數(shù)學建模常用綜方法合評價

常用綜合評價方法介紹主講人：張先君手機Q：2899945082LOGO配色方案修改：配色方案在【格式】-->【幻燈片設計】-->【配色方案】-->【編輯配色方案】下調(diào)整。LOGO的添加：Logo添加修改在【視圖】-->【母版】-->【幻燈片母版】下調(diào)整。直接選擇logo圖片刪除或修改。字體格式的設置：標題和文本格式的設置在【視圖】-->【母版】-->【幻燈片母版】下調(diào)整。默認設置：首頁主標題40號（中文微軟雅黑英文Arial）加粗；副標題24號（中文微軟雅黑英文Arial）加粗內(nèi)頁標題36號（中文微軟雅黑英文Arial）加粗；內(nèi)頁內(nèi)容文字32號（微軟雅黑）2綜合評價概述一、綜合評價的基本概念二、綜合評價的一般步驟三、綜合評價的局限性一、綜合評價的基本概念評價（evaluation）：所謂評價，即價值的確定，是通過對照某些標準來判斷測量結(jié)果，并賦予這種結(jié)果以一定的意義和價值的過程。綜合評價（syntheticalevaluation）：對一個復雜系統(tǒng)用多個指標進行總體評價的方法。一、綜合評價的基本概念綜合評價方法：又稱為多變量綜合評價方法、多指標綜合評估技術(shù)。綜合評價是對一個復雜系統(tǒng)的多個指標信息，應用定量方法（包括數(shù)理統(tǒng)計方法），對數(shù)據(jù)進行加工和提煉，以求得其優(yōu)劣等級的一種評價方法。一、綜合評價的基本概念綜合評價一般表現(xiàn)為以下幾類問題：ａ分類——對所研究對象的全部個體進行分類；ｂ比較、排序（直接對全部評價單位排序，或在分類基礎上對各小類按優(yōu)劣排序）；ｃ考察某一綜合目標的整體實現(xiàn)程度（對某一事物作出整體評價）。二、綜合評價的一般步驟1．確定綜合評價的目的2．確定評價指標和評價指標體系3．確定各個評價指標的權(quán)重4.求單個指標的評價值5.求綜合評價值對某事件進行多因素綜合評價的過程，實質(zhì)上就是科學研究與決策的過程，原則上應包括設計、收集資料和分析資料幾個基本階段，實施中應著重注意以下幾個基本環(huán)節(jié)。①選擇恰當?shù)脑u價指標(evaluationindicator)②確定各評價指標權(quán)重③合理確定各單個指標的評價等級(evaluationgrade)及其界限④建立綜合評價模型(syntheticalevaluationmodel)⑤確定多指標綜合評價的等級數(shù)量界限，并根據(jù)實踐對已建立模型考察、修改及完善。研究目的二、綜合評價的一般步驟1.指標的選取篩選評價指標主要依據(jù)專業(yè)知識，即根據(jù)有關(guān)的專業(yè)理論和實踐，來分析各評價指標對結(jié)果的影響，挑選那些代表性、確定性好，有一定區(qū)別能力又相互獨立的指標組成評價指標體系。系統(tǒng)分析法（Systemreview）和文獻資料分析優(yōu)選法是常用的評價指標篩選法。1.1評價指標的基本要求基本要求①代表性：各層次指標能最好地表達所代表的層次。②確定性：指指標值確定，其高低在評價中有確切含義。③區(qū)別能力/靈敏性：即指標值有一定的波動范圍，而且其高低在評價中有確切的含義。④獨立性：即選入的指標各有所用，相互不能替代。選擇綜合評價指標1.2系統(tǒng)分析法及文獻資料

分析優(yōu)選法篩選指標缺乏有關(guān)歷史資料，或指標難以數(shù)量化時系統(tǒng)分析法(systematicanalysismethod)：是一種常用的憑經(jīng)驗挑選指標的方法，首先將所有備選指標按系統(tǒng)（或?qū)傩?、類別）劃分，再通過座談或填調(diào)查表的方法獲得對各指標的專家評分，確定主次，再從各系統(tǒng)內(nèi)挑選主要的指標作為評價指標。

文獻資料分析優(yōu)選法：即全面查閱有關(guān)評價指標設置的文獻資料，分析各指標的優(yōu)缺點并加以取舍。

1.3常用客觀篩選指標方法逐個指標進行假設檢驗的方法：是在掌握有關(guān)歷史資料基礎上，依照可能的評價結(jié)果將評價對象分組，并對各指標進行假設檢驗，挑選有統(tǒng)計意義的指標作為評價指標。多元回歸與逐步回歸法：多元回歸分析挑選標準化偏回歸系數(shù)絕對值較大或偏回歸系數(shù)假設檢驗有顯著性的指標作為評價指標；逐步回歸有自動挑選主要影響指標的功能，是目前最常用的指標挑選方法。指標聚類法：在存在眾多指標的情況下，可將相似指標聚成類，再從每類中找一個典型指標作為代表，從而用少量幾個典型指標作為評價指標來代表原來眾多的指標建立評價模型。1.4指標篩選建議在實際工作中，往往綜合使用多種方法進行指標篩選，在獲得較為滿意的專業(yè)解釋的基礎上，優(yōu)先考慮那些被多種方法同時選入的指標。

2.指標的權(quán)重估計

確定指標權(quán)重方法主觀定權(quán)法客觀定權(quán)法專家評分法成對比較法Saaty權(quán)重法秩和比法相關(guān)系數(shù)法其它方法模糊定權(quán)法熵權(quán)法

定權(quán)帶有一定的主觀性，用不同方法確定的權(quán)重分配，可能不盡一致，這將導致權(quán)重分配的不確定性，最終可能導致評價結(jié)果的不確定性。因而在實際工作中，不論用哪種方法確定權(quán)重分配，都應當依賴于較為合理的專業(yè)解釋。三、綜合評價的局限性綜合評價方法很多，各種方法得出的結(jié)果不可能完全相同，并且都帶有一定的相對性和局限性。（1）將若干個指標數(shù)值綜合成一個數(shù)值，損失了原有指標帶來的大量信息，結(jié)果較抽象，難釋其經(jīng)濟意義；（2）主觀性很強，選擇什么指標、選擇多少指標，權(quán)數(shù)的分配都很主觀；（3）評價的結(jié)果不具有惟一性。選擇不同的方法，可能有不同的結(jié)果，即使采用同樣的方法，由于各指標的賦值不同、權(quán)重不同等，也有可能使評價結(jié)果不同。常用綜合評價方法一、計分法二、綜合指數(shù)法二、Topsis法三、秩和比(RSR)法四、層次分析(AHP)法五、模糊評價方法六、多元統(tǒng)計分析方法七、灰色系統(tǒng)評價方法一、計分法1.綜合計分法根據(jù)評價目的及評價對象的特征選定必要的評價指標逐個指標定出評價等級，每個等級的標準用分值表示以恰當?shù)姆绞酱_定各評價指標的權(quán)數(shù)選定累計總分的方案以及綜合評價等級的總分值范圍，以此為準則，對評價對象進行分析和評價，以決定優(yōu)劣取舍特點：簡便易行，過于粗糙。一、計分法2.排隊計分法將評價單位的各項評價指標依優(yōu)劣秩序排隊，再將名次（位置）轉(zhuǎn)化為單項評價值，最后由單項評價值計算各單位的綜合評價值（總分）。排隊計分法的優(yōu)缺點優(yōu)點：簡便易行，勿須另尋比較標準；各單項評價值有統(tǒng)一的值域；適用范圍廣泛（可用于定序以上層次的數(shù)據(jù)）缺點：原始數(shù)據(jù)信息的損失較大。二、綜合指數(shù)法一個或一組變量對某特定變量值大小的相對數(shù)稱指數(shù)，反映某一事物或現(xiàn)象動態(tài)變化的指數(shù)稱個體指數(shù)，綜合反映多種事物或現(xiàn)象動態(tài)平均變化程度的指數(shù)稱總指數(shù)，綜合指數(shù)編制總指數(shù)的基本計算形式，定量地對某現(xiàn)象進行綜合評價的方法稱綜合指數(shù)法個體指數(shù)的計算：高優(yōu)指標的個體指數(shù)p，為實測值X與標準值M的商p＝X/M

低優(yōu)指標的個體指數(shù)

p＝M/X綜合指數(shù)I較為復雜，沒有統(tǒng)一的表達形式，常見的有加權(quán)求和，算術(shù)平均，乘積法等二、綜合指數(shù)法Ki為單項評價指數(shù)：綜合評價指數(shù)公式為：

評價指數(shù)可以為正指標，也可以為逆指標。但必須同向化。一般是把逆指標轉(zhuǎn)化為正指標——采用倒數(shù)法，此時，綜合評價指數(shù)才是越大越好。二、綜合指數(shù)法（舉例：加權(quán)指數(shù)法）試比較三個地區(qū)的綜合經(jīng)濟效益。二、綜合指數(shù)法三個地區(qū)的綜合經(jīng)濟效益指數(shù)分別為：=110.31%

=116.67%=99.11%二、綜合指數(shù)法三、Topsis法TOPSIS（Techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution）法，即逼近理想解排序法，意為與理想方案相似性的順序選優(yōu)技術(shù)，是系統(tǒng)工程中有限方案多目標決策分析的一種常用方法。它是基于歸一化后的原始數(shù)據(jù)矩陣，找出有限方案中最優(yōu)方案和最劣方案（分別用最優(yōu)向量和最劣向量表示），然后分別計算諸評價對象與最優(yōu)方案和最劣方案的距離，獲得各評價對象與最優(yōu)方案的相對接近程度，以此作為評價優(yōu)劣的依據(jù)。1.設有n個評價對象、m個評價指標，原始數(shù)據(jù)可寫為矩陣X＝(Xij)n×m

2.對高優(yōu)、低優(yōu)指標分別進行同向化、歸一化變換

三、Topsis法3.歸一化得到矩陣Z＝(Zij)n×m，其各列最大、最小值構(gòu)成的最優(yōu)、最劣向量分別記為Z＋＝(Zmax1

Zmax2…

Zmaxm)

Z－＝(Zmin1

Zmin2…

Zminm)

4.第i個評價對象與最優(yōu)、最劣方案的距離分別為5.第i個評價對象與最優(yōu)方案的接近程度Ci為三、Topsis法例

某兒童醫(yī)院1994～1998年7項指標的實際值，用Topsis法比較該醫(yī)院這5年的醫(yī)療質(zhì)量三、Topsis法變換后，得到矩陣

平均住院日、病死率、院內(nèi)感染率為低優(yōu)指標，其余為高優(yōu)指標，同向化、歸一化變換三、Topsis法計算各列最大、最小值構(gòu)成的最優(yōu)、最劣向量分別為Z＋＝(0.48330.48050.46340.81780.47760.44870.5612)Z－＝(0.41420.40810.43210.20240.39160.44550.3118)三、Topsis法計算各年與最優(yōu)、最劣向量的距離（以94年為例）C1＝0.2497/(0.6289＋0.2497)＝0.2842計算接近程度（以94年為例）可以看出，1998年綜合效益最好，其次為1995年，隨后為1994年、1997年，1996年最差三、Topsis法四、秩和比(RSR)法?是利用秩和比RSR（Rank-sumratio）進行統(tǒng)計分析的一組方法。?RSR是一個內(nèi)涵較為豐富的綜合性指標，具有0—1連續(xù)變量的特征，它以非參數(shù)分析方法為基礎，通過指標數(shù)（列）、分組數(shù)（行）作秩的轉(zhuǎn)換，再運用參數(shù)分析的概念和方法研究RSR的分布，解決多指標綜合評價問題。設有m個指標，對n組數(shù)據(jù)進行評價，形成n行m列的數(shù)據(jù)陣，則各行，

其中為分別按列編秩后各行的秩次。最小RSR=1/n，最大RSR=1。四、秩和比(RSR)法分別對要評價的各項指標進行編秩計算各指標的秩和比（RSR）確定RSR的分布求回歸方程排序分檔四、秩和比(RSR)法采用秩和比法對某病區(qū)護士的4項考核指標進行綜合評價業(yè)務考試成績（X1）操作考核結(jié)果（X2）科內(nèi)測評（X3）工作量考核（X4）四、秩和比(RSR)法第一步，分別對要評價的各項指標進行編秩遇相等評分時，取平均等級。四、秩和比(RSR)法第二步，計算各指標的秩和比（RSR）其中：m為指標個數(shù)，n為分組數(shù)，Ri為各指標的秩次，RSR值即為多指標的平均秩次，其值越大越優(yōu)四、秩和比(RSR)法四、秩和比(RSR)法四、秩和比(RSR)法第三步，確定RSR的分布RSR→頻數(shù)f→累積頻數(shù)→秩號范圍→平均秩次→累積頻率→Y（概率單位）。

Y為RSR的累積頻率對應的概率單位值，Y=uα+5，uα標準正態(tài)分布的上分位點（α=/n）四、秩和比(RSR)法RSR值正態(tài)性檢驗：Z=0.4772，雙側(cè)檢驗P=0.9767，說明RSR值呈正態(tài)分布第四步，求回歸方程：RSR=A+BY經(jīng)相關(guān)和回歸分析，應變量RSR與自變量概率單位Y之間具有線性相關(guān)（r=0.9528）線性回歸方程為：RSR=0.1877Y-0.4232F=59.078，P=0.0002說明所求線性回歸方程有統(tǒng)計學意義四、秩和比(RSR)法第五步，根據(jù)RSR值排序分檔最佳分類歸檔的涵義是各檔方差一致，相差具有顯著性。最佳分檔準則為每檔至少2例，盡量多分幾組。最佳分檔步驟，首先進行方差一致性檢驗，在方差一致的前提下，再作統(tǒng)計檢驗，方差分析結(jié)果判斷各類間是否具有統(tǒng)計學差異，然后利用多重比較檢驗各類間差異是否顯著。如果各類間的方差不一致或各類間的差異未達顯著，則需考慮重新分檔。四、秩和比(RSR)法將各護士護理考核指標合理分檔，分差、良、優(yōu)三檔。四、秩和比(RSR)法經(jīng)方差齊性檢驗X2=2.3006，P>0.05，說明各檔方差一致方差分析顯示：F=22.9722,P=0.0030，說明各檔間有顯著差異兩兩比較，P<0.05,說明各檔彼此之間均有差異，達到了最佳分檔。四、秩和比(RSR)法常用分檔數(shù)及對應概率單位

層次分析法(AnalyticHierarchyProcess,簡稱AHP)：由美國科學家T.L.Saaty于20世紀70年代提出一種以定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法。它是用系統(tǒng)分析的方法，對評價對象依評價目的所確定的總評價目標進行連續(xù)性分解,得到各級（各層）評價目標，并以最下層指標作為衡量目標達到程度的評價指標。然后依據(jù)這些指標計算出一綜合評分指數(shù)對評價對象的總評價目標進行評價，依其大小來確定評價對象的優(yōu)劣等級。它是將半定性、半定量問題轉(zhuǎn)化為定量問題的一種行之有效的方法，使人們的思維過程層次化，通過逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據(jù)。五、層次分析法層次分析過程可分為四個基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗；（4）層次總排序及一致性檢驗。五、層次分析法1.建立層次結(jié)構(gòu)模型將決策的目標、考慮的因素（決策準則）和決策對象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。

最高層：決策的目的、要解決的問題。

最低層：決策時的備選方案。

中間層：考慮的因素、決策的準則。對于相鄰的兩層，稱高層為目標層，低層為因素層。下面舉例說明。例1大學畢業(yè)生就業(yè)選擇問題

獲得大學畢業(yè)學位的畢業(yè)生，在“雙向選擇”時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標準和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標準和要求是多方面的，例如：①能發(fā)揮自己才干作出較好貢獻（即工作崗位適合發(fā)揮自己的專長）；②工作收入較好（待遇好）；③生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；④單位名聲好（聲譽等）；⑤工作環(huán)境好（人際關(guān)系和諧等）⑥發(fā)展晉升機會多（如新單位或前景好）等。工作選擇可供選擇的單位P1’

P2，Pn

貢獻收入發(fā)展聲譽工作環(huán)境生活環(huán)境目標層準則層方案層目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.2構(gòu)造判斷矩陣

層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖中目標層利潤利用是否合理可由準則層中的各準則反映出來。但準則層中的各準則在目標衡量中所占的比重(權(quán)值）并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。怎樣來確定合理的權(quán)值？五、層次分析法Saaty等人建議可以采取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比為aij，則xj和xi對Z的影響之比應為五、層次分析法判斷矩陣元素aij的標度方法標度含義1表示兩個因素相比，具有同樣重要性3表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要5表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強烈重要9表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij

設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地目標層O(選擇旅游地)準則層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對比較矩陣有問題成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況可作為一個排序向量成對比較滿足的正互反陣A稱一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

非零特征根n所對應的特征向量歸一化后可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，Saaty等人建議用對應于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)但允許范圍是多大？如何界定？3.層次單排序及其一致性檢驗對應于判斷矩陣最大特征根λmax的特征向量，經(jīng)歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為W。W的元素為同一層次因素對于上一層次因素某因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。能否確認層次單排序，需要進行一致性檢驗，所謂一致性檢驗是指對A確定不一致的允許范圍。

定理：n階一致陣的唯一非零特征根為n定理：n

階正互反陣A的最大特征根

n,當且僅當

=n時A為一致陣由于λ

連續(xù)的依賴于aij

，則λ

比n

大的越多，A的不一致性越嚴重。用最大特征值對應的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n

數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度。定義一致性指標:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有滿意的一致性CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI。方法為Saaty的結(jié)果如下隨機一致性指標RI則可得一致性指標隨機構(gòu)造500個成對比較矩陣一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率<0.1及隨機一致性指標的數(shù)值表，對進行檢驗的過程。

一般，當一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過一致性檢驗。可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣A，對aij

加以調(diào)整。時，認為定義一致性比率：“選擇旅游地”中準則層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算的復雜和不必要

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化求

行

和

歸

一

化精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.0104.層次總排序及其一致性檢驗

計算某一層次所有因素對于最高層(總目標)相對重要性的權(quán)值，稱為層次總排序。這一過程是從最高層次到最低層次依次進行的。對總目標Z的排序為的層次單排序為即B

層第i

個因素對總目標的權(quán)值為：層的層次總排序為：AB層次總排序的一致性檢驗設層對上層(層)中因素的層次單排序一致性指標為，隨機一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當時，認為層次總排序通過一致性檢驗。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。

到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。記第2層（準則）對第1層（目標）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1=3.0052=3.002

…

5

=3.0權(quán)向量w1(3)w2(3)…

w5(3)

=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)選擇旅游地第3層對第2層的計算結(jié)果

w(