從數(shù)學(xué)建模活動(dòng)看創(chuàng)造性

從數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)看創(chuàng)造性朱道元教授全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽評(píng)審委員會(huì)主任南京東南大學(xué)2010年10月簡(jiǎn)介1：全國(guó)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)2010年，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成功舉行,有33個(gè)省(市、自治區(qū))的1196所高校的17311隊(duì)、近52000多名同學(xué)參賽。這種實(shí)踐性、多學(xué)科性、高強(qiáng)度、協(xié)作性的學(xué)術(shù)活動(dòng)受到廣大同學(xué)的青睞，有力地證明了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)具有旺盛的生命力和在培養(yǎng)受教育者創(chuàng)造性方面具有明顯的作用。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程是近二、三十年高等教育改革的成果簡(jiǎn)介2：建?；顒?dòng)的目標(biāo)建模活動(dòng)的主要目的是培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)造性和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽既是競(jìng)賽，也是對(duì)我國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)造性的大規(guī)模的抽樣調(diào)查活動(dòng)。剖析數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的成功經(jīng)驗(yàn)，探索創(chuàng)造性培養(yǎng)的一般規(guī)律。主要內(nèi)容1，對(duì)創(chuàng)造性的一些思考2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性3，總結(jié)1，對(duì)創(chuàng)造性的一些思考這里聲明以下完全是個(gè)人看法，不一定全面，更不一定正確，謹(jǐn)供參考，歡迎批評(píng)指正。1.1第一種創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性1.3兩種創(chuàng)造性之間的關(guān)聯(lián)1.4數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的任務(wù)：培養(yǎng)創(chuàng)造性1.1第一種創(chuàng)造性（1）分類標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)創(chuàng)造積累的時(shí)間長(zhǎng)度、所運(yùn)用知識(shí)的深度來(lái)對(duì)創(chuàng)造性進(jìn)行分類。第一種創(chuàng)造性是原創(chuàng)性成果、重大發(fā)明中所包含的創(chuàng)造性，這些創(chuàng)造不是一朝一夕就可以實(shí)現(xiàn)的，都需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的積累，甚至幾代人的努力，所謂“十年磨一劍”就說(shuō)明這個(gè)道理1.1第一種創(chuàng)造性（2）這種創(chuàng)造性需要經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的科學(xué)攀登，在攻克一系列理論或?qū)嶋H的難題后才能獲得，如載人宇宙飛船的研制和發(fā)射優(yōu)質(zhì)雜交水稻品種的培育和推廣概率論中的中心極限定理的證明哥德巴赫猜想的證明等1，對(duì)創(chuàng)造性的一些思考1.1第一種創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性1.3兩種創(chuàng)造性之間的關(guān)聯(lián)1.4數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的任務(wù)：培養(yǎng)創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性（1）第二種創(chuàng)造性可以粗略地定義為：“一聽(tīng)就能夠明白，不聽(tīng)就是想不到，采用后作用重大”。為了說(shuō)明這個(gè)定義，我們舉出這方面的一些例子。1.2第二種創(chuàng)造性：例一獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)的投入產(chǎn)出理論，雖然在經(jīng)濟(jì)界產(chǎn)生重大的影響，但從代數(shù)理論上看并不高深，只是將眾多原材料和產(chǎn)品之間的數(shù)量關(guān)系線性化，并用矩陣來(lái)表達(dá)，然后根據(jù)矩陣有關(guān)理論得出經(jīng)濟(jì)方面的許多重要結(jié)論。1.2第二種創(chuàng)造性：例二再如數(shù)學(xué)建模的經(jīng)典范例，著名的萬(wàn)有引力定律[1]20-25，推導(dǎo)過(guò)程是：1先用極坐標(biāo)方程來(lái)表示在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的物體，2再對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行簡(jiǎn)單求導(dǎo)，3最后將開(kāi)普勒天體三大運(yùn)動(dòng)定律的結(jié)論帶進(jìn)求導(dǎo)的結(jié)果，就得出了萬(wàn)有引力定律，過(guò)程并不復(fù)雜。

1.2第二種創(chuàng)造性：例三統(tǒng)計(jì)上著名的正態(tài)分布總體的極大似然估計(jì)公式的推導(dǎo)[2]148-150。其思想非常簡(jiǎn)單，是：1樣本的頻率應(yīng)該接近它的概率，將已經(jīng)出現(xiàn)樣本的概率密度合理地猜測(cè)為最大；2而在求極大值點(diǎn)時(shí)，分析概率密度函數(shù)的特點(diǎn)，分別求均值、方差的極大值點(diǎn)，并根據(jù)常識(shí)猜樣本平均值就是極大值點(diǎn)；就很容易推導(dǎo)出有關(guān)公式。1.2第二種創(chuàng)造性：例四人們剛開(kāi)始研究火箭時(shí)，火箭發(fā)射的推力不足，無(wú)法把比較重的荷載送上天是困擾火箭設(shè)計(jì)者的大問(wèn)題。但將火箭從兩節(jié)改成三節(jié)，由于第三節(jié)火箭在燃料用完時(shí)被丟棄，減輕了火箭的自重，火箭就可以產(chǎn)生更大的推力。雖然解決了大問(wèn)題，但想到這一點(diǎn)并不需要高深的專業(yè)知識(shí)。1.2第二種創(chuàng)造性：例五如動(dòng)態(tài)規(guī)劃中著名的“工件排序問(wèn)題”[1]17-19，要求n個(gè)不同的工件都先在A機(jī)床、后在B機(jī)床上加工，探討在加工總時(shí)間最短的條件下的工件排序規(guī)律。如果用一般的窮舉法，當(dāng)工件數(shù)比較多的時(shí)候，即使使用當(dāng)今世界上最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)“天河一號(hào)”也根本無(wú)法找到最優(yōu)解。因?yàn)榧词筺=20,計(jì)算所需要的時(shí)間也長(zhǎng)達(dá)地球年齡的上億倍。1.2第二種創(chuàng)造性：例五但是如果只考慮相鄰兩個(gè)工件,因?yàn)橹挥泻芎?jiǎn)單的兩種情況，發(fā)現(xiàn)排序規(guī)律并不難，解決實(shí)際問(wèn)題也只要幾分鐘。這個(gè)方法創(chuàng)造性的原理，就是對(duì)站在操場(chǎng)上的一排學(xué)生，只需要保證相鄰兩名學(xué)生的正確排序，就可以實(shí)現(xiàn)全體學(xué)生從高到低的排序。因?yàn)樗褑?wèn)題從比較n!個(gè)結(jié)果的極其復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成只有兩個(gè)結(jié)果的簡(jiǎn)單比較問(wèn)題，正是“一聽(tīng)就能夠明白，不聽(tīng)就是想不到，采用后作用重大”。1.2第二種創(chuàng)造性：例六再如1994年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題，要求出螺旋線和處于任意位置的指定平面的全部交點(diǎn)[1]35-36。而當(dāng)螺旋線軸幾乎平行于指定平面時(shí)，交點(diǎn)將有成萬(wàn)上億個(gè)，即使使用世界上最快的計(jì)算機(jī)也無(wú)法逐個(gè)求出全部交點(diǎn)，并用于實(shí)時(shí)控制。1.2第二種創(chuàng)造性：例六但在經(jīng)過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化以后，問(wèn)題已經(jīng)變?yōu)榍蟮慕?。而在高中課程中就有解基本三角方程內(nèi)容，雖然有無(wú)窮多解（k取一切整數(shù)），求解卻非常簡(jiǎn)單，原因就是無(wú)窮多解只需要求出其中的兩個(gè)代表。1.2第二種創(chuàng)造性：例六受這點(diǎn)啟發(fā)，當(dāng)螺旋線軸幾乎平行于指定平面時(shí)，根據(jù)精度要求，準(zhǔn)周期函數(shù)的成萬(wàn)上億個(gè)交點(diǎn)也只要選擇適當(dāng)個(gè)數(shù)的代表，找到這些代表，也就找到了全部交點(diǎn)。因此現(xiàn)有計(jì)算機(jī)完全勝任實(shí)時(shí)控制的要求。雖然解決了非常困難的問(wèn)題，但道理卻連高中生也完全理解。還可以舉出很多類似的例子。1，對(duì)創(chuàng)造性的一些思考1.1第一種創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性1.3兩種創(chuàng)造性之間的關(guān)聯(lián)1.4數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的任務(wù)：培養(yǎng)創(chuàng)造性

兩種創(chuàng)造性之間的差別第二種創(chuàng)造性與第一種創(chuàng)造性的差別在于，它不需要特別高深的理論和復(fù)雜的知識(shí)背景，一般當(dāng)事人已經(jīng)具備或只需要稍加補(bǔ)充即可，甚至道理淺顯近乎常識(shí)；它解決問(wèn)題的過(guò)程也比較短暫，無(wú)須漫長(zhǎng)的積累，甚至“立竿見(jiàn)影”；但采用這些創(chuàng)造性后，對(duì)困難的問(wèn)題就能“勢(shì)如破竹，迎刃而解”。兩種創(chuàng)造性之間的聯(lián)系雖然上述兩種創(chuàng)造性相互之間存在明顯的差別，但它們之間的聯(lián)系卻是相當(dāng)緊密的。實(shí)際上，第一種創(chuàng)造性的基礎(chǔ)就是第二種創(chuàng)造性，第二種創(chuàng)造性經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期積累可能升華為第一種創(chuàng)造性；反過(guò)來(lái)，第一種創(chuàng)造性中蘊(yùn)涵了大量的第二種創(chuàng)造性，第一種創(chuàng)造性的產(chǎn)生也會(huì)大大刺激第二種創(chuàng)造性的涌現(xiàn)。1，對(duì)創(chuàng)造性的一些思考1.1第一種創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性1.3兩種創(chuàng)造性之間的關(guān)聯(lián)1.4數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的任務(wù)：培養(yǎng)創(chuàng)造性1.4數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的任務(wù):培養(yǎng)創(chuàng)造性（1）第二種創(chuàng)造性因?yàn)椴恍枰?dāng)事人有特別高深的理論和復(fù)雜的知識(shí)背景（處理實(shí)際問(wèn)題的當(dāng)事人一般已經(jīng)具備一定的相關(guān)知識(shí)），限制比較少，適用的范圍比較大，所以是高等教育中創(chuàng)造性培養(yǎng)的重點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)力所能及的任務(wù)。1.4數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的任務(wù):培養(yǎng)創(chuàng)造性（2）又因?yàn)橐坏┡囵B(yǎng)出這類創(chuàng)造性，人們的能力就可能大幅提升，工作效率就會(huì)有驚人的提高，所以這也是高校教學(xué)改革必須追求的目標(biāo)。第二種創(chuàng)造性的大量存在，說(shuō)明雖然創(chuàng)造性可以極大地提高效率，突破許多困難，解決重大問(wèn)題，但創(chuàng)造性并不神秘，并非高不可攀。1.4數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的任務(wù):培養(yǎng)創(chuàng)造性（3）通過(guò)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)來(lái)培養(yǎng)同學(xué)們的第二種創(chuàng)造性，從而增強(qiáng)高校學(xué)生從事科學(xué)研究的能力與自信心，正是人才培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)大有可為。2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.1勇于猜測(cè)，敢于質(zhì)疑并提出有價(jià)值的問(wèn)題2.2發(fā)現(xiàn)與眾不同的視角，善于借鑒、移植，另辟蹊徑地解決問(wèn)題2.3正確選擇解決問(wèn)題的“突破口”

2.4善于把復(fù)雜的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤纸鉃橐幌盗泻?jiǎn)單的問(wèn)題

猜測(cè)是創(chuàng)造性的搖籃（1）世界上的許多事物是錯(cuò)綜復(fù)雜的，沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的人遇到這類問(wèn)題經(jīng)常會(huì)感到無(wú)從下手，甚至不知道應(yīng)該解決什么問(wèn)題，不知道應(yīng)該向什么方向努力，更不知道會(huì)有什么結(jié)果，只能是“盲人騎瞎馬”。所以提出有價(jià)值的問(wèn)題或新的理念是創(chuàng)造的前提，也是重要的創(chuàng)造性。猜測(cè)是創(chuàng)造性的搖籃（2）例如費(fèi)爾馬大定理，概率論的中心極限定理，宇宙大爆炸的學(xué)說(shuō)等都因?yàn)椴聹y(cè)并提出有價(jià)值問(wèn)題而引導(dǎo)有關(guān)學(xué)科的迅速發(fā)展。創(chuàng)造性之所以被稱為創(chuàng)造，就是因?yàn)闆](méi)有人這么想過(guò)，沒(méi)有人這么做過(guò)。因此它首先一定是大膽的猜測(cè)，雖然要有一定的道理，但也不會(huì)有絕對(duì)的把握。猜是經(jīng)驗(yàn)的升華，猜是跳躍式的思考，猜是前進(jìn)的階梯，猜來(lái)自敏銳的洞察力，猜的基礎(chǔ)是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的研究。經(jīng)常猜測(cè)有助于活躍思維。猜測(cè)與質(zhì)疑緊密相連要解決新問(wèn)題特別是困難的問(wèn)題，一定伴隨著思想的突破與飛躍，經(jīng)常會(huì)與主流觀念發(fā)生激烈的沖突。如果不敢質(zhì)疑權(quán)威，墨守成規(guī)，就不會(huì)有大膽的猜測(cè)，也就不會(huì)有質(zhì)變。愛(ài)因斯坦如果不敢質(zhì)疑幾百年來(lái)一直占據(jù)統(tǒng)治地位的牛頓運(yùn)動(dòng)定律就不會(huì)有相對(duì)論。因此猜測(cè)經(jīng)常和質(zhì)疑緊密相連。培養(yǎng)學(xué)生的猜測(cè)能力（1）高等教育階段創(chuàng)造性培養(yǎng)的重要內(nèi)容之一就是讓他們敢于質(zhì)疑、勇于猜測(cè)，善于提出新問(wèn)題、新理念、新方法。如對(duì)2008年A題中“尋找唐家山堰塞湖的潰壩規(guī)律”問(wèn)題[3]，[4]，研究生普遍不知道潰壩的規(guī)律所應(yīng)該包含的內(nèi)容，更無(wú)法開(kāi)展研究，明顯缺乏提出有價(jià)值問(wèn)題的能力。培養(yǎng)學(xué)生的猜測(cè)能力（2）其實(shí)，唐家山堰塞湖會(huì)不會(huì)潰壩？會(huì)發(fā)生哪種形式的潰壩？什么條件下、什么時(shí)候會(huì)發(fā)生潰壩？潰壩的先兆是什么？潰壩的過(guò)程又會(huì)怎么樣發(fā)展？發(fā)生潰壩后的最大危險(xiǎn)是什么？潰壩后的最大危險(xiǎn)將發(fā)生在什么時(shí)間、什么地點(diǎn)？這些就是迫切需要研究的潰壩規(guī)律?？茖W(xué)發(fā)展的動(dòng)力無(wú)非來(lái)自內(nèi)部和外部的需求，據(jù)此就可以提出有價(jià)值的問(wèn)題。提出這些問(wèn)題其實(shí)并不困難，但學(xué)生以前缺少這方面的鍛煉，今后應(yīng)該有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的培養(yǎng)，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生挑戰(zhàn)權(quán)威，質(zhì)疑經(jīng)典。2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.1

勇于猜測(cè)，敢于質(zhì)疑并提出有價(jià)值的問(wèn)題2.2

發(fā)現(xiàn)與眾不同的視角，善于借鑒、移植，另辟蹊徑地解決問(wèn)題2.3正確選擇解決問(wèn)題的“突破口”

2.4善于把復(fù)雜的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤纸鉃橐幌盗泻?jiǎn)單的問(wèn)題

創(chuàng)造性：鼓勵(lì)與眾不同的視角為什么會(huì)有不同的看法、不同的結(jié)論，一般是由于看問(wèn)題的角度不同。有與眾不同的視角，就很有可能產(chǎn)生創(chuàng)見(jiàn)。為什么會(huì)有不同的做法、不同的途徑，多數(shù)源于經(jīng)歷的不同、接受教育的不同。善于借鑒、移植其他學(xué)科的方法，就可能另辟蹊徑地解決問(wèn)題，這是相對(duì)而言比較容易實(shí)現(xiàn)的創(chuàng)造。實(shí)例一：青藏鐵路中的“以橋代路”青藏鐵路要穿過(guò)高原活躍凍土帶，地面一年四季溫差變化非常大，經(jīng)過(guò)多次融化、冰凍。再堅(jiān)固的鐵路路基也無(wú)法承受，成為世界性難題。如果局限于融化、冰凍規(guī)律無(wú)助于問(wèn)題的解決。但另辟蹊徑，“以橋代路”就是讓鐵路路基穿過(guò)凍土層直接建在巖石上，有效地避免了凍土層對(duì)鐵路路基的破壞，創(chuàng)造性地解決高原活躍凍土帶施工的世界性難題。實(shí)例二：飛行管理問(wèn)題（1）再如1997年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題“飛行管理問(wèn)題”[1]52-55中，航空管理局要對(duì)正在其管轄范圍內(nèi)、處于同一高度的6架飛機(jī)進(jìn)行管理，保證它們的飛行安全，同時(shí)使所有飛機(jī)的調(diào)整的幅度達(dá)到最小。初看這是一個(gè)有6個(gè)控制對(duì)象的復(fù)雜的實(shí)時(shí)最優(yōu)控制問(wèn)題，要解決問(wèn)題似乎非常困難。實(shí)例二：飛行管理問(wèn)題（2）但是如果把這個(gè)問(wèn)題看成在操場(chǎng)上有6個(gè)人在騎自行車，怎么讓他們避免發(fā)生碰撞的問(wèn)題。再基于后者，從常識(shí)就知道早調(diào)整一定優(yōu)于（調(diào)整的幅度小）晚調(diào)整，一次調(diào)整到位優(yōu)于多次調(diào)整（這可以用三角形一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角來(lái)證明）。由此類推，飛行管理問(wèn)題估計(jì)也應(yīng)該在6架飛機(jī)剛接受該航空管理局管轄時(shí)，就做一次到位的調(diào)整，這樣調(diào)整的幅度最小。所以發(fā)出控制操作指令的時(shí)間就完全確定了，問(wèn)題也就轉(zhuǎn)化為一般的優(yōu)化問(wèn)題，大大降低了難度。實(shí)例三：足球隊(duì)排名次1994年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽“足球隊(duì)排名次”[1]124-139問(wèn)題似乎和高深數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)有任何聯(lián)系。但如果認(rèn)為比賽結(jié)果反映了兩支球隊(duì)的實(shí)力之比，則競(jìng)賽成績(jī)矩陣的正特征向量就與各支球隊(duì)的實(shí)力成比例。根據(jù)代數(shù)上的Perron—Frobenius定理，用冪法求正互反矩陣的特征向量，就能夠?qū)崿F(xiàn)足球隊(duì)的正確排序，它完全不同于通常的計(jì)算積分的方法，而且可以推廣到少數(shù)球隊(duì)之間沒(méi)有比賽的情況。實(shí)例四：高階對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化高階對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化是線性代數(shù)中的困難問(wèn)題[2]64-68，到目前為止也沒(méi)有找到方法能夠通過(guò)一次或有限次的運(yùn)算一定實(shí)現(xiàn)相似對(duì)角化。但Jacobi發(fā)現(xiàn)在平面解析幾何中，二次曲線通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)方程標(biāo)準(zhǔn)化，就是對(duì)二階對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化。進(jìn)而提出了高階對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化的Jacobi旋轉(zhuǎn)法，用計(jì)算機(jī)就可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化。實(shí)例五：中心極限定理眾所周知，概率論的中心極限定理雖然早就提出來(lái)了，但花了200年的時(shí)間才完成證明，它不是用隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，而是用隨機(jī)變量的特征函數(shù)來(lái)證明的[5]294-306。因?yàn)楠?dú)立積的概率密度函數(shù)要經(jīng)過(guò)卷積才可以得到，但無(wú)窮多次卷積根本無(wú)法計(jì)算，所以長(zhǎng)期以來(lái)定理始終得不到證明。直到定義了特征函數(shù)，它雖然復(fù)雜，而且缺少實(shí)際背景，但隨機(jī)變量獨(dú)立積的特征函數(shù)是特征函數(shù)的乘積，非常方便，從而定理得到嚴(yán)格的證明2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.1

勇于猜測(cè)，敢于質(zhì)疑并提出有價(jià)值的問(wèn)題2.2發(fā)現(xiàn)與眾不同的視角，善于借鑒、移植，另辟蹊徑地解決問(wèn)題2.3

正確選擇解決問(wèn)題的“突破口”

2.4善于把復(fù)雜的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤纸鉃橐幌盗泻?jiǎn)單的問(wèn)題

創(chuàng)造性：恰當(dāng)選擇“突破口”（1）因?yàn)榧词乖倮щy問(wèn)題也肯定有相對(duì)薄弱的部分，選擇從這些的地方攻關(guān)，可以快速推進(jìn)解決問(wèn)題的進(jìn)程?？茖W(xué)研究如同打仗一樣，能否恰當(dāng)?shù)剡x擇“突破口”關(guān)系著研究的進(jìn)展，甚至決定著研究的成敗。因?yàn)橐鉀Q的問(wèn)題千姿百態(tài)、千變?nèi)f化，要善于分析實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，才能從中尋找出薄弱環(huán)節(jié)予以突破，所以選擇“突破口”具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性。恰當(dāng)選擇“突破口”也有規(guī)律（2）另一方面，也不是每個(gè)問(wèn)題“突破口”的選擇都毫無(wú)規(guī)律可尋，只是在很大程度上依賴經(jīng)驗(yàn)的積累，依賴當(dāng)事人對(duì)類似、有部分相同或相似問(wèn)題的處理經(jīng)歷，依賴當(dāng)事人對(duì)成功解決問(wèn)題全過(guò)程的了解，總之，“熟能生巧”。由于學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題目都是些沒(méi)有被解決過(guò)的比較困難的實(shí)際問(wèn)題，所以在選擇“突破口”方面，為學(xué)生提供了極好的鍛煉機(jī)會(huì)，并且可以提供多次練習(xí)選擇突破口的機(jī)會(huì)。實(shí)例一：“郵政運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度”（1）對(duì)2007年“郵政運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度”中的某縣的郵車調(diào)度問(wèn)題[6]，從數(shù)學(xué)上看是有時(shí)間窗的車輛路徑問(wèn)題，屬于NP—hard問(wèn)題。具體問(wèn)題中又增加了約束條件，給出了限制，似乎很難下手。但實(shí)際上問(wèn)題不是更困難了，約束條件給得越多，則可行解就越少，以前是“大海撈針”，現(xiàn)在是“游泳池里找針”，反而降低了優(yōu)化的難度。實(shí)例一：“郵政運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度”（2）確實(shí)，只要考慮郵車在時(shí)間和容量方面所受到的限制，很容易決定最少需要三輛郵車。而根據(jù)里程和容量的限制，每輛郵車只能經(jīng)過(guò)4-6個(gè)支局，求最短郵路可以先把十六個(gè)支局分成三個(gè)無(wú)交的集合，每個(gè)集合4-6個(gè)點(diǎn)找最短路就非常容易了。所以決定最少需要幾輛郵車就是解決問(wèn)題的“突破口”。實(shí)例二：1994年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題（1）1994年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題，要求出螺旋線和處于任意位置的指定平面的全部交點(diǎn)。首先就要決定螺旋線和指定平面的交點(diǎn)數(shù)，即四個(gè)未知數(shù)、四個(gè)非線性方程的方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題[1]28。但目前在數(shù)學(xué)上還無(wú)法精確決定一般方程組的解的個(gè)數(shù)，所以問(wèn)題是困難的。但這個(gè)問(wèn)題又是必須解決的，否則談不上求出全部交點(diǎn)。如果取平行于螺旋線軸、且垂直于指定平面的一個(gè)平面作為投影面，將螺旋線和指定平面向投影面做投影，就將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。由于空間交點(diǎn)和投影面內(nèi)的交點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，求螺旋線和指定平面的全部交點(diǎn)的問(wèn)題被等價(jià)簡(jiǎn)化為求投影面內(nèi)一條直線與曲線的全部交點(diǎn)問(wèn)題。再將螺旋線的參數(shù)方程代入指定平面的方程，最終簡(jiǎn)化為求一個(gè)未知數(shù)、一個(gè)方程即的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題。實(shí)例二：1994年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題（2）實(shí)例三：求多元正態(tài)分布的均值和方差的極大似然估計(jì)求多元正態(tài)分布的均值和方差的極大似然估計(jì)的公式，本來(lái)是十分困難的高維優(yōu)化問(wèn)題。但仔細(xì)分析多元正態(tài)分布的概率密度函數(shù)[2]148-150，可以發(fā)現(xiàn)它是乘積形式，而且除一個(gè)因子是均值的函數(shù)外，其他因子都與均值無(wú)關(guān)，因此選擇先求均值的極大值點(diǎn)作為“突破口”，然后再求方差的極大值點(diǎn)，公式就容易推導(dǎo)了。所以正確選擇解決問(wèn)題的“突破口”是重要的創(chuàng)造。再如解方程是困難的，但猜出方程的解，進(jìn)行驗(yàn)證卻是很容易的事實(shí)例四：110警車巡邏路線2009年D題“110警車配置及巡邏方案”[9]

，要求警車在接警后三分鐘內(nèi)，趕到現(xiàn)場(chǎng)的比例不低于90％。還有重點(diǎn)區(qū)域發(fā)生警情，警車必須在兩分鐘內(nèi)到達(dá)。要制定全市的巡邏方案顯然是NP問(wèn)題，但肯定先要決定該市需要多少輛警車，才可能知道需要制定多少條路線，也才可能開(kāi)始仿真。所以決定需要多少警車是“突破口”。2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.1

勇于猜測(cè)，敢于質(zhì)疑并提出有價(jià)值的問(wèn)題2.2發(fā)現(xiàn)與眾不同的視角，善于借鑒、移植，另辟蹊徑地解決問(wèn)題2.3正確選擇解決問(wèn)題的“突破口”

2.4

善于把復(fù)雜的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤纸鉃橐幌盗泻?jiǎn)單的問(wèn)題的串聯(lián)

創(chuàng)造性:分解復(fù)雜的問(wèn)題（1）解決復(fù)雜問(wèn)題絕不能一蹴而就，飯必須一口一口地吃，戰(zhàn)爭(zhēng)必須一仗一仗地打。解決復(fù)雜問(wèn)題就好像攀登一座高山，要能成功登頂，一定要選擇正確的路線，既要能不斷地前進(jìn)，又要在前進(jìn)中逐段上升。同樣解決一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題一定要制定一條正確的技術(shù)路線，要把技術(shù)上的整體跨度分解成若干個(gè)可達(dá)跨度來(lái)實(shí)現(xiàn)，把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤纸鉃橐幌盗泻?jiǎn)單的問(wèn)題的串聯(lián)；而且每一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題都能夠比較容易得到解決，這樣當(dāng)所有這些簡(jiǎn)單的問(wèn)題都解決了，則復(fù)雜問(wèn)題也就最終獲得了解決。創(chuàng)造性:分解復(fù)雜的問(wèn)題（2）要制定正確的路線迫切需要?jiǎng)?chuàng)造性和敏銳的洞察力。我們應(yīng)該不斷用我們熟悉的事物去描述我們不熟悉的事物，應(yīng)該不斷用確定的內(nèi)容去替換那些尚未確定的內(nèi)容，應(yīng)該不斷以已經(jīng)獲得的結(jié)論為基礎(chǔ)去擴(kuò)大戰(zhàn)果，要根據(jù)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)去預(yù)測(cè)預(yù)期的成果和可能的結(jié)論，而要能夠?qū)崿F(xiàn)這些只能依賴實(shí)踐的熏陶。由于學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題目有相當(dāng)?shù)碾y度，要解決它們一定要制定正確的技術(shù)路線，因此對(duì)培養(yǎng)同學(xué)制定正確的技術(shù)路線的創(chuàng)造性很有幫助。這些正是大學(xué)生能力結(jié)構(gòu)中的薄弱環(huán)節(jié)。實(shí)例一：2008年A題（1）2008年A題“唐家山堰塞湖潰壩時(shí)洪水可能淹沒(méi)區(qū)域”是水利、尤其是堰塞湖問(wèn)題研究鄰域的前沿課題[3]，[4]，困難是顯而易見(jiàn)的，必須制定正確的技術(shù)路線才會(huì)獲得成功。實(shí)例一：2008年A題（2）如果意識(shí)到只要了解堰塞湖下游地區(qū)十幾個(gè)居民點(diǎn)（堰塞湖附近是無(wú)人居住區(qū)，對(duì)這些地方的水位無(wú)需關(guān)心）的最大水深、最大流量，就已經(jīng)滿足實(shí)際需要，則可以制定解決問(wèn)題的技術(shù)路線如下：潰壩后洪水的最大流量→水流路線→水流速度→各居民點(diǎn)處洪水的最大流量及到達(dá)的時(shí)間→各居民點(diǎn)處地形圖→各居民點(diǎn)處最大水深→各居民點(diǎn)處淹沒(méi)區(qū)域→疏散方案。逐步解決好每個(gè)環(huán)節(jié)，則唐家山堰塞湖潰壩時(shí)洪水可能淹沒(méi)區(qū)域也就獲得了。實(shí)例二：生產(chǎn)過(guò)程管理（1）產(chǎn)品結(jié)構(gòu)確定，各種生產(chǎn)流水線所需要的人力、設(shè)備也完全確定的情況下，準(zhǔn)備開(kāi)辦一個(gè)新廠，求當(dāng)人員、設(shè)備可以調(diào)度時(shí)的最小生產(chǎn)規(guī)模的“生產(chǎn)過(guò)程管理”問(wèn)題[1]40-45，在無(wú)浪費(fèi)的約束下，數(shù)學(xué)上是求Ax(t)=b的最小正整數(shù)向量解b,但是其中調(diào)度方案即t時(shí)刻正在生產(chǎn)的各種流水線的條數(shù)x(t)是未知的函數(shù)向量，因此不但求最小生產(chǎn)規(guī)模的條件不足，而且在線性代數(shù)中也從未討論過(guò)函數(shù)向量解問(wèn)題，所以難度是相當(dāng)大的。實(shí)例二：生產(chǎn)過(guò)程管理（2）如果先假定x(t)是未知的常數(shù)向量，則可以通過(guò)其他條件決定x,從而找到此時(shí)的最小生產(chǎn)規(guī)模；進(jìn)而探討最小生產(chǎn)規(guī)模、調(diào)度方案的性質(zhì)；再根據(jù)當(dāng)人員、設(shè)備可以調(diào)度時(shí)的最小生產(chǎn)規(guī)模與當(dāng)人員、設(shè)備不可以調(diào)度時(shí)的最小生產(chǎn)規(guī)模之間的關(guān)系，就可以最終解決這個(gè)困難的問(wèn)題，甚至已有工廠的轉(zhuǎn)產(chǎn)問(wèn)題也可以在此基礎(chǔ)上得到解決。實(shí)例三：110警車巡邏路線2009年D題“110警車配置及巡邏方案”[9]，前已介紹是很困難的問(wèn)題，但制定技術(shù)路線并不困難，首先確定警車靜止情況下至少需要多少警車，這是警車巡邏情況下至少需要多少警車數(shù)的下界，然后確定每輛警車的巡邏起點(diǎn)（或經(jīng)過(guò)的任一點(diǎn)），最后制定規(guī)則在交叉路口如何選擇下一條道路，甚至在途中何時(shí)需要調(diào)頭。這就是完整的技術(shù)路線。2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.5各學(xué)科知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用

2.6學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題2.7抓準(zhǔn)問(wèn)題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8問(wèn)題有創(chuàng)意的表達(dá)

2.9善于捕捉信息、精于對(duì)結(jié)果的分析、挖掘、推廣

創(chuàng)造性：融會(huì)貫通各學(xué)科知識(shí)（1）實(shí)際問(wèn)題和已經(jīng)被抽象了的理論問(wèn)題之間最大的區(qū)別就在于它不僅屬于某個(gè)學(xué)科，它有許多具體的、各種各樣的屬性，它們的變化受到各種規(guī)律的支配。即使用某個(gè)學(xué)科最先進(jìn)的成果來(lái)分析復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，也僅僅是從一些側(cè)面、某些角度來(lái)進(jìn)行考察，仍然可能無(wú)法對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象做出全面、合理、本質(zhì)的解釋，因此要解決這類問(wèn)題，學(xué)科交叉、知識(shí)融合就是必不可少的。創(chuàng)造性：融會(huì)貫通各學(xué)科知識(shí)（2）尤其在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)達(dá)的今天，各門學(xué)科之間相互滲透、相互支持已經(jīng)相當(dāng)普及；由于學(xué)科交叉，一門學(xué)科某個(gè)方面的突破帶動(dòng)其他學(xué)科進(jìn)展的事例層出不窮；許多重大科技項(xiàng)目都由多學(xué)科聯(lián)合攻關(guān)；許多重大科技成果的獲得是多學(xué)科共同協(xié)作的結(jié)晶，正說(shuō)明了這樣的事實(shí)。顯然，學(xué)科交叉、知識(shí)融合是創(chuàng)造性的源泉之一?，F(xiàn)實(shí)情況然而受教育者，例如學(xué)生們盡管學(xué)習(xí)過(guò)多門學(xué)科的大量的科學(xué)知識(shí)，但在他們的腦海里，各門學(xué)科的知識(shí)之間的聯(lián)系，與實(shí)際問(wèn)題中各學(xué)科的規(guī)律是緊密耦合成一體是迥然不同的，各門學(xué)科的知識(shí)之間基本上是孤立的，沒(méi)有做到融會(huì)貫通，因此大大制約了學(xué)生創(chuàng)造性的發(fā)揮。實(shí)例一：郵政運(yùn)輸問(wèn)題如2007年“郵政運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度”[6]題中，由于要求降低空車率，結(jié)果卻出現(xiàn)明明經(jīng)過(guò)支局而不丟下郵包，返回時(shí)才丟下郵包的不合理現(xiàn)象，竟沒(méi)有一個(gè)隊(duì)想到，借用物理上“效率”的概念即可輕易解決郵車的效益問(wèn)題，也沒(méi)有競(jìng)賽隊(duì)非常有創(chuàng)意地想到，軍事上“切忌孤軍深入”思想可以用于解決改變郵政支局隸屬關(guān)系問(wèn)題。實(shí)例二：潰壩問(wèn)題2008年“唐家山堰塞湖的潰壩問(wèn)題”，竟沒(méi)有一個(gè)隊(duì)設(shè)法從能量守衡的角度去進(jìn)行研究。再如“飛行管理問(wèn)題”中要保證飛機(jī)的安全，僅根據(jù)飛行的軌跡是無(wú)法判定飛機(jī)是否會(huì)相撞，因?yàn)閮杉茱w機(jī)同時(shí)在運(yùn)動(dòng)。但是如果借用物理上相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，就可以方便地轉(zhuǎn)化為判定運(yùn)動(dòng)物體與另一個(gè)靜止物體是否會(huì)相撞的簡(jiǎn)單問(wèn)題。然而絕大多數(shù)同學(xué)都沒(méi)有想到這個(gè)簡(jiǎn)單的方法。實(shí)例三：線性方程組非負(fù)解的

充要條件在很多實(shí)際問(wèn)題中都要求線性方程組的非負(fù)解。那么存在非負(fù)解的充要條件是什么？一般線性代數(shù)教材是不介紹的，但泛函分析中有Farkas引理[7]。如果將定理中BP=d看成線性方程組，P看成未知數(shù)，它實(shí)際上就是線性方程組存在非負(fù)解的充要條件。因此力求各學(xué)科知識(shí)融會(huì)貫通往往就能夠有新創(chuàng)造。牢記重要規(guī)律借鑒其他學(xué)科思想由于在自然界一切小的規(guī)律都是受大規(guī)律支配的，而且不同的事物之間也不是完全截然不同的，經(jīng)常發(fā)生的情況反而是不同的事物之間存在某種共性，不同的實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常有相同的數(shù)學(xué)模型。因此牢記重要的普遍規(guī)律，借鑒其他學(xué)科的思想，開(kāi)展本學(xué)科有關(guān)問(wèn)題的研究經(jīng)常會(huì)有意想不到的收獲。2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.5

各學(xué)科知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用

2.6

學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題2.7抓準(zhǔn)問(wèn)題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8問(wèn)題有創(chuàng)意的表達(dá)

2.9善于捕捉信息、精于對(duì)結(jié)果的分析、挖掘、推廣

創(chuàng)造性：數(shù)學(xué)知識(shí)的巧妙運(yùn)用書本上的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題之間總存在一定的差距。加之書本上一般情況下，只介紹基本原理、基本方法，很少介紹如何應(yīng)用于具體的實(shí)際問(wèn)題。即使介紹了個(gè)別的具體應(yīng)用事例，從使用角度看也很不全面。因此學(xué)生們常常在接觸不熟悉的問(wèn)題時(shí)，想不到或者想不出辦法把已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中去。實(shí)例一：堰塞湖的潰壩問(wèn)題2008年“唐家山堰塞湖的潰壩規(guī)律及唐家山堰塞湖洪水可能淹沒(méi)區(qū)域”中第一個(gè)問(wèn)題，尋找唐家山堰塞湖的庫(kù)容和水位高程曲線[8]，實(shí)際上是求一系列不規(guī)則物體的體積。學(xué)生們?cè)缫言诟叩葦?shù)學(xué)課程中，學(xué)習(xí)過(guò)對(duì)截面積進(jìn)行積分求體積的方法。但大多數(shù)競(jìng)賽隊(duì)由于理論脫離實(shí)際，加之可能不會(huì)使用三維地圖，做成了曲線擬合問(wèn)題。實(shí)例二：“110警車配置及巡邏”（1）2009年D題“110警車配置及巡邏方案”[9]

，要求警車在接警后三分鐘內(nèi)，趕到現(xiàn)場(chǎng)的比例不低于90％。因?yàn)樵撌杏卸噍v警車，都在巡邏中不斷地運(yùn)動(dòng)，可以處于任意位置。加之城市街道比較復(fù)雜，三分鐘可達(dá)道路長(zhǎng)度就比較難求。而且不同警車的可達(dá)道路之間有重迭，甚至不同時(shí)刻可達(dá)道路的重迭情況也不相同，所以概率似乎很難計(jì)算。實(shí)例二：“110警車配置及巡邏”（2）然而利用所有概率論的本科教材上都會(huì)介紹的蒙特卡洛方法[5]38-40，很容易計(jì)算這個(gè)概率?？上Й@獎(jiǎng)的競(jìng)賽隊(duì)都沒(méi)有想到這個(gè)方法，無(wú)一例外地采用離散化方法，又沒(méi)有辦法去解決精度問(wèn)題。所以通過(guò)學(xué)生的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)可以加深對(duì)數(shù)學(xué)課程的理解，增強(qiáng)用所學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題的靈活性。對(duì)常用數(shù)學(xué)方法用得不活在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，不少情況下學(xué)生們已經(jīng)找到了最優(yōu)解。很可惜，絕大多數(shù)的競(jìng)賽隊(duì)沒(méi)有或沒(méi)有能力證明他們找到了最優(yōu)解。因而顯著地降低了他們論文的理論價(jià)值，如果把結(jié)果應(yīng)用于所解決的實(shí)際問(wèn)題，也會(huì)造成不良的影響。其實(shí)在數(shù)學(xué)課程中經(jīng)常給出是最優(yōu)解的證明，而且證明某個(gè)結(jié)果是極大值或極小值也有一般的方法。但學(xué)生可能對(duì)此關(guān)注不夠，成了薄弱環(huán)節(jié)。例如“飛行管理問(wèn)題”找到了幾個(gè)最優(yōu)解都沒(méi)有能給出證明。2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.5

各學(xué)科知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用

2.6學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題2.7抓準(zhǔn)問(wèn)題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8問(wèn)題有創(chuàng)意的表達(dá)

2.9善于捕捉信息、精于對(duì)結(jié)果的分析、挖掘、推廣

抓準(zhǔn)主要矛盾需要?jiǎng)?chuàng)造性錯(cuò)綜復(fù)雜的事物內(nèi)部有許多矛盾，但在一定時(shí)期一定有一種矛盾是主要的，抓住這個(gè)主要矛盾,問(wèn)題就迎刃而解了。要能夠最終徹底解決困難的問(wèn)題，必須依靠對(duì)問(wèn)題有本質(zhì)的了解。但問(wèn)題的本質(zhì)又往往被許多表面現(xiàn)象所掩蓋，甚至為一些假象所包裹，要抓住問(wèn)題的本質(zhì)必須撕開(kāi)假象、透過(guò)表面現(xiàn)象去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)。不同水平、不同層次的當(dāng)事人也往往這種情況下暴露出顯著的差別。抓準(zhǔn)主要矛盾、發(fā)現(xiàn)其他人沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的規(guī)律就是創(chuàng)造性的體現(xiàn)。抓準(zhǔn)主要矛盾需要?jiǎng)?chuàng)造性其實(shí)在抓準(zhǔn)問(wèn)題的主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律方面，還是有行之有效的辦法的，就是應(yīng)該通過(guò)壓縮問(wèn)題的規(guī)模、降低問(wèn)題的難度、減少變化的條件、削減影響結(jié)果的因素的個(gè)數(shù)、構(gòu)造出相對(duì)簡(jiǎn)單的情況，這樣就容易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律。通過(guò)簡(jiǎn)化、固定條件，增加復(fù)雜問(wèn)題和簡(jiǎn)單問(wèn)題之間的可比性。借用對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題已經(jīng)知道的主要矛盾、客觀規(guī)律，去猜測(cè)復(fù)雜問(wèn)題的主要矛盾、客觀規(guī)律。

實(shí)例一：工件排序問(wèn)題（1）“工件排序問(wèn)題”[1]16-17，可以通過(guò)只考慮任意相鄰兩個(gè)工件的排序規(guī)律，去尋找任意多個(gè)工件的排序規(guī)律。為此讓排在這相鄰兩個(gè)工件前面、后面加工工件的順序保持完全相同，則A機(jī)床加工情況相同，并且只選擇在B機(jī)床加工完這兩個(gè)工件的時(shí)刻考慮問(wèn)題，規(guī)律就容易發(fā)現(xiàn)了。實(shí)例一：工件排序問(wèn)題（2）這時(shí)A機(jī)床上加工情況完全不受這兩個(gè)工件加工順序的影響，情況完全相同；B機(jī)床已經(jīng)加工完的工件集合和還沒(méi)有加工的工件集合，也完全不受這兩個(gè)工件加工順序的影響，完全相同；唯一不同的，就是B機(jī)床加工當(dāng)前還沒(méi)有加工的工件集合的開(kāi)始時(shí)刻，顯然早開(kāi)工一定不會(huì)晚結(jié)束，早開(kāi)工的方案就是好的方案。這樣問(wèn)題的關(guān)鍵找到了，最后的規(guī)律也就容易發(fā)現(xiàn)了。求[2]18-19這是一個(gè)困難的問(wèn)題，首先要知道結(jié)果可能是什么，才能向某個(gè)方向去努力。如果簡(jiǎn)化為一次極值，去除約束條件，采用簡(jiǎn)單分母，即,規(guī)律就容易發(fā)現(xiàn)了。由于求極值的函數(shù)是原像x與像Ax的內(nèi)積，x的長(zhǎng)度是1，而內(nèi)積是兩個(gè)向量長(zhǎng)度的乘積再乘上兩個(gè)向量之間夾角的余弦，而余弦的最大值是1，此時(shí)Ax與x方向相同，因此x是A的特征向量，Ax的最大長(zhǎng)度即原來(lái)分式的極大值，就是A的最大特征根。實(shí)例二：求極值問(wèn)題（1）實(shí)例二：求極值問(wèn)題（2）這樣問(wèn)題的規(guī)律就發(fā)現(xiàn)了，極值是矩陣特征根，當(dāng)有復(fù)雜分母時(shí)極值是兩個(gè)矩陣的相對(duì)特征根，有約束條件時(shí)是順序特征根，二次極值也是順序相對(duì)特征根。現(xiàn)在數(shù)學(xué)課上只介紹結(jié)論或只講解證明，純粹是知識(shí)的傳授。使得學(xué)生們認(rèn)為這些知識(shí)只是數(shù)學(xué)家的專利，完全抹殺了知識(shí)形成過(guò)程中的創(chuàng)造性，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性極其不利。很多學(xué)生不會(huì)猜測(cè)就是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)不了問(wèn)題的規(guī)律，找不到問(wèn)題的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.5各學(xué)科知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用

2.6學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題2.7抓準(zhǔn)問(wèn)題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8

問(wèn)題有創(chuàng)意的表達(dá)

2.9善于捕捉信息、精于對(duì)結(jié)果的分析、挖掘、推廣

有創(chuàng)意的表達(dá)也會(huì)產(chǎn)生創(chuàng)造性錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題有許多方面，有眾多的表現(xiàn)，問(wèn)題內(nèi)部有復(fù)雜的關(guān)系，還經(jīng)常發(fā)生變化。特別，如果是一個(gè)新問(wèn)題，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、全面、嚴(yán)格、通俗地把問(wèn)題表達(dá)出來(lái)，本身就是創(chuàng)造；做出比以往更簡(jiǎn)單、更直觀、或者更本質(zhì)的表達(dá)都必須創(chuàng)造。因?yàn)闇?zhǔn)確、全面、嚴(yán)格表達(dá)問(wèn)題是解決問(wèn)題的前提，簡(jiǎn)潔、直觀、本質(zhì)的表達(dá)是創(chuàng)造性思想的“溫床”，尤其形象生動(dòng)的圖形更容易讓人產(chǎn)生聯(lián)想，跳躍式思考。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)強(qiáng)化了交流環(huán)節(jié)，刺激了學(xué)生向其他人清晰表達(dá)自己的想法，有利于產(chǎn)生創(chuàng)造性。實(shí)例一：槍彈頭痕跡自動(dòng)比對(duì)方法的研究2009年“槍彈頭痕跡自動(dòng)比對(duì)方法的研究”[10]一題，識(shí)別發(fā)射子彈的槍支，就是要尋找不同槍支的槍管在子彈表面留下痕跡的特性。通過(guò)高科技手段可以非常精確地測(cè)量子彈表面的痕跡，其數(shù)據(jù)量達(dá)1G以上，如果陷于數(shù)據(jù)的海洋之中就很容易迷失方向，不得要領(lǐng)。反之，將大量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)變成圖形就很直觀，易于發(fā)現(xiàn)槍管內(nèi)壁的“毛刺”在子彈表面上留下的擦痕就是特征。實(shí)例二：工件排序問(wèn)題（1）“工件排序問(wèn)題”[1]14-15中要證明在A、B兩臺(tái)機(jī)床上加工順序相同的方案集中，必有最優(yōu)排序存在。若從有限個(gè)數(shù)中必有極小值出發(fā)，還無(wú)法保證這個(gè)極小值方案在A、B兩臺(tái)機(jī)床上加工順序一定是相同的。需要證明從A、B兩臺(tái)機(jī)床加工順序不同的最優(yōu)排序方案出發(fā)，必定可以找到新的最優(yōu)排序方案，它更接近A、B兩臺(tái)機(jī)床加工順序相同的方案集，直至找到在兩臺(tái)機(jī)床加工順序相同的最優(yōu)排序方案。

實(shí)例二：工件排序問(wèn)題（2）為此要嚴(yán)格定義各種加工方案到兩臺(tái)機(jī)床上加工順序相同的方案集的距離，并保證其在上述過(guò)程中嚴(yán)格單調(diào)下降。如果創(chuàng)造性地定義：某方案到兩臺(tái)機(jī)床加工順序相同的方案集的距離，為A機(jī)床加工順序與B機(jī)床加工順序之間的逆序數(shù)。當(dāng)距離即逆序數(shù)為零時(shí)，則兩臺(tái)機(jī)床加工順序相同，結(jié)論就最終得到證明?！帮w行管理問(wèn)題”在轉(zhuǎn)化為線性優(yōu)化問(wèn)題之后[1]57-65，由于約束條件是“或”，即或，而不是通常線性規(guī)劃中的“且”（即不等式必須同時(shí)滿足）。因此每個(gè)不等式都要拆成兩個(gè)不等式，在化線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型并用通常的方法求解時(shí)，15個(gè)不等式要拆成215=32748組，問(wèn)題變成求32748個(gè)線性規(guī)劃的解集合中最小值，工作量太大，無(wú)法用于實(shí)時(shí)控制。實(shí)例三：飛行管理問(wèn)題（1）實(shí)例三：飛行管理問(wèn)題（2）但如果用圖形表示，每個(gè)“或”形式的不等式僅是從數(shù)軸上去除一個(gè)區(qū)間，多個(gè)不等式可以用同一個(gè)數(shù)軸來(lái)表示，僅從中去除多個(gè)區(qū)間罷了，即使兩維情況也僅從平面中扣除一個(gè)長(zhǎng)方形，非常直觀。因此不用計(jì)算機(jī)根據(jù)圖形就能求解各種目標(biāo)函數(shù)下的最優(yōu)解。由此可見(jiàn)，表達(dá)的巨大的效應(yīng)。2，在數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)出來(lái)的各種創(chuàng)造性2.5

各學(xué)科知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用

2.6學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題2.7抓準(zhǔn)問(wèn)題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8問(wèn)題有創(chuàng)意的表達(dá)

2.9

善于捕捉信息、精于對(duì)結(jié)果的分析、挖掘、推廣

善于捕捉信息也是創(chuàng)造性：進(jìn)入信息化社會(huì)，數(shù)據(jù)量急劇膨脹。海量數(shù)據(jù)使人目不暇接，熟視無(wú)睹，人們對(duì)數(shù)據(jù)已經(jīng)近乎麻木，人腦好像已經(jīng)無(wú)法再存貯。雖然在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以及數(shù)學(xué)模型的計(jì)算或仿真結(jié)果中蘊(yùn)藏著大量有價(jià)值的信息，但擁有同樣的數(shù)據(jù)、同樣的結(jié)果，對(duì)不同的人卻有完全不同的作用。因此善于捕捉隱藏在數(shù)據(jù)中重要的信息，精于挖掘數(shù)據(jù)背后所包含的規(guī)律就是創(chuàng)造性的體現(xiàn)。因?yàn)椤扒蓩D難為無(wú)米之炊”，所以防止重要、寶貴的信息從手中不經(jīng)意地滑走是科技工作者十分重要的品質(zhì)。實(shí)例一：潰壩問(wèn)題潰壩由于其發(fā)生的突然性，事先無(wú)法預(yù)知潰壩的發(fā)生，無(wú)法做好準(zhǔn)備。事后又忙于應(yīng)對(duì)它所產(chǎn)生的重大危害，無(wú)法及時(shí)安排科技人員觀察記錄。因此即使在全世界，大型水庫(kù)的潰壩數(shù)據(jù)都是空白。現(xiàn)有的潰壩數(shù)據(jù)都是小型試驗(yàn)（幾千至上萬(wàn)立方米）數(shù)據(jù)或發(fā)生潰壩后事后測(cè)量、推測(cè)的數(shù)據(jù)[11]。而唐家山堰塞湖是具有兩億多立方米的特大型堰塞湖，有許多科技工作者日夜守候在數(shù)十公里的沿線，所以記錄下大量、各方面的數(shù)據(jù)。如果能夠充分意識(shí)到這批數(shù)據(jù)特別寶貴，就可以依據(jù)這批數(shù)據(jù)進(jìn)行開(kāi)創(chuàng)性研究。實(shí)例二：飛行管理問(wèn)題“飛行