函數(shù)與導(dǎo)數(shù)分類整理

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題一、研究函數(shù)的單調(diào)性例1討論下列函數(shù)的單調(diào)性(2)f(x)=x2—2x+a(ex-1(2)f(x)=x2—2x+a(ex-1+e1-x)(a>0)例2討論下列函數(shù)的單調(diào)性(1)f(x)=aex(x+1)—x2—4xf(x)=(x(1)f(x)=aex(x+1)—x2—4x例3設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3bx有兩個極值點(diǎn)x1、x2，滿足-1Wx1<0,1<x2<2.(1)求/(1)的取值范圍1(2)證明：一10Wf(x2)<-亍二、對參數(shù)討論例4討論下列函數(shù)的單調(diào)性，并求f(x)在［0,1］上的值域f(x)=kx-ln(x+1) (2)f(x)=2x—mx三、預(yù)處理構(gòu)造函數(shù)例5證明以下不等式：ne 一廠-1nx111nx(1)(1+—)<e(ncN*)(2)當(dāng)x>0且xA1時， +一>一n x+1xx一1x—2例6(I)討論函數(shù)f(x)=——ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x>0時，(x一2)ex+x+2>0；x+2(II)證明：當(dāng)ac［0,1)時，函數(shù)g(x)=3ax—a(x>0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為x2h(a)，求函數(shù)h(a)的值域..四、不等式恒成立例7設(shè)f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1),若x>-2時，f(x)<kg(x)，求k的取值范圍.例8設(shè)函數(shù)f(x)=aInx+―^xx2-x(a，1),若存在x21,使得f(x)< ，求a的取值2 0 0a—1范圍；a+1 一例9設(shè)f(x)=aex+ —2(a+1),其中a>0,若對任意的實(shí)數(shù)x>0都有f(x)>0恒成立，求a的%取值范圍.一 alnxb例10已知函數(shù)f(%)= +-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為%+1 %x+2y—3=0.(I)求a、b的值；ln%k,(II)如果當(dāng)%>。，且%豐1時，f(%)> +一，求k的取值范圍.%一1%例11設(shè)函數(shù)f(x)=ax2—a—lnx，其中aGR.(1)討論f(x)的單調(diào)性；1(2)確定a的所有可能取值，使得f(%)>-—e1-%在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立%例12已知函數(shù)f(%)=e%—e—%—a%，當(dāng)%>0時，f(%)>0(1)求a的的最大值；(2)當(dāng)a取得最大值時，若總存在%0>0使得f(2%0)<4bf(%0),求b的取值范圍五、證明不等式例13設(shè)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x3(1)討論f(x)的單調(diào)性 (2)當(dāng)a<0時，證明：f(x)<—1—2^a例14設(shè)f(%)=e2%—aln%(1)a=e時，求f%)單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)f%)有最小值g(a)，求a的取值范圍，并求g(a)的最大值以及此時a的值2(3)設(shè)a>0,求證：f(%)>2a+aln—a例15設(shè)f(%)=e%—ln(%+m)(1)m=1時，討論f(x)的單調(diào)性 (2)m<2時，證明f(x)>01例16設(shè)函數(shù)f(x)=ax2—a—Inx,g(x)=x-1—e1-x,證明：當(dāng)a>~,x>1時，f(x)>g(x)>0；乙例17設(shè)f(x尸lnx+4x—1,證明：3 9(x—1)(1)當(dāng)x>1時，f(x)<-(x—1)； (2)當(dāng)1<x<4時，f(x)<-——).2 x+5六、零點(diǎn)問題1 1例18設(shè)函數(shù)f(x)=3x3--以2+1,其中a>0,函數(shù)y=f(x)的圖像為曲線E.(1)若過點(diǎn)(0,2)可做曲線E的三條不同切線，求a的取值范圍.(2)曲線E上是否點(diǎn)P，使得曲線E在點(diǎn)P處的切線與曲線E有唯一的公共點(diǎn)？若存在，求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由.3例19判斷f(x)=xsinx-2在(0,n)的零點(diǎn)個數(shù)，并加以證明1例20設(shè)f(x)=x3+ax+—,g(x)=—lnx,h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個數(shù)例21已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若以x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.七、多變量問題4x2-7例22設(shè)a>0,已知f(x)=F ,g(x)=x3—3a2x—2a.若對于任意x[0,1]，總存在x[0,1],2—x 1 0使得g(x0)=f(xJ成立，求a的取值范圍.1例23設(shè)f(x)=lnx——ax2+(a—1)x,(a手0)曲線y=f(x)上是否存在不同兩點(diǎn)A(x/f(xJ)、B(x2,x+xf(x2)),使得當(dāng)x0=JyS時，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線與AB平行？證明你的結(jié)論.例24設(shè)f(x)=xlogmx.(m>0且m/1)(1)當(dāng)a>b>3時，比較ab與ba的大小關(guān)系，⑵當(dāng)m=2,x]、x2>0時，證明：f(x1)+f(x2)>f[x1+x2)—(x1+x2)；(3)當(dāng)m=e,0<a<b時，證明：0<f(a)+f(b)—2f( )<(b—a)ln2(4)設(shè)e>m>1,x1>x2>1,比較|f(x1)—f(x2)|與|x1—x2|的大小，證明你的結(jié)論

例25設(shè)f(%)= (。>0),若f%)有兩個極值點(diǎn)%、%，求a的取值范圍，并證明:ax2+1 12.,丁一一e---<f(xP+f%2)<eaa1例26設(shè)f(%尸%—ae%(a即.已知y=f(%)有兩個零點(diǎn)%1，%2，且%1<%2.(1)求a的取值范圍；(2)證明2<%4%2<—2lna%(3)證明：隨著a的減小，二立和%,十%。都增大% 121八、2011八、20112018全國卷高考真題全國一卷一、選擇題【2014,11］已知函數(shù)f(%)=a%3-3%2+1,若f(%)存在唯一的零點(diǎn)%0,且%0>0,則a的取值范圍為A. (2, +s)B.(---2) C. (1, +s)D. (-8, -1) 1

【2012,12］設(shè)點(diǎn)P在曲線y=-e%上，點(diǎn)Q在曲線y=ln(2%)上，則IPQI的最小值為()A.1-ln2 B.<2(1-ln2) C.1+ln2 D.”'2(1+ln2)【2011,9］由曲線y=<1，直線y=%-2及y軸所圍成的圖形的面積為()TOC\o"1-5"\h\z10 16A.— B.4 C.— D.63 3二、填空題【2017,16］如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為0.D、E、F為圓0上的點(diǎn)，△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB，使得D,E,F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC.的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為.【2013,16］若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=—2對稱，則f(x)的最大值為.三、解答題(2018全國1卷) 已知函數(shù)f(x)=——x+alnx.x(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個極值點(diǎn)x,x，證明：f(x1)—f(x2)<a-2.1 2 x-x12【2017,12］已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.【2016,12］已知函數(shù)f(x)=(x—2)e+a(x-1)2有兩個零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x/x2是f(x)的兩個零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.1 ，、,【2015,12］已知函數(shù)f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.4(I)當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線；(II)用mn{m}n表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個數(shù).bex-1【2014,21］設(shè)函數(shù)f(x0=aexInx+——，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線為xy=e(x-1)+2.(I)求a,b； (I)證明：f(x)>1.【2013,21］設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值；(2)若x>—2時，f(x)<kg(x)，求k的取值范圍.1【2012,21］已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+-x2.1(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)>-x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.一alnxb【2011,21]已知函數(shù)f(x)= +，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+1xx+2y—3=0.(I)求a、b的值；lnxk(II)如果當(dāng)x>0，且x豐1時，f(x)> +—，求k的取值范圍.x-1x全國2卷一、填空題(2017-11)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1、的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1(2016-12)已知函數(shù)f(x)(xeR)滿足f(-x)=2-f(x)，若函數(shù)y=山與y=f(x)圖像的x交點(diǎn)為(交點(diǎn)為(x「yj,(x2,y2)，…，A.0 B.m(x,y)，則為(x.+y.)=()i=1C.2m D.4m\1+log(2-x)(x<1)TOC\o"1-5"\h\z(2065)設(shè)函數(shù)f(x)=1 % ，則f(-2)+f(log12)=( )[2x-1 (x>1) 2A.3 B.6 C.9 D.12(2015(2015?10)如圖，長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動，記NBOP=x.將動點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則f(x)的圖像大致為( )A. A. B. C.D.(2015.12)設(shè)函數(shù)尸(x)是奇函數(shù)f(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0,當(dāng)x>0時，xf(x)-f(狀0則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )A.(-8,-1)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+8)(-8,-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+8)

(2014?8)設(shè)曲線尸ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=()A.0B.1C.2D.3(2014?12)設(shè)函數(shù)f(x)八3sin空x，若存在f(x)的極值點(diǎn)x「滿足x2+[f(x)]2<m2，則m 00 0m的取值范圍是()A.(—9—6)U(6,+⑹B. (—9—4)U(4,+⑹ C. (—9—2)U(2,+⑹(f—1)U(4,+⑹)D.a>b>c(2013?8)設(shè)a=log6,b=)D.a>b>cA.c>b>aB.b>c>aC.a>c>b(2013-10)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯誤的是( )A.3xgR,f(x)=0B.函數(shù)y=f(；)的圖像是中心對稱圖形C.若x是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(-8,x)單調(diào)遞減D.若x是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x)=00 0(2012-10)已知函數(shù)f(x)=——1——，則y=f(x)的圖像大致為( )ln(x+1)-x1(2012-121(2012-12)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=5"上，點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上，則|PQ|的最小值為( )A.1-ln2B.<2(1-ln2)C.1+ln2 D.<2(1+ln2)(20112)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)單調(diào)遞增的函數(shù)是()A.y=x3b.y=1xI+1c.y=-x2+1d.y=2-1x1TOC\o"1-5"\h\z(20119)由曲線y="正，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為( )10 16A.— B.4 C.— D.63 3(201L12)函數(shù)y=—的圖像與函數(shù)y=2sin冗x,(-2<x<4)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之x-1和等于( )A.2和等于( )A.2B.4C.6D.8二、填空題(2014-15)已知偶函數(shù)f(x)在［0,+。)單調(diào)遞減，f(2)=0.若f(%-1)>0,則%的取值范圍是(2016?16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=.三、解答題(201721)已知函數(shù)f(%)=ax2-ax一%lnx,且f(x)>0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2Vf(x0)<2-2.x—2(201621)(1)討論函數(shù)f(x)=--ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x>0時，(x-2)ex+x+2>0；x+2(II)證明：當(dāng)ae[0,1)時，函數(shù)g(x)=土二竺』(x>0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a)，x2求函數(shù)h(a)的值域.(201521)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.(I)證明：f(x)在(-孫0)單調(diào)遞減，在(0,+s)單調(diào)遞增；(II)若對于任意xp,x2￡[-1,1],都有l(wèi)f(x1)-f(x2)I<e-1,求m的取值范圍.(2014-21)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.(I)討論f(x)的單調(diào)性；(I)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x)，當(dāng)x>0時，g(x)>0，求b的最大值；(111)已知1.4142<<2<1,4143，估計(jì)ln2的近似值(精確到0.001).(2013-21)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(I)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)