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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,,,,為的外心,若,,,則()A. B. C. D.2.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為()A. B.C. D.3.在平面直角坐標(biāo)系中,銳角頂點在坐標(biāo)原點,始邊為x軸正半軸,終邊與單位圓交于點,則()A. B. C. D.4.閱讀如圖的程序框圖,若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是()A. B. C. D.5.如圖,已知平面,,、是直線上的兩點,、是平面內(nèi)的兩點,且,,,,.是平面上的一動點,且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.6.定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A. B. C. D.7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.若x,y滿足約束條件則z=的取值范圍為()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]9.已知等差數(shù)列的前13項和為52,則()A.256 B.-256 C.32 D.-3210.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.11.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.2412.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點D,且,則的最小值為________.14.若一組樣本數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.15.已知向量,,,則_________.16.已知集合,其中,.且,則集合中所有元素的和為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)設(shè)函數(shù),對于任意,恒成立,求的取值范圍.18.(12分)已知拋物線,過點的直線交拋物線于兩點,坐標(biāo)原點為,.(1)求拋物線的方程;(2)當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時,求直線的方程.19.(12分)車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件,對之前加工的100個零件的加工時間進行統(tǒng)計,結(jié)果如下:加工1個零件用時(分鐘)20253035頻數(shù)(個)15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)劉師傅準(zhǔn)備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座,用時40分鐘,另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.20.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.21.(12分)如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為⊙上一點,,交于點.求證:~.22.(10分)某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為時看作銷量為瓶).①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時,當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機變量,批發(fā)一小箱時,當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機變量,求和的分布列和數(shù)學(xué)期望;②以利潤作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價;利潤=銷售額-批發(fā)成本.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出,,即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線,垂足分別為,,,過分別做,的平行線,,由題知,則外接圓半徑,因為,所以,又因為,所以,,由題可知,所以,,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì),正弦定理,平面向量分解定理,屬于一般題.2、C【解析】
,將看成一個整體,結(jié)合的對稱性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的對稱性的問題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時,一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.3、A【解析】
根據(jù)單位圓以及角度范圍,可得,然后根據(jù)三角函數(shù)定義,可得,最后根據(jù)兩角和的正弦公式,二倍角公式,簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,又為銳角所以,根據(jù)三角函數(shù)的定義:所以由所以故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式,還考查二倍角的正弦、余弦公式,難點在于公式的計算,識記公式,簡單計算,屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,帶入依次計算可得輸出為25時的值,進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知,則,,,,,此時輸出,因而不符合條件框的內(nèi)容,但符合條件框內(nèi)容,結(jié)合選項可知C為正確選項,故選:C.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用,完善程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
為所求的二面角的平面角,由得出,求出在內(nèi)的軌跡,根據(jù)軌跡的特點求出的最大值對應(yīng)的余弦值【詳解】,,,,同理為直線與平面所成的角,為直線與平面所成的角,又,在平面內(nèi),以為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則,設(shè),整理可得:在內(nèi)的軌跡為為圓心,以為半徑的上半圓平面平面,,為二面角的平面角,當(dāng)與圓相切時,最大,取得最小值此時故選【點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果.6、D【解析】
根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù),得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱,排除AB,計算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù),即fx+1=-f-x+1,函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選:D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別,確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱是解題的關(guān)鍵.7、D【解析】
先把變形為,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求出,得到其坐標(biāo)可得答案.【詳解】解:由,得,所以,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第四象限故選:D【點睛】此題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由題意作出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點和可行域內(nèi)的點的直線斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域,如圖,目標(biāo)函數(shù)可表示連接點和可行域內(nèi)的點的直線斜率的倒數(shù),由圖可知,直線的斜率最小,直線的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故選:D.【點睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由,,得.選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.10、C【解析】
設(shè),根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設(shè),,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當(dāng)時,;當(dāng)時,;綜上所述:.故選:C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意的兩種情況.11、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.12、B【解析】
根據(jù)程序框圖知當(dāng)時,循環(huán)終止,此時,即可得答案.【詳解】,.運行第一次,,不成立,運行第二次,,不成立,運行第三次,,不成立,運行第四次,,不成立,運行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點睛】本題考查補充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡得,因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,則的最小值為.點睛:在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.14、1【解析】
根據(jù)題意,由平均數(shù)公式可得,解得的值,進而由方差公式計算,可得答案.【詳解】根據(jù)題意,數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則,解得:,則其方差.故答案為:1.【點睛】本題考平均數(shù)、方差的計算,考查運算求解能力,求解時注意求出的值,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】
由得,算出,再代入算出即可.【詳解】,,,,解得:,,則.故答案為:2【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算,向量垂直的性質(zhì),向量的模的計算.16、2889【解析】
先計算集合中最小的數(shù)為,最大的數(shù),可得,求和即得解.【詳解】當(dāng)時,集合中最小數(shù);當(dāng)時,得到集合中最大的數(shù);故答案為:2889【點睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)求出,即可求出切線的點斜式方程,整理即可;(2)的取值范圍滿足,,求出,當(dāng)時求出,的解,得到單調(diào)區(qū)間,極小值最小值即可.【詳解】(1)由于,此時切點坐標(biāo)為所以切線方程為.(2)由已知,故.由于,故,設(shè)由于在單調(diào)遞增同時時,,時,,故存在使得且當(dāng)時,當(dāng)時,所以當(dāng)時,當(dāng)時,所以當(dāng)時,取得極小值,也是最小值,故由于,所以,.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問題,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)或【解析】試題分析:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題等基礎(chǔ)知識,同時考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.第一問,設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理得到y(tǒng)1+y2,y1y2,,代入到中解出P的值;第二問,結(jié)合第一問的過程,利用兩種方法求出的長,聯(lián)立解出m的值,從而得到直線的方程.試題解析:(Ⅰ)設(shè)l:x=my-2,代入y2=2px,得y2-2pmy+4p=1.(*)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=4p,則.因為,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12,得p=2,拋物線的方程為y2=4x.…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)(*)化為y2-4my+2=1.y1+y2=4m,y1y2=2.…6分設(shè)AB的中點為M,則|AB|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①又,②由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,解得m2=3,.所以,直線l的方程為,或.…12分考點:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題.19、(1)分布列見解析,;(2)0.8575【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列,并計算出數(shù)學(xué)期望.(2)根據(jù)對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式,計算出劉師傅講座及加工個零件作示范的總時間不超過分鐘的概率.【詳解】(1)的分布列如下:202530350.150.300.400.15.(2)設(shè),分別表示講座前、講座后加工該零件所需時間,事件表示“留師傅講座及加工兩個零件示范的總時間不超過100分鐘”,則.【點睛】本小題主要考查隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查對立事件概率計算,考查相互獨立事件概率計算,屬于中檔題.20、(1),;(2)【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比,即得到結(jié)論;(2)利用分組求和法,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列前n項和.試題解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d===1.∴an=a1+(n﹣1)d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q,則q1===8,∴q=2,∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1,∴bn=1n+2n﹣1(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=1n+2n﹣1,∵數(shù)列{1n}的前n項和為n(n+1),數(shù)列{2n﹣1}的前n項和為1×=2n﹣1,∴數(shù)列{bn}的前n項和為;考點:1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;1.數(shù)列求和.21、證明見解析【解析】
根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明:∵,所以,又因為,所以.在與中,,,故~.【點睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推
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