定積分在幾何上的應(yīng)用

定積分在幾何上的應(yīng)用第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日表示為一、什么問(wèn)題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某函數(shù)f(x)

有關(guān)的2)U

對(duì)區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過(guò)“分割,近似,求和,取極限”定積分定義一個(gè)整體量;第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日二、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無(wú)限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法成為元素法

(或微元法)近似值精確值第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長(zhǎng)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右圖所示圖形面積為第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例1.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例2.

求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例3.

求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)應(yīng)

從0變例4.

計(jì)算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例5.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對(duì)稱性,所求面積第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)→0時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長(zhǎng),即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.則稱第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例6.

求連續(xù)曲線段解:的弧長(zhǎng).第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例7.

計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng).解:第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日柱殼體積說(shuō)明:

柱面面積（以擺線為例）第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例8.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日側(cè)面積元素的線性主部.若光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積△S的注意:側(cè)面積為第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例9.

計(jì)算圓x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積S.解:

對(duì)曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺(tái)高h(yuǎn)＝2R

時(shí),得球的表面積公式第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例10.

求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.解:

利用對(duì)稱性繞

x

軸旋轉(zhuǎn)第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小第二十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日3