第六章因子分析

2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心1多元統(tǒng)計分析何曉群中國人民大學出版社2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心2第六章因子分分析

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§6.1因子分析的基本理論§6.2因子載荷的求解§6.3因子分析的步驟與邏輯框圖§6.4因子分析的上機實現(xiàn)2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心3第六章因子分分析

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因子分析（factoranalysis）模型是主成分分析的推廣。它也是利用降維的思想，由研究原始變量相關矩陣內部的依賴關系出發(fā)，把一些具有錯綜復雜關系的變量歸結為少數(shù)幾個綜合因子的一種多變量統(tǒng)計分析方法。相對于主成分分析，因子分析更傾向于描述原始變量之間的相關關系；因此，因子分析的出發(fā)點是原始變量的相關矩陣。因子分析的思想始于1904年CharlesSpearman對學生考試成績的研究。近年來，隨著電子計算機的高速發(fā)展，人們將因子分析的理論成功地應用于心理學、醫(yī)學、氣象、地質、經濟學等各個領域，也使得因子分析的理論和方法更加豐富。本章主要介紹因子分析的基本理論及方法，運用因子分析方法分析實際問題的主要步驟及因子分析的上機實現(xiàn)等內容。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心4

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§6.1因子分析的基本理論§6.1.1因子分析的基本思想§6.1.2因子分析的基本理論及模型因子分析的基本思想是根據(jù)相關性大小把原始變量分組，使得同組內的變量之間相關性較高，而不同組的變量間的相關性則較低。每組變量代表一個基本結構，并用一個不可觀測的綜合變量表示，這個基本結構就稱為公共因子。對于所研究的某一具體問題，原始變量就可以分解成兩部分之和的形式，一部分是少數(shù)幾個不可測的所謂公共因子的線性函數(shù)，另一部分是與公共因子無關的特殊因子。在經濟統(tǒng)計中，描述一種經濟現(xiàn)象的指標可以有很多，比如要反映物價的變動情況，對各種商品的價格做全面調查固然可以達到目的，但這樣做顯然耗時耗力，為實際工作者所不取。實際上，某一類商品中很多商品的價格之間存在明顯的相關性或相互依賴性，只要選擇幾種主要商品的價格或進而對這幾種主要商品的價格進行綜合，得到某一種假想的“綜合商品”的價格，就足以反映某一類物價的變動情況，這里，“綜合商品”的價格就是提取出來的因子。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心5

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§6.1.1因子分析的基本思想2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心6

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§6.1.1因子分析的基本思想這樣，對各類商品物價或僅對主要類別商品的物價進行類似分析然后加以綜合，就可以反映出物價的整體變動情況。這一過程也就是從一些有錯綜復雜關系的經濟現(xiàn)象中找出少數(shù)幾個主要因子，每一個主要因子就代表經濟變量間相互依賴的一種經濟作用。抓住這些主要因子就可以幫助我們對復雜的經濟問題進行分析和解釋。因子分析還可用于對變量或樣品的分類處理，我們在得出因子的表達式之后，就可以把原始變量的數(shù)據(jù)代入表達式得出因子得分值，根據(jù)因子得分在因子所構成的空間中把變量或樣品點畫出來，形象直觀地達到分類的目的。因子分析不僅僅可以用來研究變量之間的相關關系，還可以用來研究樣品之間的相關關系，通常將前者稱之為R型因子分析，后者稱之為Q型因子分析。我們下面著重介紹型因子分析。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心7

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型（一）CharlesSpearman提出因子分析時用到的例子為了對因子分析的基本理論有一個完整的認識，我們先給出CharlesSpearman1904年用到的例子。在該例中Spearman研究了33名學生在古典語（C）、法語（F）、英語（E）、數(shù)學（M）、判別（D）和音樂（Mu）六門考試成績之間的相關性并得到如下相關陣：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心8

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型式中，為第門科目標準化后的考試成績，均值為0，方差為1。為公共因子，對各科考試成績均有影響，是均值為0，方差為1。為僅對第門科目考試成績有影響的特殊因子，與相互獨立。也就是說，每一門科目的考試成績都可以看作是由一個公共因子（可以認為是一般智力）與一個特殊因子的和。Spearman注意到上面相關陣中一個有趣的規(guī)律，這就是如果不考慮對角元素的話，任意兩列的元素大致成比例，對C列和E列有：于是Spearman指出每一科目的考試成績都遵從以下形式：（6.1）

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型(6.2)式與無關，也正與在相關矩陣中所觀察到的比例關系相一致。在滿足以上假定的條件下，就有：于是，有

（6.2）除此之外，還可以得到如下有關方差的關系式：

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型因此，常數(shù)的意義就在于其平方表示了公共因子解釋的方差的比例，因此被稱之為因子載荷，而被稱作共同度。對Spearman的例子進行推廣，假定每一門科目的考試成績都受到個公共因子的影響及一個特殊因子的影響，于是（6.1）就變成了如下因子分析模型的一般形式：(6.4)因為是一個常數(shù)，與相互獨立且與的方差均被假定為1。于是有（6.3）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心11

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型式中，為標準化后的第門科目的考試成績，均值為0，方差為1。是彼此獨立的公共因子，都滿足均值為0，方差為1。為特殊因子，與每一個公共因子均不相關且均值為0。則為對第門科目考試成績的因子載荷。對該模型，有：（6.5）式中，表示公共因子解釋方差的比例，稱為的共同度，相對的可稱為的特殊度或剩余方差，表示的方差中與公共因子無關的部分。因為共同度不會大于1，因此，。由模型(6.4)還可以很容易地得到如下與相關系數(shù)的關系式：（6.6）所以當與在某一公共因子上的載荷均較大時，也就表明了與的相關性較強。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心12

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型（二）一般因子分析模型下面我們給出更為一般的因子分析模型：設有個樣品，每個樣品觀測個指標，這個指標之間有較強的相關性（要求個指標相關性較強的理由是很明確的，只有相關性較強才能從原始變量中提取出“公共”因子）。為了便于研究，并消除由于觀測量綱的差異及數(shù)量級不同所造成的影響，將樣本觀測數(shù)據(jù)進行標準化處理，使標準化后的變量均值為0，方差為1。為方便把原始變量及標準化后的變量向量均用表示，用表示標準化的公共因子。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心13

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型（2）（）是不可觀測的變量，其均值向量，協(xié)方差矩陣，即向量的各分量是相互獨立的；如果：（1）是可觀測隨機向量，且均值向量，協(xié)方差矩陣，且協(xié)方差矩陣與相關陣相等；（3）與相互獨立，且，的協(xié)方差陣是對角方陣2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心14

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型即的各分量之間也是相互獨立的。則模型

(6.7)稱為因子模型，模型(6.7)式的矩陣形式為：

(6.8)其中

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型由模型（6.7）及其假設前提知，公共因子相互獨立且不可測，是在原始變量的表達式中都出現(xiàn)的因子。公共因子的含義，必須結合實際問題的具體意義確定。叫做特殊因子，是向量的分量（）所特有的因子。各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間也都是相互獨立的。矩陣中的元素稱為因子載荷，的絕對值大，表明與的相依程度越大，或稱公共因子對于的載荷量越大，進行因子分析的目的之一，就是要求出各個因子載荷的值。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心16

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型經過后面的分析我們會看到，因子載荷的概念與上一章主成分分析中的因子負荷量相對等，實際上，由于因子分析與主成分分析非常類似，在模型(6.7)式中，若把看作的綜合作用，則除了此處的因子為不可測變量這一區(qū)別，因子載荷與主成分分析中的因子負荷量是一致的；很多人對這兩個概念并不加以區(qū)分而都稱做因子載荷。矩陣稱為因子載荷矩陣。為了更好地理解因子分析方法，有必要討論一下載荷矩陣的統(tǒng)計意義與公因子與原始變量之間的關系。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心17

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型1.因子載荷的統(tǒng)計意義由模型(6.7)式（6.9）即是與的協(xié)方差，而注意到，與（）都是均值為0，方差為1的變量，因此，同時也是與的相關系數(shù)。請讀者對比主成分分析一章有關因子負荷量的論述并對兩者進行比較。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心18

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型2．變量共同度與剩余方差在上面Spearman的例子中我們提到了共同度與剩余方差的概念，對一般因子模型(6.7)式的情況，我們重新總結這兩個概念如下：稱為變量的共同度，記為（）。由因子分析模型的假設前提，易得：記，則

(6.10)

(6.9)上式表明共同度與剩余方差有互補的關系，越大表明對公共因子的依賴程度越大，公共因子能解釋方差的比例越大，因子分析的效果也就越好。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心19

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型3．公因子的方差貢獻共同度考慮的是所有公共因子與某一個原始變量的關系，與此類似，考慮某一個公共因子與所有原始變量的關系。記（），則表示的是公共因子對于的每一分量（）所提供的方差的總和，稱為公因子對原始變量向量的方差貢獻，它是衡量公因子相對重要性的指標。越大，則表明公共因子對的貢獻越大，或者說對的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣的所有（）都計算出來，并按其大小排序，就可以依此提煉出最有影響的公共因子。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心20

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§6.2因子載荷的求解§6.2.1主成分法§6.2.2主軸因子法§6.2.4因子旋轉§6.2.3極大似然法§6.2.5因子得分§6.2.6主成分分析與因子分析的區(qū)別2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心21

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§6.2因子載荷的求解因子分析可以分為確定因子載荷，因子旋轉及計算因子得分三個步驟。首要的步驟即為確定因子載荷或是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定出因子載荷矩陣。有很多方法可以完成這項工作，如主成分法，主軸因子法，最小二乘法，極大似然法，因子提取法等。這些方法求解因子載荷的出發(fā)點不同，所得的結果也不完全相同。下面我們著重介紹比較常用的主成分法、主軸因子法與極大似然法。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心22

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§6.2

.1主成分法用主成分法確定因子載荷是在進行因子分析之前先對數(shù)據(jù)進行一次主成分分析，然后把前面幾個主成分作為未旋轉的公因子。相對于其它確定因子載荷的方法而言，主成分法比較簡單。但是由于用這種方法所得的特殊因子之間并不相互獨立，因此，用主成分法確定因子載荷不完全符合因子模型的假設前提，也就是說所得的因子載荷并不完全正確。但是當共同度較大時，特殊因子所起的作用較小，因而特殊因子之間的相關性所帶來的影響就幾乎可以忽略。事實上，很多有經驗的分析人員在進行因子分析時，總是先用主成分法進行分析，然后再嘗試其他的方法。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心23

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§6.2

.1主成分法式中，為隨機向量的相關矩陣的特征值所對應的特征向量的分量，因為特征向量之間彼此正交，從到的轉換關系是可逆的，很容易得出由到的轉換關系為：用主成分法尋找公因子的方法如下：假定從相關陣出發(fā)求解主成分，設有個變量，則我們可以找出個主成分。將所得的個主成分按由大到小的順序排列，記為，則主成分與原始變量之間存在如下關系式:（6.11）

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§6.2

.1主成分法(6.12)我們對上面每一等式只保留前個主成分而把后面的部分用代替，則（6.12）式變?yōu)椋?/p>

(6.13)2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心25

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§6.2

.1主成分法式（6.13）在形式上已經與因子模型(6.7)相一致，且（）之間相互獨立，且與之間相互獨立，為了把轉化成合適的公因子，現(xiàn)在要做的工作只是把主成分變?yōu)榉讲顬?的變量。為完成此變換，必須將除以其標準差，由上一章主成分分析的知識知其標準差即為特征根的平方根。于是，令，，則(6.13)式變?yōu)椋哼@與因子模型（6.7）完全一致，這樣，就得到了載荷矩陣和一組初始公因子（未旋轉）。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心26

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§6.2

.1主成分法一般設為樣本相關陣的特征根，為對應的標準正交化特征向量。設，則因子載荷矩陣的一個解為：(6.14)

共同度的估計為：(6.15)

那么如何確定公因子的數(shù)目呢？一般而言，這取決于問題的研究者本人，對于同一問題進行因子分析時，不同的研究者可能會給出不同的公因子數(shù)；當然，有時候由數(shù)據(jù)本身的特征可以很明確地確定出因子數(shù)目。當用主成分法進行因子分析時，也可以借鑒確定主成分個數(shù)的準則，如所選取的公因子的信息量的和達到總體信息量的一個合適比例為止。但對這些準則不應生搬硬套，應按具體問題具體分析，總之要使所選取的公因子能夠合理地描述原始變量相關陣的結構，同時要有利于因子模型的解釋。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心27

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§6.2

.2主軸因子法主軸因子法也比較簡單，且在實際應用中也比較普遍。用主軸因子法求解因子載荷矩陣的方法其思路與主成分法有類似的地方，兩都均是從分析矩陣的結構入手；兩者不同的地方在于，主成分法是在所有的個主成分能解釋標準化原始變量所有方差的基礎之上進行分析的，而主軸因子法中，假定個公共因子只能解釋原始變量的部分方差，利用公因子方差（或共同度）來代替相關矩陣主對角線上的元素1，并以新得到的這個矩陣（稱之為調整相關矩陣）為出發(fā)點，對其分別求解特征根與特征向量并得到因子解。在因子模型（6.7）中，不難得到如下關于的相關矩陣的關系式：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心28

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§6.2

.2主軸因子法注意到，上面的分析是以首先得到調整相關矩陣為基礎的，而實際上，與共同度（或相對的，剩余方差）都是未知的，需要我們先進行估計。一般我們先給出一個初始估計，然后估計出載荷矩陣后再給出較好的共同度或剩余方差的估計。初始估計的方法有很多，可嘗試對原始變量先進行一次主成分分析，給出初始估計值。式中，為因子載荷矩陣，為一對角陣，其對角元素為相應特殊因子的方差。則稱為調整相關矩陣，顯然的主對角元素不再是1，而是共同度。分別求解的特征值與標準正交特征向量，進而求出因子載荷矩陣。此時，有個正的特征值。設為的特征根，為對應的標準正交化特征向量。，則因子載荷矩陣的一個主軸因子解為：(6.16)

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§6.2

.3極大似然法如果假定公共因子和特殊因子服從正態(tài)分布，則能夠得到因子載荷和特殊因子方差的極大似然估計。設為來自正態(tài)總體的隨機樣本，其中

。從似然函數(shù)的理論知：

(6.17)它通過依賴于和。但(6.17)并不能唯一確定，為此，添加如下條件：

(6.18)這里，是一個對角陣，用數(shù)值極大化的方法可以得到極大似然估計和。極大似然估計、和，將使為對角陣，且使(6.17)式達到最大。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心30

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§6.2

.4因子旋轉不管用何種方法確定初始因子載荷矩陣，它們都不是唯一的。設是初始公共因子，則可以建立如下它們的線性組合得到新的一組公共因子，使得，，彼此相互獨立同時也能很好地解釋原始變量之間的相關關系。

這樣的線性組合可以找到無數(shù)組，由此便引出了因子分析的第二個步驟——因子旋轉。建立因子分析模型的目的不僅在于要找公共因子，更重要的是知道每一個公共因子的意義，以便對實際問題進行分析。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心31

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§6.2

.4因子旋轉然而我們得到的初始因子解各主因子的典型代表變量不是很突出，容易使因子的意義含糊不清，不便于對實際問題進行分析。出于該種考慮，可以對初始公因子進行線性組合，即進行因子旋轉，以期找到意義更為明確，實際意義更明顯的公因子。經過旋轉后，公共因子對的貢獻并不改變，但由于載荷矩陣發(fā)生變化，公共因子本身就可能發(fā)生很大的變化，每一個公共因子對原始變量的貢獻不再與原來相同，從而經過適當?shù)男D我們就可以得到比較令人滿意的公共因子。因子旋轉分為正交旋轉與斜交旋轉，正交旋轉由初始載荷矩陣右乘一正交陣而得到。經過正交旋轉而得到的新的公因子仍然保持彼此獨立的性質。而斜交旋轉則放棄了因子之間彼此獨立這個限制，因而可能達到更為簡潔的形式，其實際意義也更容易解釋。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心32

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§6.2

.4因子旋轉但不論是正交旋轉還是斜交旋轉，都應當使新的因子載荷系數(shù)要么盡可能地接近于0，要么盡可能的遠離0。因為一個接近于0的載荷表明與的相關性很弱；而一個絕對值比較大的載荷則表明公因子在很大程度上解釋了的變化。這樣，如果任一原始變量都與某些公共因子存在較強的相關關系，而與另外的公因子之間幾乎不相關的話，公共因子的實際意義就會比較容易確定。下面介紹正交旋轉中的方差最大化正交旋轉，該方法由H.K凱澤(H.F.Kaiser)首先提出，是應用最為普遍的正交旋轉方法。方差最大化正交旋轉方法的提出以下面的假設為前提：公因子的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差，即的方差來度量。我們先考慮兩個因子的平面正交旋轉，設因子載荷矩陣為:2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心33

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§6.2

.4因子旋轉令

則為正交陣,記

(6.19)經過如上變換，希望所得結果能使載荷矩陣的每一列元素的絕對值向1和0兩極分化，或者說使因子的貢獻盡量分散。這實際上就是希望把變量分成兩部分，一部分主要與第一因子有關，另一部分主要與第二因子有關，這也就要求，這兩組數(shù)據(jù)的方差要盡可能地大。分別考慮兩列的相對方差

（6.20）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心34

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§6.2

.4因子旋轉2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心35

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§6.2

.4因子旋轉

這里取是為了消除符號不同的影響，除以是為了消除各個變量對公共因子依賴程度不同的影響，現(xiàn)在要求總的方差達到最大，即要求使達到最大值，考慮對的導數(shù)，利用(6.19)，（6.20）式，經過計算知要使須滿足：（6.21）

其中：

而

2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心36

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§6.2

.4因子旋轉

如果公共因子多于兩個，我們可以逐次對每兩個進行上述的旋轉，當公共因子數(shù)時，可以每次取兩個，全部配對旋轉，旋轉時總是對初始載荷矩陣中的列，列同時進行，此時公式(6.21)中只需將，就可以了。變換共需進行次，這樣就完成了第一輪旋轉，然后對第一輪旋轉所得結果用上述方法繼續(xù)進行旋轉，得到第二輪旋轉的結果。每一次旋轉后，矩陣各列平方的相對方差之和總會比上一次有所增加。如此繼續(xù)下去，當總方差的改變不大時，就可以停止旋轉，這樣就得到了新的一組公共因子及相應的因子載荷矩陣，使得其各列元素平方的相對方差之和最大。

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§6.2

.5因子得分

當因子模型建立起來之后，我們往往需要反過來考察每一個樣品的性質及樣品之間的相互關系。比如當關于企業(yè)經濟效益的因子模型建立起來之后，我們希望知道每一個企業(yè)經濟效益的優(yōu)劣，或者把諸企業(yè)劃分歸類，如哪些企業(yè)經濟效益較好，哪些企業(yè)經濟效益一般，哪些企業(yè)經濟效益較差等。這就需要進行因子分析的第三步驟的分析，即因子得分。顧名思義，因子得分就是公共因子在每一個樣品點上的得分。這需要我們給出公共因子用原始變量表示的線性表達式，這樣的表達式一旦能夠得到，就可以很方便的把原始變量的取值代入到表達式中求出各因子的得分值。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心38

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§6.2

.5因子得分

在上一章的分析中我們曾給出了主成分得分的概念，其意義和作用與因子得分相似。但是在此處公因子用原始變量線性表示的關系式并不易得到。在主成分分析中，主成分是原始變量的線性組合，當取個主成分時，主成分與原始變量之間的變換關系是可逆的，只要知道了原始變量用主成分線性表示的表達式，就可以方便的得到用原始變量表示主成分的表達式；而在因子模型中，公共因子的個數(shù)少于原始變量的個數(shù)，且公共因子是不可觀測的隱變量，載荷矩陣不可逆，因而不能直接求得公因子用原始變量表示的精確線性組合。一個解決該問題的方法是用回歸的思想求出線性組合系數(shù)的估計值，即建立如下以公因子為因變量，原始變量為自變量的回歸方程：

（6.22）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心39

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§6.2

.5因子得分此處因為原始變量與公因子變量均為標準化變量，因此回歸模型中不存在常數(shù)項。在最小二乘意義下，可以得到的估計值：（6.23）

式中，為因子載荷矩陣，為原始變量的相關陣，為原始變量向量。這樣，我們在得到一組樣本值后，就可以代入上面的關系式求出公因子的估計得分，從而用少數(shù)公共因子去描述原始變量的數(shù)據(jù)結構，用公因子得分去描述原始變量的取值。在估計出公因子得分后，可以利用因子得分進行進一步的分析，如樣本點之間的比較分析，對樣本點的聚類分析等，當因子數(shù)m較少時，還可以方便地把各樣本點在圖上表示出來，直觀地描述樣本的分布情況，從而便于把研究工作引向深入。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心40

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§6.2

.6主成分分析與因子分析的區(qū)別1、因子分析把展示在我們面前的諸多變量看成由對每一個變量都有作用的一些公共因子和一些僅對某一個變量有作用的特殊因子線性組合而成。因此，我們的目的就是要從數(shù)據(jù)中探查能對變量起解釋作用的公共因子和特殊特殊因子，以及公共因子和特殊因子組合系數(shù)。主成分分析則簡單一些，它只是從空間生成的角度尋找能解釋諸多變量變異絕大部分的幾組彼此不相關的新變量（主成分）。2、因子分析中是把變量表示成各因子的線性組合，而主成分分析中則是把主成分表示成各變量的線性組合。3、主成分分析中不需要有假設，因子分析則需要一些假設。因子分析的假設包括：各個公共因子之間不相關，特殊因子（specificfactor）之間也不相關，公共因子和特殊因子之間也不相關。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心41

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§6.2

.6主成分分析與因子分析的區(qū)別4、抽取主因子的方法不僅僅有主成分法，還有極大似然法等，基于這些不同算法得到的結果一般也不同。而主成分只能用主成分法抽取。5、主成分分析中，當給定的協(xié)方差矩陣或者相關矩陣的特征值是唯一的時候，主成分一般是固定的；而因子分析中因子不是固定的，可以旋轉得到不同的因子。6、在因子分析中，因子個數(shù)需要分析者指定（spss根據(jù)一定的條件自動設定，只要是特征值大于1的因子進入分析），指定的因子數(shù)量不同而結果不同。在主成分分析中，成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個變量就有幾個主成分。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心42

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§6.2

.6主成分分析與因子分析的區(qū)別7、和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋轉技術幫助解釋因子，在解釋方面更加有優(yōu)勢。而如果想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個新的變量（新的變量幾乎帶有原來所有變量的信息）來進入后續(xù)的分析，則可以使用主成分分析。當然，這中情況也可以使用因子得分做到。所以這種區(qū)分不是絕對的。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心43

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§6.3因子分析的步驟與邏輯框圖§6.3.1因子分析的步驟§6.3.2因子分析的邏輯框圖2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心44

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§6.3因子分析的步驟與邏輯框圖上面我們介紹了因子分析的基本思想及基本的理論方法，下面我們把因子分析的步驟及邏輯框圖總結如下，以幫助讀者能更加清楚因子分析各步之間的脈絡關系及更好的運用因子分析方法解決實際問題。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心45

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§6.3.1因子分析的步驟進行因子分析應包括如下幾步：1.根據(jù)研究問題選取原始變量；2.對原始變量進行標準化并求其相關陣，分析變量之間的相關性；3.求解初始公共因子及因子載荷矩陣；4.因子旋轉；5.因子得分；6.根據(jù)因子得分值進行進一步分析。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心46

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§6.3.2因子分析的邏輯框圖

圖6-12023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心47

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)

在上一章中，我們用SPSS的FactorAnalysis模塊實現(xiàn)了主成分分析，實際上，F(xiàn)actorAnalysis主要是SPSS軟件進行因子分析的模塊，由于主成分分析與因子分析（特別是因子分析中的主成分法）之間有密切的關系，SPSS軟件將這兩種分析方法放到同一分析模塊中。下面我們先用SPSS軟件自帶的數(shù)據(jù)說明FactorAnalysis模塊進行因子分析的方法，然后給出一個具體案例。為了與主成分分析進行比較，我們此處仍延用SPSS自帶的Employeedata.sav數(shù)據(jù)集。【例6.1】數(shù)據(jù)集Employeedata.sav中各變量解釋說明見上一章主成分分析，用FactorAnalysis模塊進行因子分析。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心48

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)打開Employeedata.sav數(shù)據(jù)集并依次點選Analyze→Data

Reduction→Factor…進入FactorAnalysis對話框，選取educ、salary、salbegin、jobtime、prevexp變量進入Variables窗口。點擊對話框下側的Extraction進入Extration對話框，在Method選項框我們看到SPSS默認是用主成分法提取因子，在Analyze框架中看到是從分析相關陣的結構出發(fā)求解公因子。點Continue按鈕繼續(xù)。如果這樣交由程序運行的話，將得到與上一章輸出結果5-1同樣的結果，其中包括公因子解釋方差的比例，因子載荷矩陣(即ComponentMatrix)等。選中Displayfactorscorecoefficientmatrix復選框，我們在主成分分析中也選了該選項，它要求SPSS輸出因子得分矩陣，即標準化主成分（因子）用原始變量線性表示的系數(shù)矩陣。點Continue繼續(xù)，點OK按鈕運行，可以得到如下輸出結果6-1：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心49

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6-1（1）（2）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心50

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6-1(3)(4)2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心51

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)上面這三張表我們在主成分分析中也得到過，實際上，用主成分法求解公因子與載荷矩陣，是求主成分的逆運算，這在前面我們有所表述。其中Componentmatrix是因子載荷矩陣，是用標準化后的主成分（公因子）近似表示標準化原始變量的系數(shù)矩陣，用fac1，fac2，fac3表示各公因子，以CurrentSalary為例，即有：由上一章知，當保留5個主成分時，標準化原始變量與公因子之間有如下精確的關系式：標準化的salary=（1）標準化的salary2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心52

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)忽略掉而作為特殊因子反映在因子模型中，由communalities表，可知特殊因子的方差（特殊度）為1-0.896=0.104?？梢?，主成分法求解公因子就是把后面不重要的部分componentscorecoefficientmatrix（因子得分系數(shù)矩陣）是用原始變量表示標準化主成分（公因子）的系數(shù)矩陣，其關系式已在上一章給出，此處不再贅述。這里想說明的是用主成分求解公因子時因子得分系數(shù)與因子載荷之間的關系。如上面表中因子得分系數(shù)中第一個元素為0.342，它與第一主成分的方差2.477，因子載荷矩陣中第一個元素0.846之間有如下關系式：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心53

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)此處之所以是乘以2.477而不是它的平方根是因為此處主成分已經經過標準化了。同理有

，可見用主成分法進行因子分析與主成分分析是完全可逆的，由此，有些研究者也用主成分求解因子分析的結果來進行主成分分析。實際上，在進行因子分析之前，我們往往先要了解變量之間的相關性來判斷進行因子分析是否合適；對此，進入FactorAnalysis對話框后，點擊下方的Descriptives按鈕，進入Descriptives對話框，在Statistics框架中選擇Univariate

Descriptives會給出每個變量的均值、方差等統(tǒng)計量的值，在下部CorrelationMatrix框架中，選中Coefficients選項以輸出原始變量的相關矩陣，選中Significancelevels以輸出原始變量各相關系數(shù)的顯著性水平。CorrelationMatrix框架還有其他一些選項來幫助我們進行判斷，此處不再詳細說明，點擊Continue按鈕繼續(xù)，點擊OK運行，可以得到如下結果6-2：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心54

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6.2：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心55

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)由上面結果知原始變量之間有較強的相關性，進行因子分析是合適的。得到初始載荷矩陣與公因子后，為了解釋方便往往需要對因子進行旋轉，設置好其他選項后點擊FactorAnalysis對話框下部的Rotation…按鈕，進入Rotation對話框，在Method框架中可以看到SPSS給出了多種進行旋轉的方法，系統(tǒng)默認為不旋轉。可以選擇的旋轉方法有Varimax（方差最大正交旋轉）、DirectOblimin（直接斜交旋轉）、Quartmax（四次方最大正交旋轉）、Equamax（平均正交旋轉）及Promax(斜交旋轉),選中Varimax選項，此時，Display框架中Rotatedsolution選項處于活動狀態(tài)，選中該選項以輸出旋轉結果。點擊Contunue→OK運行，除上面的結果外還可得到如下輸出結果6-3:2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心56

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6.3（1）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心57

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6.3（2）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心58

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6.3（3）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心59

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)由結果可以看到，旋轉后公共因子解釋原始數(shù)據(jù)的能力沒有提高，但因子載荷矩陣及因子得分系數(shù)矩陣都發(fā)生了變化，因子載荷矩陣中的元素更傾向于0或者正負1。有時為了公因子的實際意義更容易解釋，往往需要放棄公因子之間互不相關的約束而進行斜交旋轉，最常用的斜交旋轉方法為Promax方法，對此例進行斜交旋轉，可得到如下輸出結果6-4：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心60

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6.4：（1）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心61

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6.4：（2）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心62

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6.4：（3）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心63

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)可以看到，與正交旋轉不同，斜交旋轉的輸出結果中沒有RotatedComponentMatrix而代之以PatternMatrix和StructureMatrix，這里，PatternMatrix即是因子載荷矩陣，而StructureMatrix為公因子與原始變量的相關陣，也就是說，在斜交旋轉中，因子載荷系數(shù)不再等于公因子與原始變量的相關系數(shù)。上面三個表格存在如下關系：StructureMatrix=PatternMatrixCorrelationMatrix2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心64

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)為了得到因子得分值，進行如下操作：在FactorAnalysis對話框，點擊下方的Scores按鈕，進入FactorScores（因子得分）對話框，選中Saveasvariables復選框，即把原始數(shù)據(jù)各樣本點的因子得分值存為變量，可以看到系統(tǒng)默認用回歸方法求因子得分系數(shù)（Method框架中Regression選項被自動選中），保留此設置。在此例中，我們還選中了Saveasvariables復選框，這一選項要求輸出估計的因子得分值，該結果出現(xiàn)在數(shù)據(jù)窗口。在數(shù)據(jù)窗口，我們可以看到在原始變量后面出現(xiàn)了三個新的變量，變量名分別為fac1_1，fac2_1，fac3_1。這三個變量即為各個樣品的第一公因子、第二公因子、第三公因子的得分。我們在前面的分析中曾提過這些得分是經過標準化的，這一點可以用下面的方法簡單的驗證：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心65

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)依次點選Analyze→Descriptive

Statistics→Descriptives…進入Descriptives對話框，選中fac1_1，fac2_1，fac3_1三個變量，點擊OK按鈕運行，可得到如下結果6-5：輸出結果6-5：（1）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心66

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)可以看到，三個變量的標準差均為1（此處由于舍入原因，變量的均值不絕對等于0而是有細微差別）。得到各個樣品的因子得分后，我們就可以對樣本點進行分析，如用因子得分值代替原始數(shù)據(jù)進行歸類分析或是回歸分析等。同時，我們還可以在一張二維圖上畫出各數(shù)據(jù)點，描述各樣本點之間的相關關系。依次點選Graphs→Scatter…進入Scatterplot對話框，選擇Simple按Define按扭，在彈出的SimpleScatterplot對話框中，分別選擇fac1_1，fac2_1作為X軸與Y軸，點擊OK交由程序運行，可得如下散點圖：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心67

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6.5：（2）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心68

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)由此可以直觀地描述原始數(shù)據(jù)的散布情況，為了研究需要，還可以很方便地輸出第一因子與第三因子，第二因子與第三因子的散點圖或同時生成三個因子的散點圖，這只需選擇不同的變量或圖形類型即可，在此不再詳述。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心69

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)【例6.2】（數(shù)據(jù)見表5-9）對企業(yè)經濟效益指標體系的八項指標建立因子分析模型。（詳細因子分析上機實現(xiàn)見例6-3）由spss輸出方差解釋表及碎石圖可看出，前三個特征值較大，其余五個特征值均較小。前三個公共因子對樣本方差的貢獻和為87.085%，于是我們選取3個公共因子。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心70

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)TotalVarianceExplainedComponentInitialEigenvaluesExtractionSumsofSquaredLoadings

Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%14.86160.75860.7584.86160.75860.75821.26915.86576.6231.26915.86576.6233.83710.46387.085.83710.46387.0854.5176.46493.549

5.3784.72798.276

6.1151.44399.719

7.021.26499.984

8.001.016100.000

ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心71

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心72

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)因子載荷的估計如下：

Component

123X1.957-.019-.239X2.899-.396.037X3.862.081-.338X4.928-.350-.038X5.787.000.182X6.422.773.345X7.640-.078.642X8.571.615-.313ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.a3componentsextracted.2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心73

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)由上表可得出企業(yè)經濟效益指標體系的因子分析模型（特殊因子忽略不計）：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心74

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心75

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)由因子分析模型可知，第一個主因子主要由固定資產利稅率，資金利稅率，銷售收入利稅率，資金利稅率這四個指標所決定，這四個指標在主因子上的載荷均在0.85以上，它代表著企業(yè)經濟活動中的盈利能力，而且主因子對的方差貢獻已達60%之多，所以更說明是企業(yè)經濟效益指標體系中的主要方面。此外，固定資產產值率對的貢獻相對也較大，這也是反映企業(yè)經濟活動的盈利能力的主要指標。企業(yè)要提高經濟效益，就要在這個主因子方面狠下功夫。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心76

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)第二個主因子主要由流動資金周轉天數(shù)所決定，說明企業(yè)經濟活動中流動資金周轉快慢與企業(yè)的生產經營及市場信息息息相關。企業(yè)要提高經濟效益就要在產品結構的調整上想辦法，要生產適銷對路的產品，提高本企業(yè)產品的市場占有率。第三個主因子主要反映了企業(yè)的產值和能耗，產值和能耗反映的是投入與產出的關系。企業(yè)要提高經濟效益就不能忽視降低生產成本。2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心77

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)例6.3中心城市的綜合發(fā)展是帶動周邊地區(qū)經濟發(fā)展的重要動力。在我國經濟發(fā)展進程中，各個中心城市一直是該地區(qū)經濟和社會發(fā)展的“引路者”。因而，分析評價全國35個中心城市的綜合發(fā)展水平，無論是對城市自身的發(fā)展，還是對周邊地區(qū)的進步，都具有十分重要的意義。下面應用因子分析模型，選取反映城市綜合發(fā)展水平的12個指標作為原始變量，運用spss軟件，對全國35個中心城市的綜合發(fā)展水平作分析評價。1.原始數(shù)據(jù)及指標解釋。我們選取了反映城市綜合發(fā)展水平的12個指標，其中包括8個社會經濟指標，分別為：2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心78

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)—非農業(yè)人口數(shù)（萬人）—工業(yè)總產值（萬元）—貨運總量（萬噸）—批發(fā)零售住宿餐飲業(yè)從業(yè)人數(shù)（萬人）—地方政府預算內收入（萬元）—城鄉(xiāng)居民年底儲蓄余額（萬元）—在崗職工人數(shù)（萬人）—在崗職工工資總額（萬元）4個城市公共設施水平的指標：—人均居住面積（平方米）—每萬人擁有公共汽車數(shù)（輛）—人均擁有鋪裝道路面積（平方米）—人均公共綠地面積（平方米）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心79

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)指標的選取參考了《中國城市統(tǒng)計年鑒》中指標的設置。數(shù)據(jù)來源于《中國城市統(tǒng)計年鑒（2004）》。數(shù)據(jù)見表6-1。表6-1x1x2x3x4x5x6北京830.83810363030671.14127.4592538864413910天津549.74404961033467915.38204529518253200石家莊331.331198150510008.488.0749342910444919太原222.63518320015248.112.433334736601300呼和浩特97.8124077944155.1220577925544962023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心80

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)沈陽440.61064361214635.747.381088914229575長春313.051511527010891.986.944597098313564哈爾濱454.5272150899517.824.9976360011536951上海1041.391.03E+086386135.22899285060546000南京391.672509381614804.687.62136478811336202杭州263.673202522616815.28.36150388814664200合肥160.1853486054640.843.393586943592488福州205.43128895738250.394.696745228762245南昌195.4641491694454.453.623140944828029濟南297.211318542514354.46.67610547583525鄭州249.7292704947846.918.7765873710484859武漢474.981334493816610.3413.5880436812855341續(xù)表6-12023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心81

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)長沙205.83533930410630.56.315989307048500廣州493.324017832428859.4521.47274770737273276南寧167.9920837635893.094.953624354514961?？?6.0520256433304.42.721225412843664成都386.23970097628798.28.0689575214944197貴陽165.2735694195317.555.754038553449487昆明205.34580957312337.867.076011017085278西安312.886386627939212.2164803712105607蘭州175.5452154905580.83.72056604683830西寧105.1311489592037.151.24843971749293續(xù)表6-12023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心82

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)銀川79.214648672127.171.651226051930771烏魯木齊142.94311094312754.023.944091194203000大連297.481546864121081.476.6110540513101986寧波168.812630286213797.384.8139416210596339廈門83.74132015003054.822.837014563971559青島329.962558869530552.66.7212013989084693深圳122.39524510376792.6610.84290837021994500重慶753.921588992832450.212.83161561818965569續(xù)表6-12023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心83

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)續(xù)表6-1x7x8x9x10x11x12北京434.15109893651517.38.5644.94天津174.53254148187.997.2317.45石家莊86.741067432187.238.2821.56太原74.55945212165.067.8820.58呼和浩特28.9407963183.818.9226.58沈陽101.71521548159.326.728.36長春89.712441671511.877.0318.75哈爾濱168.8321021651412.756.3418.51上海281.5176865111914.5712.9219.11南京87.911950742169.0612.13136.72杭州75.721867776178.936.523.192023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心84

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)續(xù)表6-1合肥37.885265771714.1115.7228.74福州71.31073262189.657.931.6南昌49.79692717177.377.6723.98濟南78.381256160197.7710.6219.54鄭州83.9911370561910.117.6317.77武漢136.081868350176.874.168.34長沙60.0410199241810.099.129.1廣州182.1652470871711.1612.76178.76南寧50.79668976189.919.3235.12?？?2.97340392205.097.0715.79成都124.031894496178.9510.1725.59貴陽54.53664234169.373.11105.352023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心85

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)續(xù)表6-1昆明73.3410454691515.334.4923.33西安113.731535896157.324.488.82蘭州54.917406611510.336.311.22西寧20.63013641711.474.9214.2銀川29.12393035159.2610.4340.21烏魯木齊47.427828731922.896.4920.53大連82.1314422151413.796.2440.21寧波59.881418635179.886.8117.65廈門54.7810421112015.58.1526.44青島104.5516033051514.7811.4135.78深圳104.98325990021114.9147.29177.62重慶203.792535070214.944.2410.82023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心86

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)2.計算運行結果將標準化后的數(shù)據(jù)導入到spss軟件，依次點選Analyze-DataReduction-Factor進入FactorAnalysis對話框。把12個指標變量選入variables中，點擊extraction按鈕，在method選項中選擇principalcomponents(這時，因子分析等同于主成分分析，如果是主成分分析，則只能選擇此項)，點擊continue按鈕，回到主對話框點擊ok。見圖6-2.2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心87

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)圖6-2按照特征根大于1的原則，選入3個公共因子，其累計方差貢獻率為87.1%，特征根及累計貢獻率、碎石圖、因子載荷矩陣如下。見輸出結果6-6.輸出結果6-6（1）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心88

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心89

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6-6（2）輸出結果6-6（3）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心90

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)此時得到的未旋轉的公共因子的實際意義不好解釋，因此，對公共因子進行方差最大化正交旋轉。在factorAnalysis對話框中，點擊rotation按鈕，進入rotation對話框，選中varimax進行方差最大化正交旋轉（若是主成分分析就選擇none）。得輸出結果6-7.2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心91

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6-7（1）輸出結果6-7（2）2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心92

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)原變量可由各因子表示為：由上表結果，原變量可由各因子表示為：其余依次類推。為便于得出結論，在factoranalysis主對話框中點擊options按鈕進入options對話框，在coefficientdisplayformat框中選中sortedbysize使輸出的載荷矩陣中各列按載荷系數(shù)大小排列，使在同一個公因子上具有較高載荷的變量排在一起。然后點擊continue，ok運行。見圖6-3.2023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心93

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)圖6-32023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心94

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§6.4因子分析的上機實現(xiàn)輸出結果6-82023/2/2中國人民大學六西格瑪質量管理研究中心95

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