正方形的性質(zhì)與判定（第2課時(shí)） 【教材精講精研】 九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （北師大版）

第一章特殊平行四邊形北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)崇德尚禮篤學(xué)求真3.2正方形的性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)&目標(biāo)1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2．會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.3.探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.（重點(diǎn)）4.會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.（難點(diǎn)）正方形的定義有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。平行四邊形一組鄰邊相等一個(gè)角是直角正方形情境&導(dǎo)入正方形的對(duì)角線相等并且互相垂直平分.正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.正方形的定義情境&導(dǎo)入如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開．怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？提示：剪口線與折痕成45°角即可。探索&交流滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流．

議一議有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角對(duì)角線相等對(duì)角線垂直探索&交流活動(dòng)1

準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直正方形活動(dòng)2

把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？菱形一個(gè)角是直角對(duì)角線相等正方形探索&交流定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.探索&交流已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定義）.探索&交流定理：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.定理：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.探索&交流定理：對(duì)角線相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形對(duì)角線互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定義）.探索&交流例題&解析

例題欣賞?例1.已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF是正方形.45°45°例題&解析證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.探索&交流

做一做如圖，任意畫一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征？正方形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為正方形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形PFQO為平行四邊形.探索&交流

議一議菱形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？矩形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.你能試著證明嗎？矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.探索&交流已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的對(duì)角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）探索&交流已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為菱形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等），∴EF=EH∴四邊形EFGH是菱形（菱形的定義）例題&解析

例題欣賞?例2.在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?例題&解析∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,練習(xí)&鞏固1.下列命題正確的是（）A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形練習(xí)&鞏固2.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯(cuò)誤的是___________（只填寫序號(hào)）．②③或①④練習(xí)&鞏固3.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC,對(duì)角線BD平分ABC,

P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PMAD,

PNCD,垂足分別為M、N.(1)