實驗物理誤差理論稿

實驗物理誤差理論稿第一頁，共五十六頁，2022年，8月28日§

1.1 測量與誤差關(guān)系§

1.2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法§

1.3 直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法§

1.4 間接測量結(jié)果誤差估算及評定方法§

1.5

有效數(shù)字及其運算§

1.6 常用數(shù)據(jù)處理方法第一章

測量誤差及數(shù)據(jù)處理方法

第二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

等精度測量測量按測量方法的不同可分按精度因素可分

直接測量間接測量非等精度測量

測量：用一定的測量工具或儀器，通過一定的方法，直接或間接地得到所需要的量值。一、

測量§

1.1基本概念：測量與誤差關(guān)系第三頁，共五十六頁，2022年，8月28日二、

誤差2、誤差來源

（1）

儀器誤差（instrumenterror)

（2）

環(huán)境誤差

(environmenterror)

（3）

測量方法誤差(measurementerrorof amethod)

（4）

人員誤差(itselfinerror)1、誤差的定義

測量誤差=測量值-真值N真是客觀存在的但無法測得，因為測量與誤差是形影不離的。反映的是測量值偏離真實值的大小和方向。注意有正、負(fù)之分。第四頁，共五十六頁，2022年，8月28日三、

誤差分類（系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、 粗大誤差）（1.）系統(tǒng)誤差(systemerror)（保持恒定或以可預(yù) 知方式變化）

特點：確定性，許多情況下系統(tǒng)誤差是不變的，不 可避免但可修正。

產(chǎn)生原因：儀器本身的缺陷、測量方法的不完備.第五頁，共五十六頁，2022年，8月28日正態(tài)分布函數(shù)的特點：1、誤差較小的數(shù)據(jù)比誤差大的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率大；2、誤差很大的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率大趨于零；3、誤差絕對值相等的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率相等，測量次數(shù)增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零，所以用多次測量取平均的方法可以減小誤差。

隨機(jī)誤差的特點：

在測量次數(shù)不多的情況下沒有規(guī)律可循;隨機(jī)性

在測量次數(shù)多的情況下，具有統(tǒng)計規(guī)律。服從正態(tài)分布（2）隨機(jī)誤差（以不可預(yù)知方式變化）產(chǎn)生原因：環(huán)境的影響等。第六頁，共五十六頁，2022年，8月28日（3）粗大誤差（明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差）

特點：可以避免，處理數(shù)據(jù)時應(yīng)將其剔除。

產(chǎn)生原因：錯誤讀數(shù)、使用有缺陷的器具、使用 儀器方法不對等。第七頁，共五十六頁，2022年，8月28日

（1）絕對誤差：反映誤差本身大小。（2）相對誤差（百分誤差）：反映誤差嚴(yán)重程度。四、

測量結(jié)果表示結(jié)果表示：注意：絕對誤差大的，相對誤差不一定大。第八頁，共五十六頁，2022年，8月28日五、精密度、正確度與準(zhǔn)確度（又稱精確度） 這三個名詞分別用來反映隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和綜合誤差的大小。正確度較高、精密度低精密度高、正確度低準(zhǔn)確度高(a)(c)(b)第九頁，共五十六頁，2022年，8月28日§1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法

真值的獲得：

1、公認(rèn)

2、未知 對N進(jìn)行K次測量，得N1，N2……Nk．

用算術(shù)平均值：

作為真值的最佳估計。

評定其可靠性的方法有三種。第十頁，共五十六頁，2022年，8月28日1．算術(shù)平均偏差['deltE]

結(jié)果可表示為：第十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日

（2）平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差（在同一條件下對某物理量進(jìn)行多次測量）（1）測量列的實驗標(biāo)準(zhǔn)差(有限次測量和被測真值未知) 2．標(biāo)準(zhǔn)偏差['sigmE]

（又稱均方根偏差，反映平均值代替真值的精密度）(1.2-2)(1.2-3)第十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

σ：標(biāo)準(zhǔn)偏差σ是一個描述測量結(jié)果離散程度的參量，反映了測量的精密度，只考慮隨機(jī)誤差。

理解：若隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，在距平均值σ

處，是概率密度曲線的拐點，曲線下總面積為1，σ越小，曲線越瘦，峰值越高，說明分布越集中，精密度越高；反之精密度越低。

特性一：第十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日

置信概率（包含真值的概率）

測量結(jié)果的范圍68.3%95.4%99.7%

當(dāng)系統(tǒng)誤差、粗大誤差已消除，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，且σ已確定時K＝3K＝22K＝326特性二：第十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日A類分量（用統(tǒng)計的方法計算）uＡB類分量（用其他方法計算）u合成不確定度測量結(jié)果表示為：相對不確定度：3．不確定度（反映平均值代替真值的準(zhǔn)確度）

Δins為儀器的極限誤差；K為置信系數(shù)（物理實驗中約定為1）。第十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日§1.3直接測量誤差估算及評定

一、單次測量誤差估算及評定

單次測量結(jié)果的誤差估算常以測量儀器誤差來評定。

儀器誤差：

△已標(biāo)明（或可明確知道）的誤差

△未標(biāo)明時，可取儀器及表盤上最小刻度的一半作誤差。

△電子類儀器

第十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日舉例:

如用一個精度為0.5級，量程為10μA的電流表，單次測量某一電流值為2.00μA，試用不確定度表示測量結(jié)果。解：u=10μA×0．5％=0．05μA

I=（2．00±0．05）μA第十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日二、多次測量結(jié)果的誤差估算及評定程序：

1、求平均值。

2、求或或u。

3、表示結(jié)果。例如用u，

則結(jié)果為：

第十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日u的利弊算數(shù)平均偏差——計算方便但準(zhǔn)確度低標(biāo)準(zhǔn)偏差——只考慮了隨機(jī)誤差，只反映了精密度u不確定度——既含隨機(jī)誤差又含系統(tǒng)誤差，且準(zhǔn)確度高今后我們約定結(jié)果寫成：式中這種表示方法的置信概率大約為95%左右為加深理解，可參閱p20、p21（舊書p14）的例2、例3。第十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日

(1.4-3)

絕對誤差(1.4-4)

相對誤差§1.4間接測量結(jié)果誤差的估算及評定

N=f(x,y,z)

一、

一般的誤差傳遞公式當(dāng)間接測量的函數(shù)關(guān)系為和差形式（N=x+y-z),先計算絕對誤差較方便當(dāng)間接測量的函數(shù)關(guān)系為積商形式（N=xy/z),先計算相對誤差較方便第二十頁，共五十六頁，2022年，8月28日

(1.4-6)

(1.4-7)二、

標(biāo)準(zhǔn)偏差的傳遞公式（方和根合成）（能夠更好地反映測量結(jié)果的離散程度）第二十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日

三、不確定度的傳遞公式(1.4-8)

(1.4-9)不確定度相對不確定度當(dāng)間接測量的函數(shù)關(guān)系為和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）較方便當(dāng)間接測量的函數(shù)關(guān)系為積商，乘方，開方形式（N=x2y/z),用（1.4-9）較方便第二十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日表1.4-1某些常用函數(shù)的不確定度傳遞公式

函數(shù)形式不確定傳遞公式第二十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日[總結(jié)]間接測量結(jié)果用不確定度評定的基本步驟：

（1）計算各直接測量量的值和它們的不確定度；

（2）根據(jù)公式（1.4—8）或（1.4—9）計算間接測量量的不確定度（保留1位有效數(shù)字），或相對不確定度（保留1~2位有效數(shù)字）；

（3）求出間接測量量N，N的末位與不確定度所在位對齊；

（4）寫出結(jié)果。

注意單位不要漏寫第二十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日例(p24):用一級千分尺（）測量某一圓柱體的直徑D和高度H，測量數(shù)據(jù)見表1.4-2,求體積V并用不確定度評定測量結(jié)果。

第二十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日表1.4-2

測量次數(shù)D/mmH/mm

13.0044.096

23.0024.094

33.0064.092

43.0004.096

53.0064.096

63.0004.094

73.0064.094

83.0044.098

93.0004.094

103.0004.096第二十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：（1）計算直接測量值D、H的不確定度(a)(b)A類不確定度—B類不確定度(c)(1.2-2)第二十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日（3）寫出結(jié)果（d）估算UD和UH（2）求V和Uv第二十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日§1.5有效數(shù)字及其運算

一、什么叫有效數(shù)字

一般有效數(shù)字是由若干位準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字（欠準(zhǔn)數(shù)字）構(gòu)成。

舉例：1.25 （3位有效數(shù)字） 1.250 （4位有效數(shù)字） 0.0125（3位有效數(shù)字） 1.0025（5位有效數(shù)字）第二十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日

注意:（1）同一物體用不同精度的儀器測，有效數(shù)字的位數(shù)是不同的，精度越高，有效數(shù)字的位數(shù)越多（2）有效位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無關(guān)（3）表示小數(shù)點位數(shù)的“0”不是有效數(shù)字；數(shù)字中間的“0”和數(shù)字尾部的“0”都是有效數(shù)字。數(shù)據(jù)尾部的“0”不能隨意舍掉，也不能隨意加上第三十頁，共五十六頁，2022年，8月28日

二、有效數(shù)字運算規(guī)則１、加減運算

尾數(shù)對齊——在小數(shù)點后所應(yīng)保留的位數(shù)與諸量中小數(shù)點后位數(shù)最少的一個相同。如：11.4+2.56=14.0

75-10.356=65如：4000×9.0=3.6×1042.000÷0.10=20

２、乘除運算

位數(shù)對齊——結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù)，一般與諸量中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個相同。第三十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日3、某些常見函數(shù)運算的有效位數(shù)

（1）對數(shù)函數(shù)尾數(shù)的位數(shù)取得與真數(shù)的位數(shù)相同(舊書有誤)；（2）指數(shù)函數(shù)的有效數(shù)字，可與指數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)（包括緊接在小數(shù)點后的零）相同；第三十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

（4）常數(shù)的有效位數(shù)可以認(rèn)為是無限的，實際計 算中一般比運算中有效數(shù)字位數(shù)多取1位；（3）三角函數(shù)的取位隨角度的有效位數(shù)而定；第三十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日2、最佳值或測量值末位與不確定度末位對齊。三、不確定度和測量結(jié)果的數(shù)字化整規(guī)則

1、不確定度的有效位數(shù)1~2位

本書約定不確定度只保留1位。

相對不確定度1~2位。

尾數(shù)采用四舍六入五湊偶

如：1.4=1，1.6=2，1.5=2，2.5=2

第三十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日小結(jié)實驗中如何確定數(shù)據(jù)的有效位數(shù)？

在實驗中我們所得的測量結(jié)果都是可能含有誤差的數(shù)值，對這些數(shù)值不能任意取舍，應(yīng)反映出測量值的準(zhǔn)確度。所以在記錄數(shù)據(jù)、計算以及書寫測量結(jié)果時，應(yīng)根據(jù)測量誤差或?qū)嶒灲Y(jié)果的不確定度來定出究竟應(yīng)取幾位有效位數(shù)。第三十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日舉例：

1.直接測量量（原始數(shù)據(jù)）的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度游標(biāo)類器具（游標(biāo)卡尺、分光計度盤、大氣壓計等）一般讀至游標(biāo)最小分度的整數(shù)倍，即不需估讀。第三十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日數(shù)顯儀表及有十進(jìn)步式標(biāo)度盤的儀表（電阻箱、電橋、電位差計、數(shù)字電壓表等）一般應(yīng)直接讀取儀表的示值。第三十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日指針式儀表及其它器具，讀數(shù)時估讀到儀器最小分度的1/2～1/10，或使估讀間隔不大于儀器基本誤差限的1/5～1/3。第三十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日注意指針指在整刻度線上時讀數(shù)的有效位數(shù)。第三十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日§1.6常用的數(shù)據(jù)處理方法一、列表法

列表法是將實驗上得到的數(shù)據(jù)按一定的規(guī)律列成表格。它的的優(yōu)點是：能使物理量之間對應(yīng)關(guān)系清晰明了，有助于發(fā)現(xiàn)實驗中的規(guī)律，也有易于發(fā)現(xiàn)實驗中的差錯，列表法又是其他數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)熟練掌握。列表要求見書p30（舊書p24頁）第四十頁，共五十六頁，2022年，8月28日作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也可用來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時要先整理出數(shù)據(jù)表格，并要用坐標(biāo)紙作圖。1.選擇合適的坐標(biāo)分度值，確定坐標(biāo)紙的大小坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能基本反映測量值的準(zhǔn)確度或精密度。根據(jù)表１數(shù)據(jù)U軸可選1mm對應(yīng)于0.10V，I軸可選1mm對應(yīng)于0.20mA，并可定坐標(biāo)紙的大小（略大于坐標(biāo)范圍、數(shù)據(jù)范圍）約為130mm×130mm。作圖步驟：實驗數(shù)據(jù)列表如下.

表1：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)二、作圖法第四十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日2.標(biāo)明坐標(biāo)軸：

用粗實線畫坐標(biāo)軸，用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)軸的名稱或符號、單位,再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.連成圖線：

用直尺、曲線板等把點連成直線、光滑曲線。一般不強(qiáng)求直線或曲線通過每個實驗點，應(yīng)使圖線兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。。3.標(biāo)實驗點：實驗點可用“”、“”、“”等符號標(biāo)出（同一坐標(biāo)系下不同曲線用不同的符號）。第四十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日5.標(biāo)出圖線特征：在圖上空白位置標(biāo)明實驗條件或從圖上得出的某些參數(shù)。如利用所繪直線可給出被測電阻R大?。簭乃L直線上讀取兩點A、B的坐標(biāo)就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線6.標(biāo)出圖名：

在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：至此一張圖才算完成第四十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日不當(dāng)圖例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖圖1曲線太粗，不均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細(xì)實線。第四十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖改正為：第四十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日圖2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標(biāo)分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍。第四十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線改正為：第四十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)。實際作圖時，坐標(biāo)原點的讀數(shù)可以不從零開始。第四十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正為：第四十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日三、逐差法逐差法是對等間距測量的有序數(shù)據(jù)，進(jìn)行逐項或相等間隔相減得到結(jié)果。它計算簡便，并可充分利用數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)差錯，總結(jié)規(guī)律，是物理實驗中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。使用條件：（1）自變量x是等間距變化（2）被測物理量之間函數(shù)形式可以寫成x的多項式：分類：逐差法逐項逐差（用于驗證被測量之間是否存在多項式函數(shù)關(guān)系）分組逐差（用于求多項式的系數(shù)）第五十頁，共五十六頁，2022年，8月28日應(yīng)用舉例（拉伸法測彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)）設(shè)實驗中，等間隔地在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對應(yīng)的彈簧下端點的位置L0L1L2‥‥‥L9

，則可用逐差法進(jìn)行以下處理（1）驗證函數(shù)形式是線性關(guān)系看⊿L1⊿L2‥‥‥⊿L9是否基本相等.當(dāng)⊿Li基本相等時,就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即F=k⊿L用此法可檢查測量結(jié)果是否正確，但注意的是必須用逐項逐差（1.6—1）把所得的數(shù)據(jù)逐項