2021版高考文科數(shù)學(xué)(北師大版)一輪復(fù)習(xí)高效演練分層突破第八章第4講垂直關(guān)系Word版解析版

[基礎(chǔ)題組練]1．設(shè)α為平面，a，b為兩條不一樣的直線，則以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a⊥α，a∥b，則b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，則b∥αD．若a∥α，a⊥b，則b⊥α分析：選B.若a∥α，b∥α，則a與b訂交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；易知B正確；若a⊥α，a⊥b，則b∥α或bα，故

C

錯(cuò)誤；若a∥α，a⊥b，則

b∥α或

b

α，或b與α訂交，故D

錯(cuò)誤．應(yīng)選

B.2．(2020陜·西咸陽(yáng)一模)設(shè)m，n是兩條不一樣的直線，α，β是兩個(gè)不一樣的平面，以下命題中正確的選項(xiàng)是()A．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥βC．若m⊥n，mα，nβ，則α⊥βD．若α∥β，mα，nβ，則m∥n分析：選B.若α⊥β，m∥α，n∥β，則m與n訂交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；由于m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又由于n∥β，所以α⊥β，故B正確；若m⊥n，mα，nβ，則α與β的地點(diǎn)關(guān)系不確立，故C錯(cuò)誤；若α∥β，mα，nβ，則m∥n或m，n異面，故D錯(cuò)誤．3.如圖，在正四周體中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下邊四個(gè)結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC分析：選D.由于BC∥DF，DF平面PDF，BC?/平面PDF，所以BC∥平面PDF，應(yīng)選項(xiàng)A正確．在正四周體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.所以選項(xiàng)B，C均正確．4．(2020·寧撫順一模遼)在三棱錐P-ABC中，已知D，E分別為棱BC，PC的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是A．直線DE⊥直線ADB．直線C．直線DE⊥直線ABD．直線分析：選D.如圖，

(

PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，點(diǎn))DE⊥直線PADE⊥直線AC由于PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，所以△PAC≌△BAC，所以PC＝BC，取PB的中點(diǎn)G，連接AG，CG，則PB⊥CG，PB⊥AG，又由于AG∩CG＝G，所以PB⊥平面CAG，則PB⊥AC，由于D，E分別為棱BC，PC的中點(diǎn)，所以DE∥PB，則DE⊥AC.應(yīng)選D.5．(2019高·考北京卷)已知l，m是平面α外的兩條不一樣直線．給出以下三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以此中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：．分析：此中兩個(gè)論斷作為條件，一個(gè)論斷作為結(jié)論，可構(gòu)成3個(gè)命題．命題(1)：若l⊥m，m∥α，則l⊥α，此命題不成立，可以舉一個(gè)反例，比方在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面ABCD為平面α，A1D1和A1B1分別為l和m，滿足條件，但結(jié)論不成立．命題(2)：若

l⊥m，l⊥α，則

m∥α，此命題正確．證明：作直線

m1∥m，且與

l訂交，故l與

m1確立一個(gè)平面

β，且

l⊥m1，由于

l⊥α，所以平面α與平面

β訂交，設(shè)α∩β＝n，則l⊥n，又

m1，n

β，所以

m1∥

n，又

m1∥m，所以

m∥n，又

m在平面α外，n

α，故m∥α.命題(3)：若m∥α，l⊥α，則l⊥m，此命題正確．證明：過(guò)直線α訂交，交線為a，由于m∥α，所以m∥a.由于l⊥α，aα，所以

m作一平面，且與平面l⊥a，又m∥a，所以l⊥m.答案：②③?①或①③?②(答案不獨(dú)一)6．如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有；與AP垂直的直線有．分析：由于PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.由于AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又由于AP平面PAC，所以AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC.證明：(1)由于PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PC⊥DC.又由于AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)由于AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.由于PC⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PC⊥AB.又由于PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.8．(2020武·漢部分學(xué)校調(diào)研)如圖，已知直三棱柱

ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝1，AC⊥BC，E在AB上，且BA＝3BE，G在AA1上，且AA1＝3GA1.(1)求三棱錐A1-ABC1的體積；(2)求證：AC1⊥EG.解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1A1，所以B到平面ACC1A1的距離為1，所以VA1-ABC1＝VB-111AA1C1＝×(×1×1)×1＝.326(2)證明：如圖，在AC上取點(diǎn)D，使CD＝13CA，連接ED，DG，1由于BE＝3BA，所以DE∥BC，又BC⊥平面ACC1A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1，所以DE⊥AC1.在正方形ACC1A1中，由CD＝13CA，A1G＝13A1A，得DG⊥AC1.又DE∩DG＝D，所以AC1⊥平面DEG.所以AC1⊥EG.[綜合題組練]1.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是()A．平面D1A1P⊥平面A1APπB．∠APD1的取值范圍是0，2C．三棱錐B1-D1PC的體積為定值D．DC1⊥D1P分析：選B.在A中，由于A1D1⊥平面A1AP，A1D1平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正確；π在B中，當(dāng)P與A1重合時(shí)，∠APD1＝2，故B錯(cuò)誤；在C中，由于△B1D1C的面積是定值，A1B∥平面B1D1C，所以點(diǎn)P到平面B1D1C的距離是定值，所以三棱錐B1-D1PC的體積為定值，故C正確；在D中，由于DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC平面BCD1A1，所以DC⊥平面BCDA，所以DC⊥DP，故D正確．111112．(2018高·考全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的極點(diǎn)為S，母線SA，SB相互垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為．分析：由題意畫(huà)出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得12l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝12l＝2，AO＝23l＝23.故該圓錐的體積V＝13π×AO2×SO＝13π×(23)2×2＝8π.答案：8π3.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，點(diǎn)M，N分別在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.(1)求證：AM⊥PD；(2)求直線CD與平面AMN所成角的正弦值．解：(1)證明：由于四邊形ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，故CD⊥平面PAD.又AM平面PAD，則CD⊥AM，而PC⊥平面AMN，有PC⊥AM，又PC∩CD＝C，則AM⊥平面PCD，故AM⊥PD.(2)延長(zhǎng)NM，CD交于點(diǎn)E，由于PC⊥平面AMN，所以NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影，故∠CEN為CD(即CE)與平面AMN所成的角，又由于CD⊥PD，EN⊥PN，則有∠CEN＝∠MPN，在Rt△PMN中，sin∠MPN＝MN＝3，PM3故CD與平面AMN所成角的正弦值為33.4．(2020廣·東七校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝2，E是AB的中點(diǎn)，G是PD的中點(diǎn)．(1)求四棱錐P-ABCD的體積；(2)求證：AG∥平面PEC；(3)求證：平面PCD⊥平面PEC.118.解：(1)易知V四棱錐P-ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×2×2×2＝333(2)證明：如圖，取PC的中點(diǎn)F，連接EF和FG，1則易得AE∥FG，且AE＝2CD＝FG，所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以EF∥AG.由于EF平面PEC，