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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì),平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種2.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.333.若實(shí)數(shù)滿足的約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知集合,則()A. B. C. D.5.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.6.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.7.復(fù)數(shù),若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,則等于()A. B. C. D.8.點(diǎn)在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則()A.或 B.或C.或 D.或10.設(shè),,分別是中,,所對(duì)邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直11.在長方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.12.已知,,由程序框圖輸出的為()A.1 B.0 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位.若的實(shí)部與虛部相等,則實(shí)數(shù)的值為__________.14.“”是“”的__________條件.(填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)15.已知,則滿足的的取值范圍為_______.16.過動(dòng)點(diǎn)作圓:的切線,其中為切點(diǎn),若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則的最小值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直三棱柱中,分別是中點(diǎn),且,.求證:平面;求點(diǎn)到平面的距離.18.(12分)[選修4-5:不等式選講]:已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè),,且的最小值為.若,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn),,證明:.20.(12分)新高考,取消文理科,實(shí)行“”,成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率;(2)請(qǐng)根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年中老年總計(jì)附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.21.(12分)設(shè)函數(shù),直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)在中,角所對(duì)的邊分別是,若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,且,求面積的最大值.22.(10分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于常考題型.2、C【解析】
先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)所給不等式組,畫出不等式表示的可行域,將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程,平移后即可確定取值范圍.【詳解】實(shí)數(shù)滿足的約束條件,畫出可行域如下圖所示:將線性目標(biāo)函數(shù)化為,則將平移,平移后結(jié)合圖像可知,當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)截距最小,;當(dāng)經(jīng)過時(shí),截距最大值,,所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.7、A【解析】
先通過復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,得到,再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,且復(fù)數(shù),所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
確定點(diǎn)為外心,代入化簡得到,,再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知,點(diǎn)為外心,則,,又,所以①因?yàn)椋诼?lián)立方程①②可得,,,因?yàn)椋?,即.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解析】
簡單判斷可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計(jì)算,結(jié)合對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由,可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱當(dāng)時(shí),,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.10、C【解析】試題分析:由已知直線的斜率為,直線的斜率為,又由正弦定理得,故,兩直線垂直考點(diǎn):直線與直線的位置關(guān)系11、C【解析】
在長方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】試題分析:,,所以,所以由程序框圖輸出的為.故選D.考點(diǎn):1、程序框圖;2、定積分.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡,結(jié)合已知條件即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:的實(shí)部與虛部相等,所以,計(jì)算得出.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.14、充分不必要【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.15、【解析】
將f(x)寫成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.16、【解析】解答:由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2),半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7,|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得:4a+4b?7=0.∴a,b滿足的關(guān)系為:4a+4b?7=0.求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值.在直線4a+4b?7=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小,由“垂線段最短”得,直線OM垂直直線4a+4b?7=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得:MN的最小值為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明;(2)取中點(diǎn)為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】(1)因?yàn)椋?,,是的中點(diǎn),,為直三棱柱,所以平面,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以平面,,又,平面(2),又分別是中點(diǎn),.由(1)知,,又平面,取中點(diǎn)為,連接如圖,則,平面,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由,得,即,解得,點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等體積法求點(diǎn)到面的距離;考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,分類討論即可求得不等式的解集;(2)由題意得,的最小值為,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,①當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí),綜上,原不等式的解集為.(2)由題意得,,因?yàn)榈淖钚≈禐?,所以,由,得,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式問題,對(duì)于含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,然后再通過構(gòu)造加以證明即可.【詳解】(1),根據(jù)題意,在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間,則不等式在上有解,由得,設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)時(shí),,所以存在,使得成立,所以的取值范圍為。(2)當(dāng)時(shí),,則,從而所證不等式轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則不等式轉(zhuǎn)化為,即,即,令,則不等式轉(zhuǎn)化為,因?yàn)?,則,從而不等式化為,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,所以即不等式成立,故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),在證明不等式時(shí),通常是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理,本題是一道有高度的壓軸解答題.20、(1);(2)見解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見解析,.【解析】
(1)分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù),即可求出概率;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,求出的觀測(cè)值,對(duì)照表格,即可得出結(jié)論;(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值為0,1,2,分別求出概率,列出隨機(jī)變量分布列,根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可知,中青年對(duì)新高考了解的概率,中老年對(duì)新高考了解的概率.(2)列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年22830老年81220總計(jì)302050,所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0,1,2,則;;.所以的分布列為012.【點(diǎn)睛】本題考查概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)及隨機(jī)變量分布列和期望,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(Ⅰ)3;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)函數(shù),利用和差公式和倍角公式,化簡即可求得;(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù),根據(jù)點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,代入可得,利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】(Ⅰ)的最大
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