對(duì)兩類常見電磁學(xué)問題的探討

對(duì)兩類常見電磁學(xué)問題的探討第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日在電磁學(xué)解題中，同學(xué)往往習(xí)慣套用公式，而忽略了其內(nèi)在含義．這里給出了兩類習(xí)題的基本解法，并對(duì)它們進(jìn)行深入的探討。摘要第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日【一】導(dǎo)體電極分區(qū)介質(zhì)問題中的重要性在具體應(yīng)用課本介紹的兩種典型分區(qū)介質(zhì)的解法時(shí)，同學(xué)往往忽略外層導(dǎo)體介質(zhì)的存在。現(xiàn)以具體例題討論其重要性如下。第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日例題１．一球形電容器帶電量為Q0，兩極之間充滿介電常數(shù)分別為ε1、ε2的兩種介質(zhì)。介質(zhì)界面與球心共面（見下圖）。求介質(zhì)中的D與E的分布。第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日〖常規(guī)解法〗由于介質(zhì)界面與電場(chǎng)線重合，且屬于一維對(duì)稱情況，電場(chǎng)強(qiáng)度沿徑向方向，因此運(yùn)用公式有：

ε0E(ε1+ε2)·2πr2=Q0(ｒ?yàn)榈角蛐牡木嚯x)則第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日ε２區(qū)域中：D2=ε0ε2E=ε1區(qū)域中：D1=ε0ε1E=在上題中，用到了“介質(zhì)界面與電場(chǎng)線重合時(shí)，

”這一結(jié)論。這里，由于靜電場(chǎng)的唯一性定理，可以給出證明。

第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日由于與介質(zhì)面重合，因而在介質(zhì)界面沒有法向分量，界面上極化電荷為零。由知：在r1處：ε1區(qū)域

ε2區(qū)域第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日１區(qū)：２區(qū)：r1表面電荷密度分布為：１區(qū)：２區(qū)：兩值相等。同理計(jì)算r2表面電荷分布可得：１區(qū)：２區(qū)：第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日可見，由于存在不同的電介質(zhì)，極化面電荷σ／會(huì)出現(xiàn)差異，但是內(nèi)外導(dǎo)體自由電荷分布的自動(dòng)調(diào)整，會(huì)使內(nèi)、外導(dǎo)體面處的總電荷分布是球形對(duì)稱的。這樣電場(chǎng)的分布必然是球形對(duì)稱的。

第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日對(duì)于例題１這種解法行之有效。但我們?cè)O(shè)想去掉例題1中球外r2處導(dǎo)體，情況會(huì)變成什么樣呢？

第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日例題2．

如下圖，只有r1處有帶電Q0的導(dǎo)體球，其它條件同例題1。

第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日如果我們?nèi)园蠢}1來解，可算得r2上極化電荷：１區(qū)：２區(qū)：因?yàn)閞2處無自由電荷，故總電荷分布不對(duì)稱。第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日可見內(nèi)球殼r1處的總電荷是均勻分布的，它們對(duì)空間場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)是球形對(duì)稱的。而在外球殼r2處總電荷密度不均勻，因此它們對(duì)場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)不是球形對(duì)稱的。內(nèi)外層貢獻(xiàn)疊加的總場(chǎng)強(qiáng)必然不是球形對(duì)稱的。與計(jì)算所得場(chǎng)強(qiáng)分布矛盾。

第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日結(jié)論該方法對(duì)例題2的情況（球外無導(dǎo)體殼）不適用。例題1與例題2區(qū)別在于例題1有導(dǎo)體殼提供自由電子，是自由電子自動(dòng)調(diào)整才使E球形對(duì)稱。所以要具備電子調(diào)整的條件，使外殼成為等勢(shì)面，這是此類習(xí)題的一特點(diǎn)。第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日〖分析〗題中介質(zhì)是無限的，能否運(yùn)用上述方法呢？答案是肯定的。因?yàn)闊o限遠(yuǎn)處也是一等勢(shì)面，而且無限遠(yuǎn)處的電荷對(duì)系統(tǒng)不構(gòu)成影響，由此解出Q=Eε0(1+ε)2πr2，符合要求。有由靜電場(chǎng)中唯一性定理，可知這就是此題的唯一解。所以，無論是介質(zhì)趨向無限遠(yuǎn)處，或外包導(dǎo)體，都可以用此法來求解。同樣的問題也出現(xiàn)在靜磁場(chǎng)中。例題3.一介電常數(shù)為ε的半無限電介質(zhì)界面上有一點(diǎn)電荷Q，求空間電場(chǎng)分布。第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日例題4.在同軸電纜中填滿磁導(dǎo)率為μ1和μ2的兩種磁介質(zhì)，各占一半空間，并介質(zhì)面為通過電纜軸的平面。設(shè)通過電纜的電流強(qiáng)度為I，求解之中磁場(chǎng)的分布。第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日【二】以能量轉(zhuǎn)換與守恒原理為基礎(chǔ)的楞次定律

電磁感應(yīng)現(xiàn)象中感應(yīng)電流方向的判定常用楞次定律，通常有“來拒去留”和“跟動(dòng)”的說法。但在不同的介質(zhì)中尚需做具體分析，以下是超導(dǎo)介質(zhì)中的一例。第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日例題5．條形磁鐵沿導(dǎo)體圓環(huán)中心軸線進(jìn)入后又穿出，分析環(huán)中感應(yīng)電流方向及兩個(gè)過程磁鐵與環(huán)之間的相互作用。第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日〖分析〗磁場(chǎng)力一直對(duì)磁鐵做負(fù)功，磁鐵功能的減少向線圈中的電能轉(zhuǎn)化，而電能最終又在電阻上成為焦?fàn)枱?。第十九頁，共二十四頁?022年，8月28日上題中，“來拒去留”的方法的確適用，而且十分方便。但是不是一種放之四海而皆準(zhǔn)的法則呢？

第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日例題6．如下圖，用超導(dǎo)材料制成的閉合線圈放置在防磁裝置中,可以認(rèn)為不受周圍其他磁場(chǎng)的作用，有一個(gè)小條形磁鐵沿線圈的軸線從左向右穿過超導(dǎo)線圈，并遠(yuǎn)離線圈，開始時(shí)線圈中無電流。第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日〖分析〗超導(dǎo)體無電阻，其自身并不消耗電能，它是一個(gè)貯能環(huán)。這時(shí)，環(huán)中感應(yīng)電流不再與電動(dòng)勢(shì)成正比，電流是逐漸積的。完全進(jìn)入時(shí)，環(huán)中電流達(dá)到了最大。第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日關(guān)于這一點(diǎn)，也可以用麥克斯韋電磁場(chǎng)理論來討論：a.

當(dāng)完全進(jìn)入時(shí)，E=0，電子速度最大，i最強(qiáng)b.

離開過程，磁鐵引起線圈中變化磁場(chǎng)產(chǎn)生逆時(shí)針的電場(chǎng)E／，電子開始受到與運(yùn)動(dòng)方向相反的電場(chǎng)力作用，但電子不會(huì)立即改變運(yùn)動(dòng)方向，其將做逆時(shí)針的減速運(yùn)動(dòng)，故電子方向還是與剛才的方向相同，只是強(qiáng)度小了。

第二十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日

進(jìn)一步分析：進(jìn)入過程，磁鐵動(dòng)能的減少轉(zhuǎn)化為超導(dǎo)體環(huán)中的電能；離