到引用源。與弦AB圍成的圖形的面積．解答：解：（1）如圖：∴⊙P與⊙P1的位置關(guān)系是外切；（2）如圖：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，∴S扇形BP1A=錯誤!未找到引用源。9022=π，S△AP1B=×2×2=2，360∴劣弧錯誤!未找到引用源。與弦AB圍成的圖形的面積為：π﹣2．點評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系以及扇形面積的求解方法．題目難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．四、1、【解析】△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，頂點A經(jīng)過的路徑是以C為圓心AC為半徑，圓心角為60°的弧，根據(jù)弧長公式lnr10，可求路徑長為3180【答案】C【點評】考查的知識點有網(wǎng)格中的勾股定理（求nrAC），圖形的旋轉(zhuǎn)，弧長公式l。180中等難度的題型。標(biāo)準(zhǔn)實用文案2、【解析】三角形的周長恰好是圓周長的三倍，但是圓在點A、B、C處分別旋轉(zhuǎn)了一個角度，沒有滾動，在三個頂點處旋轉(zhuǎn)的角度之和是三角形的外角和360°。所以⊙O自轉(zhuǎn)了4圈?！敬鸢浮緾【點評】本題最容易出錯的地方就是在頂點處的旋轉(zhuǎn)，難度較大。如果學(xué)生能動手操作一下，正確答案就出來了。3、【解析】圖中陰影部分的面積等于：三角形AOB面積－扇形AOB面積，不難知道，?AOB為等邊三角形，可求出?AOB邊AB上的高是3，扇形AOB圓心角∠O＝60°，半徑OA2π＝3，從而陰影部分的面積是1×2×3－60(3)＝3，故選A．23602【答案】A【點評】本題著重考查了扇形面積的計算及解直角三角形的知識，以及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，有一定綜合性，難度中等．4、【解析】如下圖所示，取AB與CD的交點為E，由垂徑定理知CE＝3，而∠COB＝2∠CDB＝60°，所以O(shè)C＝CEo＝2，OE＝1OC＝1，接下來發(fā)現(xiàn)OE＝BE，可證△OCEsin602≌△BED，所以S陰影＝S扇形COB＝1π·22＝2π．63CA BOED圖2【答案】D【點評】圓的有關(guān)性質(zhì)是中考高頻考點， 而圖形面積也是多數(shù)地方必考之處， 將它們結(jié)合可謂珠聯(lián)璧合． 解答此題需在多處轉(zhuǎn)化： 一是將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積問題解決； 二是標(biāo)準(zhǔn)實用文案由圓周角度數(shù)求出圓心角度數(shù)；三是發(fā)現(xiàn)圖中存在的全等三角形，這一點是解題關(guān)鍵．510×10=50π.【解答】50π、【分析】S側(cè)=πrl=π·21【點評】圓錐的側(cè)面積S側(cè)=l是母線的長）.·2πr·l=πrl（其中r是圓錐底面圓的半徑，26、【解析】本題考查圓錐展開圖及側(cè)面積計算公式.設(shè)半徑為r，圓錐側(cè)面積即展開圖扇形的面積，根據(jù)S扇=1lR,即8π=1×2π×4，得r=2.【答案】222【點評】在解決圓錐的計算問題時，要把握好兩個相等關(guān)系：圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的半徑R等于圓錐的母線長， 扇形的弧長 l等于圓錐的底面周長 2r．幾乎所有圓錐計算問題都是從這兩個對應(yīng)關(guān)系入手解決的．7、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式 =πrl計算，此圓錐的側(cè)面積 =π×2×5=10π【答案】10π【點評】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算． 解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系： ①圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑； ②圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．8、解析：圓錐的側(cè)面積可由公式來求，這里 R=6，l=8π，因此S=24π。答案：24π點評：本題考查了圓錐的側(cè)面展開及其側(cè)面積的求法， 初步考查學(xué)生的空間觀點， 注意本題不要與全面積相混淆。9、分析：首先連接 OB，由矩形的性質(zhì)可得△BOC是直角三角形，又由 OB=ON=2OC，∠BOC的度數(shù)，又由圓周角定理求得∠ NMB的度數(shù)．解答：解：連接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC，∵四邊形OABC是矩形，∴∠BCO=90°，OC 1 1∴cos∠BOC= ，∴∠BOC=60°，∴∠NMB= ∠BOC=30°．故答案為：30°．OB 2 2點評：此題考查了圓周角定理、 矩形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值． 此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．標(biāo)準(zhǔn)實用文案、思路導(dǎo)引：確定路線長度，由于路線是圓弧，因此確定旋轉(zhuǎn)角，與旋轉(zhuǎn)半徑是解決問題的關(guān)鍵，3＋3；解析：計算斜邊長度是12022，第一次經(jīng)過路線長度是，1809031202第二次經(jīng)過路線長度是，180180第三次經(jīng)過路線長度與第二次經(jīng)過路線長度相同，也是9031202180180，所以當(dāng)點A三次落在直線l上時，經(jīng)過的路線長度是120290312024＋343＋3180＋2×（180）=＋2×=18033點評：解答旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是前提，另外計算連續(xù)的弧長問題，注意旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進(jìn)行多次循環(huán)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)弧長之和的計算 .、考點：圓錐的計算。專題：計算題。分析：算出圍成圓錐的扇形的弧長，除以 2π即為圓錐的底面半徑，利用勾股定理即可求得圓錐的高．360(1 1) 3解答：解：圍成圓錐的弧長為3=4πcm，∴圓錐的底面半徑為4π180÷2π=2cm，∴圓錐的高為3222=1cm．故答案為1cm．點評：考查圓錐的計算；得到圓錐的底面半徑是解決本題的突破點；用到的知識點為：圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長．12、解析： （1）由CA切⊙O于A，得∠A=90°，再結(jié)合∠C=45°，得∠B=45°.連接AD，標(biāo)準(zhǔn)實用文案則由直徑AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°= 2；（2）運用代換得到陰影部分的面積等于△ACD的面積.解：（1）填 2；（2）由（1）得，AD=BD.∴弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積 =△ACD的面積.∵CD=AD=BD=2，∴S△112×2=1，即陰影部分的面積是=CD×AD=×221.點評：本題主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及割補法，解法較多，有利于考生從自己的角度獲取解題方法，中等偏下難度 .13、【解析】（1）根據(jù)相等的弧長對應(yīng)的圓周角相等，得∠ ABC=∠D=60°。（2）直徑對應(yīng)的圓周角為直角，則由三角形內(nèi)角和為 180°，得出∠BAC的大小，繼而得出∠BAE的大小為90°，即AE是⊙O的切線。（3）由題意易知，△OBC是等邊三角形，則由劣弧 AC對應(yīng)的圓心角可求出劣弧 AC的長。20．解：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角∴∠ABC=∠D=60°????2分（2）∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB=90°??????????3分∴∠BAC=30°∴∠BAE=∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90°???????4分即BA⊥AE∴AE是⊙O的切線 ??????????????????????5分BCDOA E（3）如圖，連結(jié) OC∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等邊三角形標(biāo)準(zhǔn)實用文案∴OB=BC=4, ∠BOC=60°∴∠AOC=120°???????7分120 4 8∴劣弧AC的長為 ????????????????8分180 3【點評】此題考查圓弧的長與其對應(yīng)的圓心角、 圓周角的關(guān)系，及三角形的內(nèi)角和為 180°。相等的弧長對應(yīng)的圓周角、圓心角相等．14、【解析】陰影部分的周長包括線段AC+CD+DB的長和弧AB的長．由折疊的性質(zhì)可知，+CD=OA=6;DB=O