第二章可控性與可觀性7

2.6.1概述經典控制論中：系統用傳遞函數描述；注重輸入-輸出間的直接關系;可控性與可觀性不是問題!2.6可控性與可觀性SISO、低階，輸出可控制亦可測量；現代控制論中：系統復雜：MIMO，高階，時變，非線性等系統模型：狀態(tài)方程＋輸出方程

輸入是否使狀態(tài)發(fā)生希望的變化？

可控性問題要使狀態(tài)發(fā)生某種變化，輸入＝？

最優(yōu)控制問題由于輸出狀態(tài)，狀態(tài)輸入所以要得到理想的輸出，首先要控制好狀態(tài) 使輸出隨狀態(tài)發(fā)生變化（1）

輸入狀態(tài)間的問題：（2）

輸出狀態(tài)間的問題：

狀態(tài)可否從輸出得到？

可觀測性問題如何從輸出得到？

最優(yōu)估計問題可控性、可觀性為現代控制理論的基礎，是現代控制理論應用的前提條件！什么是可控性？可觀測性？如何判斷？可控性：系統輸入對系統狀態(tài)的有效控制能力可觀性：系統輸出對系統狀態(tài)的確切反映能力狀態(tài)可控？系統可控？狀態(tài)不可控？系統不可控？狀態(tài)可觀測？系統可測觀？狀態(tài)不可觀測？系統不可觀測？問題：分析如下4個系統的可控性和可觀測性：2.6.2可控性定義及其判據2.6.2.1可控性定義：線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)方程為：狀態(tài)可控性：對于線性時變連續(xù)系統，如果對取定初始時刻的一個非零初始狀態(tài)，存在一個時刻，和一個無約束的容許控制使狀態(tài)由轉移到時的則稱此在是可控的。系統可控性：對于線性時變連續(xù)系統，如果所有狀態(tài)在則稱系統在都是可控的，時刻是完全可控的，也稱系統在t0

是可控的。系統不可控：對于線性時變連續(xù)系統，取定初始時刻如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻是不可控的，則稱系統在時刻是不完全可控的，也稱系統不可控。幾點說明：（1）未限制狀態(tài)轉移的軌跡?？煽匦灾槐碚飨到y狀態(tài)運動的一個定性特性。

（2）定義中對控制量的每個分量的大小并未限制，只要求控制量u是容許控制的，這表明控制量的每個分量應在時間區(qū)間Tf上平方可積：（3）定義是相對于時間區(qū)間Tf中的一個取定時刻來定義的，對于線性時變系統是完全必要的，而對于線性定常系統，系統的可控性與初始時刻的選取無關。可控性僅與系統本身有關，與輸入量無關！t1=?（4）定義中規(guī)定由非零狀態(tài)轉移到零狀態(tài)。如果將其變更為由零狀態(tài)轉移到非零狀態(tài)，則稱這種情況為狀態(tài)可達或系統可達。對于線性定常系統，可控性與可達性等價。若系統在

則系統在上完全可控。時刻是完全可控的，(5)對線性定常連續(xù)系統：2.6.2.2可控性判據線性時變連續(xù)系統在使得Gram矩陣為非奇異的或是正定的。時刻可控的充要條件為：存在某個有限時刻（1）Gram矩陣判據（判別原理？）可控性僅與狀態(tài)方程中的系統矩陣和控制矩陣有關！分析：線性定常連續(xù)系統使如下定義的Gram矩陣為非奇異的或是正定的。完全可控的充要條件為：存在時刻線性定常連續(xù)系統Gram矩陣判據：（2）秩判據假設線性時變連續(xù)系統的A(t)和B(t)

的每個元素分別是n-2和n-1次連續(xù)可微函數，并記使得令則該線性時變系統在t0時刻完全可控。如果存在某個時刻線性定常連續(xù)系統完全可控的充要條件為：其中n為系數矩陣A的階次線性定常連續(xù)系統秩判據系統的可控性矩陣

：n行nm列，如何確定秩為多少？計算技巧？（3）PBH判據（Popov-Belevitch-Hautus判據）線性定常連續(xù)系統完全可控的充分必要條件是對系統矩陣的所有特征值其中n為系數矩陣A的階次（4）約當規(guī)范型判據1）若系統矩陣A的特征值互異且則線性定常連續(xù)系統完全可控的充要條件為矩陣不包含全為0的行。2）當系統矩陣A的特征值有相同的其中，設有q-l個相同特征值有l(wèi)個相同特征值其余為互異特征值q-ll小結（可控性判別要素）：（1）狀態(tài)化成零；（2）僅與狀態(tài)方程有關；（3）不是求出一個u(t1)，而是判斷其存在否！則系統可控的充要條件是：(b)對應于互異特征值部分，中沒有元素全為零的行。(a)對應于的相同特征值部分，中與每個約當塊最后一行相對應的一行元素不全為零；若在有限時間間隔輸出y(t1),則稱此系統是輸出完全可控。內，存在無約束分段連續(xù)函數u(t)，能使任意初始輸出y(t0)轉移到任意最終2.6.2.3輸出可控性及其判據定義：判據：線性定常連續(xù)系統的狀態(tài)方程表達式為：系統輸出完全可控的充分必要條件是：的秩等于輸出向量的維數，即

2.6.3可觀測性定義及其判據2.6.3.1可觀測性定義：設線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)方程和輸出方程為：A(t),B(t),C(t),D(t):

系統可觀測性：對于線性時變連續(xù)系統，如果對取定初始時刻系統的輸出y唯一確定狀態(tài)向量的初值則稱系統在時間區(qū)間是完全可觀測的存在一個時刻可以根據簡稱系統可觀測。

可觀性反映可否通過y(t)

確定x(t)問題如何確定?可觀測＝可測量？研究表明，系統可觀性與輸入無關！系統不可觀測：對于線性時變連續(xù)系統，如果對取定初始時刻系統的輸出y不能唯一確定狀態(tài)向量的初值則稱系統在時間區(qū)間是不完全可觀測的存在一個時刻對于所有簡稱系統不可觀測。2.6.3.2可觀測性判據（1）Gram矩陣判據（判別原理？）時刻可觀測的充要條件為：線性時變連續(xù)系統在使得Gram矩陣為非奇異的或是正定的。存在某個有限時刻其中：為狀態(tài)轉移矩陣。線性定常連續(xù)系統Gram矩陣判據：使如下定義的Gram矩陣為非奇異的或是正定的。完全可觀測的充要條件為，存在時刻線性定常連續(xù)系統（2）秩判據假設線性時變連續(xù)系統的A(t)和B(t)

的每個元素分別是n-2和n-1次連續(xù)可微函數，并記使得令則該線性時變系統在t0時刻完全可觀測。如果存在某個時刻線性定常連續(xù)系統秩判據：N

稱為系統的可觀測矩陣（幾行幾列？）。線性定常連續(xù)系統完全可觀測的充要條件為：其中n為系統矩陣A的階次（3）Popov-Belevitch-Hautus判據線性定常連續(xù)系統完全可觀測的充分必要條件是對系統矩陣的所有特征值其中n為系統矩陣A的階次。（4）約當規(guī)范型判據1）系統矩陣A的特征值互異線性定常連續(xù)系統完全可觀測的充分必要條件為矩陣不包含全為0的列。2）系統矩陣A的特征值有相同的其中，設有q-l個相同特征值有l(wèi)個相同特征值其余為互異特征值(a)中對應于A的相同特征值部分，其第一列元素不全為零；(b)中對應于A的互異特征值部分，沒有元素全為零的列。2.6.4對偶原理2.6.4.1線性定常系統的對偶關系有兩個線性定常系統，一個系統另一個系統為是一個r維輸入，m維輸出的n階系統是一個m維輸入，r維輸出的n階系統若系統滿足下述條件，則稱互為對偶系統：注意：2.6.4.2線性時變系統的對偶關系有兩個線性時變系統，一個系統另一個系統為若系統滿足下述條件，則稱互為對偶系統：若為系統的狀態(tài)轉移矩陣為系統的狀態(tài)轉移矩陣互為對偶的兩個系統的狀態(tài)轉移矩陣互為轉置逆，即2.6.4.3線性系統的對偶原理若線性定常系統是互為對偶的兩個系統，則系統的可控性等價于系統的可觀測性；系統的可觀測性等價于系統的可控性。反之亦然若線性時變系統是互為對偶的兩個系統，則反之亦然系統的可觀測性等價于系統的可控性。則系統的可控性等價于系統的可觀測性；2.6.5線性離散系統的可控性和可觀測性2.6.5.1線性離散系統的可控性與可達性線性時變離散系統的狀態(tài)方程為：可控性：如果對初始時刻和狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)，都存在時刻，m>l,和對應的控制u(k),使得x(m)=0，則稱系統在時刻l

完全可控。如果對初始時刻和初始x(l)=0，存在時刻，m>l,和相應的控制u(k),使x(m)可為狀態(tài)空間中的任意非零狀態(tài)，則稱系統在時刻l

完全可達。可達性：可控性與可達性等價條件：（1）對線性時變系統，等價的充要條件是：對所有，系統矩陣A(k)為非奇異。（2）對線性定常系統，等價的充要條件是系統矩陣A為非奇異。（3）若離散系統狀態(tài)空間表達式是由相應的連續(xù)系統模型離散化得來，則恒等價。線性定常離散系統可控性判據：記：稱M為系統的可控性矩陣，則線性定常離散系統完全可控的充要條件是：因

M為nnr矩陣，上面充要條件又等價于：由于

M的行數總小于列數，因此在計算時只要所選取的列能判定出其秩為

n，就不必將其余項都列出。例題：2.6.5.2線性離散系統的可觀測性線性時變離散系統的狀態(tài)空間表達式為：線性定常離散系統可觀測性判據：系統可觀測性：記：如果對初始時刻的任一非零初始狀態(tài)，都存在有限時刻，m>l,且可由離散時間區(qū)間內的輸出y(k)唯一地確定x0，則稱系統在時刻l

完全可觀測。稱N為系統的可觀測矩陣，則線性定常離散系統完全可觀測的充要條件是：例題：2.6.6在[s]平面上的可控性和可觀測性判別方法2.6.6.1狀態(tài)空間表達式與傳遞函數（陣）

考慮單輸入單輸出線性定常系統，其狀態(tài)空間表達式為假設初值為零，上式兩邊取拉氏變換u-x間的傳遞函數為：u-y間的傳遞函數為：由于

因此，u-x間與u-y間的傳遞函數可寫為二者擁有相同的分母，為系統特征式考慮多輸入多輸出線性定常系統，其狀態(tài)空間表達式為假設初值為零，上式兩邊取拉氏變換u-x間的傳遞函數陣為u-y間的傳遞函數陣為為傳遞函數陣二者也擁有相同的分母，為系統特征式。

同一系統，不同狀態(tài)空間表達式，同一傳遞函數陣！u-x間與u-y間的傳遞函數又可寫為：2.6.6.2可控、可觀測系統的傳遞函數（陣）特性或傳遞函數陣中不出現相約現象。系統狀態(tài)完全可控的充分必要條件是在傳遞函數如果相約，則在被約去的模態(tài)中，系統不可控?；騻鬟f函數陣中不出現相約現象。系統狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是在傳遞函數如果相約，則在被約去的模態(tài)中，系統不可觀測。例題（書上）原因？（見系統分解部分！）2.6.7可控規(guī)范型和可觀測規(guī)范型狀態(tài)變量選擇不同經相似（非奇異）變換狀態(tài)空間表達式不同規(guī)范型可觀測規(guī)范型可控規(guī)范型約當規(guī)范型對角矩陣前兩種便于計算狀態(tài)轉移矩陣和判斷系統可控性、可觀測性；后兩種便于系統綜合和辨識；2.6.7.1可控規(guī)范型單輸入單輸出n階線性定常系統狀態(tài)空間表達式為：如果系統是狀態(tài)完全可控的，則滿足相似（非奇異）變換不改變系統的可控性、可觀測性；只有系統狀態(tài)完全可控/可觀測，才能化成可控/可觀測規(guī)范型。本節(jié)只討論單輸入/單輸出系統。（1）可控規(guī)范I型若系統是可控的，則存在線性相似變換其中：使其中可控規(guī)范I型為如下特征多項式的各項系數其中中元素中元素為相乘的結果:由可控規(guī)范I型的狀態(tài)空間表達式可直接求得系統傳遞函數為：系統傳函分母多項式的系數與矩陣最后一行元素對應；系統傳函分子多項式的系數與矩陣元素對應。Example求下列系統的可控規(guī)范I型狀態(tài)空間表達式和傳遞函數:（a）判定系統的可控性系統狀態(tài)完全可控（b）計算系統特征多項式則（c）確定（d）寫出規(guī)范型狀態(tài)空間表達式（2）可控規(guī)范II型若系統是可控的，則存在線性相似變換其中使狀態(tài)空間表達式轉化成其中中元素為如下特征多項式的各項系數中元素為相乘的結果Example求下列系統的可控規(guī)范II型狀態(tài)空間表達式（a）判定系統的可控性系統狀態(tài)完全可控（b）計算系統特征多項式則（c）確定（d）寫出規(guī)范型狀態(tài)空間表達式2.6.7.2可觀測規(guī)范型仍考慮單輸入n階線性定常系統，其狀態(tài)空間表達式為如果系統狀態(tài)是完全可觀測的，則滿足（1）可觀測規(guī)范I型若系統是可觀測的，則存在線性相似變換其中使得其中可觀測規(guī)范I型其中中元素為如下特征多項式的各項系數：中元素為相乘的結果（2）可觀測規(guī)范II型若系統是可觀測的，則存在線性相似變換其中使得其中可觀規(guī)范II型其中中元素為如下特征多項式的各項系數：中元素為相乘的結果可觀測I型與可控II型對偶可觀測II型與可控I型對偶分析：2.6.8線性定常系統結構的規(guī)范分解系統的狀態(tài)變量系統分割成相應子系統不可控不可觀測不可控可觀測可控不可觀測可控可觀測特殊相似變換目的：研究系統結構對系統特性的影響；便于系統校正和控制！2.6.8.1按可控性分解設不可控系統的狀態(tài)空間表達式為系統可控性矩陣為若可控性矩陣的秩為經相似變換：變換成下列規(guī)范表達式其中l(wèi)維可控狀態(tài)(n-l)維不可控狀態(tài)(n-l)行l(wèi)行(n-l)行l(wèi)行(n-l)列l(wèi)列(