圖形與幾何-黃曉學(xué)20130817

1“圖形與幾何”內(nèi)容解析

主講：江蘇師范大學(xué)黃曉學(xué)2

本專題的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：1．把握“圖形與幾何”內(nèi)容新變化．2．體會(huì)“圖形與幾何”教學(xué)三策略．3．如何顯化數(shù)學(xué)思想．4．如何教好初中數(shù)學(xué)．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】3新版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)基本框架2012年1月，教育部正式頒布《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）。

《標(biāo)準(zhǔn)》由4個(gè)本體部分和2個(gè)附錄組成。前言：課程性質(zhì)、基本理念和設(shè)計(jì)思路課程目標(biāo)：總體目標(biāo)和學(xué)段目標(biāo)課程內(nèi)容：數(shù)與代數(shù)；圖形與幾何；統(tǒng)計(jì)與概率；綜合與實(shí)踐實(shí)施建議：教學(xué)、評(píng)價(jià)、教材、資源開發(fā)附錄1：有關(guān)行為動(dòng)詞的分類附錄2：課程內(nèi)容與實(shí)施中的實(shí)例4人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展

樹立正確的課程觀《標(biāo)準(zhǔn)》的核心理念改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式5《標(biāo)準(zhǔn)》中的核心概念核心概念10個(gè)：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。與“圖形與幾何”密切相關(guān)的概念：“空間觀念、幾何直觀、推理能力”幾何（測(cè)地術(shù)）是從實(shí)踐活動(dòng)及生活里的問題中產(chǎn)生出來的，朝著積累新的事實(shí)和闡明它們相互間的關(guān)系的方向發(fā)展的6數(shù)學(xué)課程目標(biāo)總目標(biāo)：獲得四基、發(fā)展能力、培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度學(xué)段目標(biāo)：3個(gè)學(xué)段；4個(gè)方面（知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度）四基：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗(yàn)四能：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題7圖形與幾何（三學(xué)段）：內(nèi)容結(jié)構(gòu)上略有調(diào)整（圖形的性質(zhì)、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與坐標(biāo)）（原來是圖形的認(rèn)識(shí)、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明）對(duì)基本事實(shí)規(guī)定更清晰（9條），不再使用“公理”這個(gè)詞增強(qiáng)了“圖形與幾何”內(nèi)容的條理性，進(jìn)一步闡述了合情推理和演繹推理的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)了幾何證明表述方式的多樣性8“圖形與幾何”內(nèi)容構(gòu)成圖形的性質(zhì)點(diǎn)、線、面、角，相交線與平行線，三角形，四邊形，圓，尺規(guī)作圖，定義，命題，定理。圖形的變化圖形的軸對(duì)稱，圖形的旋轉(zhuǎn)，圖形的平移，圖形的相似，圖形的投影。圖形與坐標(biāo)坐標(biāo)與圖形位置，坐標(biāo)與圖形運(yùn)動(dòng)9“圖形與幾何”內(nèi)容的變化（刪除的內(nèi)容）圖形的認(rèn)識(shí)所有關(guān)于梯形、等腰梯形的相關(guān)要求探索并了解圓與圓的位置關(guān)系所有關(guān)于影子、視點(diǎn)、視角、盲區(qū)等內(nèi)容，以及對(duì)雪花曲線和麥比烏斯帶等圖形的欣賞圖形的變化關(guān)于鏡面對(duì)稱的要求10“圖形與幾何”內(nèi)容的變化（增加的內(nèi)容）必學(xué)部分會(huì)比較線段的大小，理解線段的和、差以及中點(diǎn)的意義；了解平行于同一條直線的的兩條直線平行會(huì)按照邊長(zhǎng)的關(guān)系和角的大小對(duì)三角形進(jìn)行分類；了解并證明圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系；過一點(diǎn)作一知直線的垂線；已知一直角邊和斜邊作直角三角形；作三角形的外接圓與內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正四六邊形選學(xué)部分了解平行線性質(zhì)定理的證明；了解相似三角形判定定理的證明；探索并證明垂徑定理；探索并證明切線長(zhǎng)定理；了解圓周角及其推論的證明。11“圖形與幾何”內(nèi)容的變化（改變的內(nèi)容-圖形的性質(zhì)）（實(shí)驗(yàn)稿）（2011版）1.通過豐富的實(shí)例進(jìn)一步認(rèn)識(shí)角理解角的概念2.了解補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角的概念理解補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角的概念3.知道等角的余角相等、補(bǔ)角相等、對(duì)頂角相等探索并掌握。。。的性質(zhì)4.了解線段垂直平分線及其性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理（。。。；反之，。。。）5.探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理6.探索并掌握一個(gè)三角形是等腰三角形的條件探索并證明等腰三角形的判定定理7.了解等邊三角形的概念并探索其性質(zhì)探索等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理8.體驗(yàn)勾股定理的探索過程探索勾股定理及其逆定理9.會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問題能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題10.了解切線的概念掌握切線的概念12“圖形與幾何”內(nèi)容的變化（改變的內(nèi)容-圖形的變化）（實(shí)驗(yàn)稿）（新版）1.認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱了解軸對(duì)稱的概念2.能按要求做出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對(duì)稱后的圖形，探索簡(jiǎn)單圖形間的軸對(duì)稱關(guān)系，并指出對(duì)稱軸能畫出簡(jiǎn)單平面圖形（點(diǎn)，線段，直線，三角形等）關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形3.認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)認(rèn)識(shí)關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)4.了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱圖形探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性質(zhì)5.探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例、面積比等于相似比的平方了解相似多邊形和相似比（增加了兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例這一基本事實(shí)）13“圖形與幾何”內(nèi)容變化分析原因分析試驗(yàn)區(qū)一線教師的意見和建議；關(guān)注數(shù)學(xué)課程改革的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家的意見和建議因素分析與理念的契合程度；是否利于目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)；與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的聯(lián)系；學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容的接受能力；對(duì)學(xué)科本質(zhì)以及核心思想的體現(xiàn)。特點(diǎn)分析：突出基本數(shù)學(xué)思想；不同的人得到不同的發(fā)展；重視發(fā)展學(xué)生的幾何直觀；適度增加幾何推理和證明（9條基本事實(shí)）14基本事實(shí)1：兩點(diǎn)確定一條直線?；臼聦?shí)2：兩點(diǎn)之間線段最短?；臼聦?shí)3：過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直?；臼聦?shí)4：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。基本事實(shí)5：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行?；臼聦?shí)6：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。（解釋其合理性：三角形的確定）基本事實(shí)7：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。基本事實(shí)8：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。基本事實(shí)9：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例?；臼聦?shí)9條15*了解平行線性

質(zhì)定理的證明

例證明兩直線平行，同位角相等。這個(gè)證明可以利用反證法完成。如圖15所示，我們希望證明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假設(shè)∠1≠∠2，過點(diǎn)O作直線A′B′，使∠EOB′＝∠2。根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”這個(gè)基本事實(shí)，可得A′B′∥CD。這樣，過點(diǎn)O就有兩條直線AB，A′B′平行于CD，這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2的假設(shè)是不對(duì)的，于是有∠1＝∠2。*反例的運(yùn)用：局部性反例與全局性反例

全局性反例一組對(duì)邊相等、一組對(duì)角相等的凸四邊形是平行四邊形嗎？局部性反例如果四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BEFC是平行四邊形，則四邊形AEFD是平行四邊形。1617“圖形與幾何”數(shù)學(xué)教材基本模式《標(biāo)準(zhǔn)》意義下的數(shù)學(xué)教材特征：充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值；準(zhǔn)確體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》要求；利于學(xué)生學(xué)習(xí)；內(nèi)容出現(xiàn)體現(xiàn)過程性。數(shù)學(xué)教材基本結(jié)構(gòu)章節(jié)結(jié)構(gòu)：章題圖引言+若干節(jié)+回顧與思考習(xí)題：節(jié)習(xí)題+章習(xí)題主題呈現(xiàn)模式：?jiǎn)栴}情境-建立模型-解釋應(yīng)用拓展學(xué)習(xí)活動(dòng)體例：?jiǎn)栴}情境—探索歸納—隨堂練習(xí)18“圖形與幾何”教學(xué)實(shí)施要點(diǎn)空間觀念、幾何直觀和推理能力是與“圖形與幾何”課程領(lǐng)域密切相關(guān)的核心概念空間觀念：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形根據(jù)幾何圖形想象出實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互位置之間的關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；根據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形。（把物體表面分解）幾何直觀：利用圖形描述和分析問題，側(cè)重對(duì)非幾何對(duì)象的處理推理能力：合情推理（用于發(fā)現(xiàn)）和演繹推理（用于證明），在推理時(shí)注重尋找合情的理由和合理的證明思路。（切線長(zhǎng)問題：對(duì)折—發(fā)現(xiàn)、全等-證）19對(duì)幾何直觀的再認(rèn)識(shí)幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，指借助幾何圖形的形象關(guān)系；二是直觀，指對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的直接感知和整體把握。綜合看，幾何直觀就是借助于見到的（或想像出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。4種表現(xiàn)形式：實(shí)物直觀（10捆1箱看數(shù)位）、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀（線路圖看行程）、圖形直觀（圖解公式）、替代物直觀（模型看原型）

20希爾伯特（Hilbert）在其名著《直觀幾何》一書中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價(jià)值由此可見一般。21（2）《標(biāo)準(zhǔn)》中幾何直觀的含義（解釋了其作用）

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！?2它表明：今后數(shù)學(xué)課程中有兩件事需要刻意去做，即針對(duì)較抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象的“圖形表示”和“圖形分析”。前者指教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生通過畫圖來表達(dá)數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，能畫圖時(shí)盡量畫；后者指引導(dǎo)學(xué)生借助圖形將相對(duì)抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系直觀、清晰地展示出來，通過對(duì)圖形的分析思考進(jìn)而尋求解決問題的思路。23幾何直觀的培養(yǎng)

使學(xué)生養(yǎng)成畫圖習(xí)慣,鼓勵(lì)用圖形表達(dá)問題可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)到畫圖對(duì)理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時(shí)盡量畫，其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，盡量把問題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀24重視變換——讓圖形動(dòng)起來幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。在數(shù)學(xué)中，我們接觸的最基本的圖形都是對(duì)稱圖形，例如圓、正多邊形、長(zhǎng)方體、長(zhǎng)方形、菱形、平行四邊形等；另一方面，在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究非對(duì)稱圖形時(shí)，又往往是運(yùn)用這些對(duì)稱圖形為工具的。變換又可以看作運(yùn)動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來是指再認(rèn)識(shí)這些圖形時(shí)，在頭腦中讓圖形動(dòng)起來，例如，平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，可以把它看作一個(gè)剛體，通過圍繞中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180度，去認(rèn)識(shí)、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。25

學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合首先是對(duì)知識(shí)、技能的貫通式認(rèn)識(shí)和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對(duì)數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)，這種對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用的能力，應(yīng)該是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求的。

26例如，若每?jī)扇宋找淮问?，則3個(gè)人共握幾次手，4個(gè)人共握幾次手……，

n個(gè)人共握幾次手？用歸納的方法探索規(guī)律，如下表:

人數(shù)握手次數(shù)規(guī)律

211331+2461+2+3………n1+2+3+…+(n-1)A1A2A3AN27對(duì)于七、八年級(jí)的學(xué)生來說，要發(fā)現(xiàn)“1+2+3+…+(n-1)”這個(gè)規(guī)律并不容易，計(jì)算1+2+3+…+(n-1)得到

n（n-1）/2也有困難。但是，如果把“人”抽象成“點(diǎn)”，“兩人握1次手”抽象成“兩點(diǎn)之間連接一條線段”，那么借助圖形的直觀就能簡(jiǎn)明地解決問題。如圖，對(duì)于n點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)，它與其它的（n-1）個(gè)點(diǎn)共可連接（n-1）條線段，因而n個(gè)點(diǎn)共可連接n（n-1）條線段。因?yàn)閮牲c(diǎn)之間有且只有一條線段（線段AB與線段BA是同一條線段），所以共可連接

n（n-1）/2條線段。28用“圖形法”解決問題

掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問題把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。例如，除了前面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等等。在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。29策略一：重視幾何直觀的教學(xué)Proofswithoutwords三層次1）搜尋直觀圖2）重整直觀圖3）開發(fā)直觀圖4個(gè)平均值之間大小關(guān)系30搜尋31重整正余弦定理的引入問題塔高與仰角32開發(fā)

（弧度制）弧度制（弧長(zhǎng)、圓心角、半徑三者關(guān)系）測(cè)量的336個(gè)正數(shù)a,b,c,A,B,C,滿足a+A=b+B=c+C=k,求證：aB+bC+cA<k2案例：讓左右腦協(xié)調(diào)發(fā)展34圖解法135圖解法236代數(shù)法137代數(shù)法2只要證明a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)<k2即，a(b+c-k)+(k2+bc-bk-ck)>0事實(shí)上，令f(a)=a(b+c-k)+(k2+bc-bk-ck)有f(0)=(b-k)(c-k)>0f(k)=bc>0由于f(a)的圖像是一條直線，所以當(dāng)0<a<k時(shí)，恒有f(a)>0故原不等式成立38提高學(xué)生幾何推理能力幾何定理應(yīng)該由推理來證明幾何從事于“幾何物體”和圖形的研究幾何發(fā)展的主要?jiǎng)恿κ菍?shí)踐與抽象思維的相互作用39此次《標(biāo)準(zhǔn)》提出的推理能力與過去相比，有這樣一些特點(diǎn)：一是進(jìn)一步指明了推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義?！稑?biāo)準(zhǔn)》指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。它對(duì)教學(xué)的啟示是，不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到推理是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一，它與人們的生活息息相關(guān)，更重要的是要逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用推理進(jìn)行思維的方式。40突出了合情推理與演繹推理二是基于數(shù)學(xué)推理的特點(diǎn)，突出了合情推理與演繹推理這條主線。指出在數(shù)學(xué)思維和問題解決的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成——合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。

引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷“猜想——證明”的問題探索過程

41三是強(qiáng)調(diào)推理能力的培養(yǎng)“應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”。

其一，它應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程的各個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，其二，它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動(dòng)過程其三，它應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)也應(yīng)貫穿于三個(gè)學(xué)段，合理安排，循序漸進(jìn)，協(xié)調(diào)發(fā)展42通過多樣化的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力反思傳統(tǒng)教學(xué)，對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)往往被認(rèn)為就是加強(qiáng)邏輯證明的訓(xùn)練，主要的形式就是通過習(xí)題演練以掌握更多的證明技巧。顯然，這樣的認(rèn)識(shí)是帶有局限性的。43生成性資源：師生交互及交流中產(chǎn)生的

新情境、新問題、新思路、新方法、新結(jié)果等?！稑?biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)通過多樣化的活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。如《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，

”（總目標(biāo)），“體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程，在多樣化形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力”（三學(xué)段）44使學(xué)生多經(jīng)歷

“猜想——證明”的問題探索過程

在“猜想——證明”的問題探索過程中，學(xué)生能親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過程，在過程中感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升極為有利。教師要善于對(duì)素材進(jìn)行此類加工，引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷這樣的活動(dòng)。45策略二：凸顯思想方法的教學(xué)德國(guó)諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、物理學(xué)家馮.勞厄：

“教育無非是一切已學(xué)過的東西都忘掉時(shí)所剩下的東西”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是有思想的教學(xué)！有了思想才有了課堂的生命（抽象\推理\模型)46什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最本質(zhì)的東西？波利亞（美）一貫強(qiáng)調(diào)把“有益的思考方式，應(yīng)有的思維習(xí)慣”放在教學(xué)的首位。米山國(guó)藏（日本）指出，學(xué)生在畢業(yè)之后不久，數(shù)學(xué)知識(shí)就很快忘掉了，“然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、思維方法、推理方法和著眼點(diǎn)（如果培養(yǎng)了這種素質(zhì)的話），在隨時(shí)發(fā)生作用，使他們受益終身。”

47數(shù)學(xué)思想方法數(shù)數(shù)形結(jié)合、抽象化的思想方法式抽象化、數(shù)形結(jié)合、運(yùn)算歸納、類比、程序化、推理方程不等式模型、化歸、類比函數(shù)運(yùn)動(dòng)與變化、模型、數(shù)形結(jié)合、關(guān)系與結(jié)構(gòu)圖形的性質(zhì)結(jié)構(gòu)化、構(gòu)造、類比、數(shù)形結(jié)合比例結(jié)構(gòu)化（分解與組合、等價(jià)）、類比證明推理圖形的運(yùn)動(dòng)變化、模式、對(duì)稱概率概括、模型統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)推斷48

如何使數(shù)學(xué)思想從潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)呢？

※分類

※化歸

※歸納

49滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略在模仿與嘗試中初步感受數(shù)形結(jié)合的思想在對(duì)比與運(yùn)用中逐步深化認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想在獨(dú)立探索與合作交流中更好理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問題過程中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想50豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：直接的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（生活），間接的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（創(chuàng)設(shè)構(gòu)建），設(shè)計(jì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（隨機(jī)摸球）和思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)條件預(yù)測(cè)結(jié)果；根據(jù)特例概括一般規(guī)律；依據(jù)目標(biāo)特征探究成因等。事后通過反思總結(jié)而得到獲得經(jīng)驗(yàn)。具有主體性、多樣性、可錯(cuò)性、可發(fā)展性、雙刃性豐富途徑：讓學(xué)生經(jīng)歷各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，如抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理。（做數(shù)學(xué)）活動(dòng)方式：觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流、模仿與練習(xí)、回顧與反思51策略三：強(qiáng)化以評(píng)促學(xué)的教學(xué)幾何學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)就是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程及其結(jié)果做出價(jià)值判斷。（以課程目標(biāo)和課程內(nèi)容為依據(jù)，體現(xiàn)基本理念，全面評(píng)價(jià)學(xué)生的表現(xiàn)）主要目的：為了全面了解學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的全面歷程，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展；提供反饋信息改善教師的教與學(xué)生的學(xué)側(cè)重用幾何的方式思考問題（方法論高度）；注意“延遲評(píng)價(jià)”（替換了推遲評(píng)價(jià)）和“網(wǎng)上評(píng)價(jià)”52考試型學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)試題特色分析：試題背景真實(shí)化，如，。。。能否在比賽開始前趕到體育館問題？試題呈現(xiàn)多樣化，如，。。。看不見的小正方體有多少個(gè)？試題設(shè)問層次化，如，。。。把一個(gè)小正方形分割成n（n>=6）個(gè)小正方形問題試題求解開放化，如，。。。根據(jù)信息，提出一個(gè)用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過程53試題編制設(shè)置數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，如，花園設(shè)計(jì)問題采用漸進(jìn)式問題串，如，紙片拼圖問題用較高思維水平的語(yǔ)言提問，如，求能否射進(jìn)球門問題，解釋理由？設(shè)置科學(xué)合理開放的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，如設(shè)置創(chuàng)新分和誤讀分試卷合成構(gòu)思：主要的考察目標(biāo)、考核內(nèi)容的主要領(lǐng)域；試卷的主要結(jié)構(gòu)（題型結(jié)構(gòu)、難度結(jié)構(gòu)、分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)）；設(shè)計(jì)供考生經(jīng)歷的主要數(shù)學(xué)活動(dòng)54非考試型評(píng)價(jià)1)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)：通過實(shí)際任務(wù)來表現(xiàn)知識(shí)和技能成就的評(píng)價(jià)方式，如收集數(shù)學(xué)日記、對(duì)深思型學(xué)生在規(guī)定時(shí)間完不成答題任務(wù)的信息等2)成長(zhǎng)記錄袋：通過在記錄袋中系統(tǒng)的選擇和收集學(xué)生作品，評(píng)價(jià)學(xué)生展示進(jìn)步。3)專題作業(yè)：不是以系統(tǒng)掌握知識(shí)維目的，而是以解決實(shí)際問題為目的，以培養(yǎng)和考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。55合作學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)分與提高分測(cè)驗(yàn)分提高分低于基礎(chǔ)分10分以上0低于基礎(chǔ)分1-10分10高于基礎(chǔ)分10分以內(nèi)(含基礎(chǔ)分)20高于基礎(chǔ)分10分以上30完全正確的測(cè)驗(yàn)卷(不管基礎(chǔ)分是多少)30

56【如何教學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)】

本專題主要解決以下問題：?jiǎn)栴}1：轉(zhuǎn)變觀念？問題2：打好四基？問題3：學(xué)會(huì)思考？問題4：走向創(chuàng)造？

57【問題1：轉(zhuǎn)變觀念】一、學(xué)習(xí)習(xí)慣二、數(shù)學(xué)觀念三、思維方式58一、學(xué)習(xí)習(xí)慣

自學(xué)習(xí)慣：預(yù)習(xí)-上課-整理-作業(yè)-總結(jié)思考習(xí)慣：數(shù)學(xué)的論理性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)、應(yīng)用性強(qiáng)，就需要在知識(shí)的理解上下功夫，要多思考多研究，搞清知識(shí)脈絡(luò)。探究習(xí)慣：發(fā)問-審題-探索-表達(dá)-反思應(yīng)用習(xí)慣：加強(qiáng)訓(xùn)練（實(shí)踐中鍛煉，反復(fù)鍛煉）59案例：思考是怎么開始的讓我們看一個(gè)具體問題，假定你有三個(gè)容量不同的玻璃杯：3升、5升和8升，最大的杯子是盛滿液體的。你的任務(wù)是設(shè)法使兩個(gè)較大的杯子各裝4升液體。試一試？從嘗試錯(cuò)誤到換個(gè)方法再試，這樣便開始了對(duì)問題的思考60解答：畫個(gè)圖（3，5，8）：（0，0，8）-（0，5，3）-（3，2，3）-（0，2，6）-（2，0，6）-（2，5，1）-（3，4，1）-（0，4，4）61二、數(shù)學(xué)觀念1.數(shù)學(xué)為什么難以理解（1）研究對(duì)象：數(shù)量關(guān)系與空間形式（2）研究方法：數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)抽象學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要的素質(zhì)：

非常確切的記憶力異常敏銳的注意力非常理智的思維力（3）研究主線：發(fā)現(xiàn)問題與解決問題62（1）研究對(duì)象數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，是由對(duì)象組成的整個(gè)集合中任意選取的．當(dāng)我們需要敘述一個(gè)有關(guān)整個(gè)集合中任意選取的對(duì)象的事實(shí)的時(shí)候,利用變量是方便的.如，三角形內(nèi)角和四邊形內(nèi)角和

五邊形內(nèi)角和

…n邊形內(nèi)角和

n邊形外角和“…”背后的規(guī)律是什么?變中不變的東西是什么?63(1)第一個(gè)命題已知是真的(2)從第2個(gè)命題開始都能以同樣的方式由前一個(gè)命題推出這是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的有效證明方法(高中學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)歸納法”初始命題與隨后的命題證明方法不同,必須給出這種細(xì)致的證明64（2）研究方法數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)抽象關(guān)系：直觀與邏輯。順序：直觀-邏輯-直觀形式：先猜想后證明如，圖像的升降與函數(shù)的單調(diào)性65（3）研究主線即發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、拓展問題．如,探尋(a+b)n展開式的系數(shù)規(guī)律66第n行(a+b)n展開式的系數(shù),它是按照a的遞增的冪，b的遞減的冪排列的。每行系數(shù)可以用高中學(xué)到的一組有序組合數(shù)：來表示證明可以用數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)以下事實(shí)：（1）每個(gè)自然數(shù)都有后繼（2）自然數(shù)可以從1開始672.理解性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（1）運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（2）注意新舊知識(shí)聯(lián)系（3）通過解題深化認(rèn)識(shí)（4）善于自我糾正錯(cuò)誤

68課題引入(1)三角形三邊關(guān)系？三內(nèi)角關(guān)系？(2)拼圖法得出結(jié)論可靠嗎？為什么導(dǎo)語(yǔ)：能否找出可靠地方式說明結(jié)論新知探求(1)實(shí)驗(yàn)反思(留足思考的機(jī)會(huì)和時(shí)間)(2)設(shè)想輔助線的添加方法(3)實(shí)驗(yàn)與設(shè)想結(jié)合給出證明鞏固小結(jié)(1)直接應(yīng)用(2)命題推廣:4,5,…,n邊形內(nèi)角和(背后規(guī)律)小結(jié):發(fā)現(xiàn)真理（實(shí)驗(yàn)與證明）；輔助線待研問題：外角和？邊角關(guān)系？三角形內(nèi)角和（正余弦定理的生長(zhǎng)點(diǎn)）69三、思維方式1.數(shù)學(xué)的一般思維方式比較異同點(diǎn)分析與綜合抽象與概括特殊與一般2.數(shù)學(xué)的特殊思維方式①化歸原則；②先猜后證；③數(shù)學(xué)活動(dòng)70【問題2:打好四基】創(chuàng)造源自基礎(chǔ)，基礎(chǔ)孕育創(chuàng)造一、基礎(chǔ)知識(shí)（“懂”）二、基本技能（“熟”）三、基本思想（“識(shí)”）四、基本經(jīng)驗(yàn)（“巧