第四章 流體動(dòng)力學(xué)

1第四章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

任務(wù)：本章將討論作用在流體上的力和流體的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。

內(nèi)容：理想流體和粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程能量方程動(dòng)量方程動(dòng)量矩方程

方法：流體動(dòng)力學(xué)的研究方法是先從理想流體出發(fā)，再根據(jù)粘性流體的特性對(duì)推得的基本理論進(jìn)行補(bǔ)充和修正。

基礎(chǔ)：力學(xué)的基本原理：牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒與轉(zhuǎn)化定律、動(dòng)量及動(dòng)量矩定律。2第四章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程第二節(jié)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程第三節(jié)理想流體的伯努里方程第四節(jié)伯努里方程的能量意義和幾何意義第六節(jié)總流伯努里方程第七節(jié)伯努里方程的應(yīng)用第八節(jié)動(dòng)量方程3第一節(jié)理想流體的運(yùn)動(dòng)方程式

研究對(duì)象：理想流體的六面體，邊長(zhǎng)為dx、dy、dz。原理：4第一節(jié)理想流體的運(yùn)動(dòng)方程式

表面力質(zhì)量力位變加速度時(shí)變加速度5第二節(jié)粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程式理想流體+粘性＝粘性流體研究對(duì)象：理想流體的六面體，邊長(zhǎng)為dx、dy、dz。原理：6第二節(jié)粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程式對(duì)于不可壓縮流體，應(yīng)用連續(xù)方程7第三節(jié)理想流體的伯諾里方程

運(yùn)用上面得到的運(yùn)動(dòng)微分方程求解各種流動(dòng)問題時(shí)，需要對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行積分，但由于數(shù)學(xué)上的困難，目前還無(wú)法在一般情況下進(jìn)行。下面先討論在恒定條件下理想流體運(yùn)動(dòng)方程沿流線的積分。理想流體恒定流動(dòng)++

（dx,dy,dz)是流線上沿流動(dòng)方向一段弧長(zhǎng)，定常流動(dòng)時(shí)流線與跡線重合。8第三節(jié)理想流體的伯諾里方程上式左邊可改寫為：右邊后三項(xiàng)為不可壓縮流體，密度為常數(shù)9第三節(jié)理想流體的伯諾里方程最終原等式可寫成或質(zhì)量力有勢(shì)，勢(shì)函數(shù)W，即10第三節(jié)理想流體的伯諾里方程

在理想流體的恒定流動(dòng)中，同一流線上各點(diǎn)的

值是一個(gè)常數(shù)。其中W

是力勢(shì)函數(shù)，是不可壓縮流體的密度。從推導(dǎo)過程看，積分是在流線上進(jìn)行的，所以不同的流線可以有各自的積分常數(shù)，將它記作Cl，稱為流線常數(shù)。上式的積分為伯努利積分結(jié)論11第三節(jié)理想流體的伯諾里方程這是流體力學(xué)中普遍使用的方程。重力場(chǎng)中的伯努利積分伯努利積分可寫為或?qū)ν涣骶€上任意兩點(diǎn)1

和2

利用伯努利積分，即有伯努利方程12zuoo流線12第三節(jié)理想流體的伯諾里方程伯諾里方程是流體力學(xué)中最常用的公式之一，但在使用時(shí)，應(yīng)注意其限制條件：①理想不可壓縮流體；②作定常流動(dòng)；③作用于流體上的質(zhì)量力只有重力；④沿同一條流線(或微小流束)。13單位重量流體所具有的位置勢(shì)能（簡(jiǎn)稱單位位置勢(shì)能）單位重量流體所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能（簡(jiǎn)稱單位壓強(qiáng)勢(shì)能）單位重量流體所具有的總勢(shì)能（簡(jiǎn)稱單位總勢(shì)能）****************

歐拉方程各項(xiàng)的量綱是單位質(zhì)量流體受力，伯努利積分是歐拉方程的各項(xiàng)取了勢(shì)函數(shù)而得來的，即力對(duì)位移作積分，力勢(shì)函數(shù)是能量量綱，所以伯努利方程表示能量的平衡關(guān)系。

伯努利方程的物理意義****************第四節(jié)伯諾里方程的能量意義和幾何意義

伯努利方程14單位重量流體所具有的動(dòng)能（簡(jiǎn)稱單位動(dòng)能）單位重量流體所具有的總機(jī)械能（簡(jiǎn)稱單位總機(jī)械能）****************

在理想流體的恒定流動(dòng)中，同一流體質(zhì)點(diǎn)的單位總機(jī)械能保持不變。

在理想流體的恒定流動(dòng)中，位于同一條流線上任意兩個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的單位總機(jī)械能相等。拉格朗日觀點(diǎn)歐拉觀點(diǎn)第四節(jié)伯諾里方程的能量意義和幾何意義

伯努利方程15位置水頭壓強(qiáng)水頭測(cè)壓管水頭速度水頭總水頭

伯努利方程的幾何意義

伯努利積分各項(xiàng)都具有長(zhǎng)度量綱，幾何上可用某個(gè)高度來表示，常稱作水頭。****************伯努利方程第四節(jié)伯諾里方程的能量意義和幾何意義

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伯努利方程在流線上成立，也可認(rèn)為在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流體恒定元流的能量方程。

伯努利方程是能量守恒原理在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)，故被稱之為能量方程。

總機(jī)械能不變，并不是各部分能量都保持不變。三種形式的能量可以各有消長(zhǎng)，相互轉(zhuǎn)換，但總量不會(huì)增減。

伯努利方程可理解為：元流的任意兩個(gè)過水?dāng)嗝娴膯挝豢倷C(jī)械能相等。由于是恒定流，通過元流各過水?dāng)嗝娴馁|(zhì)量流量相同，所以在單位時(shí)間里通過各過水?dāng)嗝娴目倷C(jī)械能（即能量流量）也相等。第四節(jié)伯諾里方程的能量意義和幾何意義

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將各項(xiàng)水頭沿程變化的情況用幾何的方法表示出來。水頭線測(cè)壓管水頭線總水頭線位置水頭線oo水平基準(zhǔn)線理想流體恒定元流的總水頭線是水平的。第四節(jié)伯諾里方程的能量意義和幾何意義

18畢

托

管

測(cè)

速

元流能量方程的應(yīng)用舉例Ⅱ管AhBⅠ管u代入伯努利方程

假設(shè)

Ⅰ、Ⅱ管的存在不擾動(dòng)原流場(chǎng)。第四節(jié)伯諾里方程的能量意義和幾何意義

19

畢托管利用兩管測(cè)得總水頭和測(cè)壓管水頭之差——速度水頭，來測(cè)定流場(chǎng)中某點(diǎn)流速。********************************

實(shí)際使用中，在測(cè)得h，計(jì)算流速u

時(shí)，還要加上畢托管修正系數(shù)c，即

實(shí)用的畢托管常將測(cè)壓管和總壓管結(jié)合在一起。Ⅰ管——測(cè)壓管，開口方向與流速垂直。Ⅱ管——總壓管，開口方向迎著流速。Ⅰ管Ⅱ管Ⅰ管測(cè)壓孔Ⅱ管測(cè)壓孔思考為什么？第四節(jié)伯諾里方程的能量意義和幾何意義

20第四節(jié)伯諾里方程的能量意義和幾何意義補(bǔ)充例題一測(cè)量流速的皮托管如圖所示，設(shè)被測(cè)流體密度為ρ1，測(cè)壓管內(nèi)液體密度為ρ2，測(cè)壓管中液面高差為h。試證明所測(cè)流速證明:21第六節(jié)總流伯諾里方程

思路：從理想流體過渡到粘性流體，從微小流束擴(kuò)大到總流。在定常流動(dòng)時(shí),dm=dm1=dm2=ρgdQdt22對(duì)理想流體沿流線有二、沿流線法線方向壓力和速度的變化

問：壓力和速度沿流線法線方向的變化規(guī)律。研究對(duì)象：柱狀不可壓縮理想流體微團(tuán)。原理：(2)端面壓力的合力

(1)(3)重力的分力23二、沿流線法線方向壓力和速度的變化在接近于直線的流動(dòng)中，沿法線方向的壓力分布規(guī)律與平衡流體中的相同，均服從于流體靜力學(xué)基本方程。當(dāng)流線接近直線時(shí)，r→∞

沿法線r方向積分，得24二、沿流線法線方向壓力和速度的變化當(dāng)流線的曲率半徑很大或流體之間的夾角很小時(shí)，流線近似為平行直線，這樣的流動(dòng)稱為緩變流，否則稱為急變流。緩變流任意過流截面上流體靜壓力的分布規(guī)律與平衡流體中的相同，z+p/ρg＝常數(shù)。25三、總流伯諾里方程

設(shè)截面1、2在緩變流區(qū)，ρ=C，則因?yàn)榱鲃?dòng)定常，上式中的dt可約去。26三、總流伯諾里方程

設(shè)截面1、2在緩變流區(qū)，ρ=C，則27三、總流伯諾里方程應(yīng)用條件：①不可壓縮流體；②作定常流動(dòng)；③重力場(chǎng)中；④緩變流截面。⑤中途無(wú)流量出、入，如有方程式仍近似成。⑥中途無(wú)能量出、入。28三、總流伯諾里方程注意事項(xiàng)：

①zi、pi是成對(duì)參數(shù)。②γ是運(yùn)動(dòng)流體的重度。③H與上游參數(shù)結(jié)合；④hw與下游參數(shù)結(jié)合。⑤z1、z2基準(zhǔn)相同、且是水平面。⑥p1、p2同為相對(duì)壓強(qiáng)或絕對(duì)壓強(qiáng)。29三、總流伯諾里方程應(yīng)用步驟：①取緩變流截面。（取研究對(duì)象）要求己知參數(shù)要多，并包括要求解的問題。②取基準(zhǔn)面。（水平面）取低一些，使z為正。③確定p的基準(zhǔn)（相對(duì)或絕對(duì)）。當(dāng)流動(dòng)流體是氣體時(shí)，應(yīng)用絕對(duì)壓強(qiáng)。如用相對(duì)壓強(qiáng)方程式的形式為：④列方程。⑤解方程。30三、總流伯諾里方程1122z1z2p1、p2必須是相對(duì)壓強(qiáng)。31三、總流伯諾里方程設(shè)t時(shí)刻單位質(zhì)量的流體在1-1截面的總機(jī)械能是E1t；在t+Δt時(shí)刻它運(yùn)動(dòng)到2-2截面，總機(jī)械能是E2t+Δt；設(shè)流體是理想的，則

E1t＝E2t+Δt若流動(dòng)定常，則

E2t＝E2t+Δt所以E1t＝E2t設(shè)流體是粘性的，則32第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題二設(shè)水箱中的水通過圖示的等徑管路出流，設(shè)H=4m，d=25mm，求管路未端的流速和出流的流量。(不計(jì)損失)解：①取緩變流截面，1-1，2-2。②取基準(zhǔn)面，0-0。③確定p的基準(zhǔn)，相對(duì)或絕對(duì)。④列方程。⑤解方程。H11220033第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題三

20℃的水通過虹吸管從水箱吸至B點(diǎn)。虹吸管直徑d1=60mm，出口B處噴嘴直徑d2＝30mm。當(dāng)hi=2m、h2=4m時(shí)，在不計(jì)水頭損失條件下，試求流量和C點(diǎn)的壓強(qiáng)。解：①取緩變流截面，1-1，2-2。②取基準(zhǔn)面，2-2。③確定p的基準(zhǔn)，相對(duì)或絕對(duì)。④列方程。34第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題三

20℃的水通過虹吸管從水箱吸至B點(diǎn)。虹吸管直徑d1=60mm，出口B處噴嘴直徑d2＝30mm。當(dāng)hi=2m、h2=4m時(shí)，在不計(jì)水頭損失條件下，試求流量和C點(diǎn)的壓強(qiáng)。解：①取緩變流截面，2-2，3-3。②取基準(zhǔn)面，2-2。③確定p的基準(zhǔn)，相對(duì)或絕對(duì)。④列方程。35第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題三

20℃的水通過虹吸管從水箱吸至B點(diǎn)。虹吸管直徑d1=60mm，出口B處噴嘴直徑d2＝30mm。當(dāng)hi=2m、h2=4m時(shí)，在不計(jì)水頭損失條件下，試求流量和C點(diǎn)的壓強(qiáng)。解：④列方程。36第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題四軸流風(fēng)機(jī)的直徑d=2m，在流線型鐘形進(jìn)口斷面上裝有水測(cè)壓計(jì)，讀數(shù)Δh＝20mm，鐘形進(jìn)口的局部損失0.05v2/2g，設(shè)空氣密度為1.2kg/m3，求氣流流速。解：①取緩變流截面1-1，2-2。②取基準(zhǔn)面0-0。③確定p的基準(zhǔn)，相對(duì)或絕對(duì)。④列方程。Δh11220037第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題五用文丘里流量計(jì)測(cè)量水的流量，已知D=0.2m，d＝75mm，l=0.5m，并與水平面成300角放置。壓差計(jì)讀數(shù)h＝0.6m,不計(jì)任何損失,求流量qv。ρ1=1000kg/m3，ρ2=13600kg/m3。解：AI-I截面是緩變流截面，所以有且A點(diǎn)既可看成在管路中，又可看成在測(cè)壓管中，所在在圖示路徑上靜力學(xué)基本方程仍然適用。同理38第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題五用文丘里流量計(jì)測(cè)量水的流量，已知D=0.2m，d＝75mm，l=0.5m，并與水平面成300角放置。壓差計(jì)讀數(shù)h＝0.6m,不計(jì)任何損失,求流量qv。ρ1=1000kg/m3，ρ2=13600kg/m3。解：根據(jù)連續(xù)方程根據(jù)能量方程39第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題五用文丘里流量計(jì)測(cè)量水的流量，已知D=0.2m，d＝75mm，l=0.5m，并與水平面成300角放置。壓差計(jì)讀數(shù)h＝0.6m,不計(jì)任何損失,求流量qv。ρ1=1000kg/m3，ρ2=13600kg/m3。解：40第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題六

氣體由壓強(qiáng)p=12mm水柱的靜壓箱沿直徑d=100mm,長(zhǎng)度L＝100m的管路輸出，已知高差H=40m,壓力損失Δp＝9γv2/2g，求流速。（1）氣體容重與外界大氣相同,γ=γa＝11.8N/m3時(shí);(2)氣體容重γ=7.8N/m3時(shí)。解:（1）氣體容重與外界大氣相同41第六節(jié)總流伯諾里方程補(bǔ)充例題六

氣體由壓強(qiáng)p=12mm水柱的靜壓箱沿直徑d=100mm,長(zhǎng)度L＝100m的管路輸出，已知高差H=40m,壓力損失Δp＝9γv2/2g，求流速。（1）氣體容重與外界大氣相同,γ=γa＝11.8N/m3時(shí);(2)氣體容重γ=7.8N/m3時(shí)。解:（2）氣體容重γ=7.8N/m3時(shí)42例4-1

某礦井輸水高度Hs+Hd=300m，排水管直徑d2=0.2m,流量Q=200m3/h，總水頭損失hw=0.1H，試求水泵揚(yáng)程H應(yīng)為多少?(揚(yáng)程是單位重量流體流經(jīng)泵時(shí)獲得的能量)解：1.取研究截面1-1、2-2

2.取基準(zhǔn)面1-1

3.取相對(duì)壓強(qiáng)。

4.列方程H=337m礦水43例4-2

圖示為一軸流風(fēng)機(jī)，已測(cè)得進(jìn)口相對(duì)壓力p1=-103Pa，出口相對(duì)壓力p2=150Pa。設(shè)截面1-2間壓力損失100Pa，求風(fēng)機(jī)的全壓P(P為風(fēng)機(jī)輸送給單位體積氣體的能量)。解：

44Hd第七節(jié)孔口及管嘴出流

一、孔口出流的分類小孔口出流大孔口出流定常出流非定常出流45第七節(jié)孔口及管嘴出流

一、孔口出流的分類Hδd有限空間出流無(wú)限空間出流薄壁孔口出流管嘴出流自由出流淹沒出流46二、定常薄壁小孔口自

由無(wú)限空間出流第七節(jié)孔口及管嘴出流

出流特點(diǎn)：自由出流、出口收縮。

Ca=A1/A

＝0.62~0.64A:孔口面積作用水頭流速系數(shù)Cv＝0.96~0.99理論流速實(shí)際流速47二、定常薄壁小孔口自

由無(wú)限空間出流第七節(jié)孔口及管嘴出流

出流特點(diǎn)：自由出流、出口收縮。

Ca=A1/A

＝0.62~0.64A:孔口面積實(shí)際流量流量系數(shù)Cq=0.60~0.62理論流量48第七節(jié)孔口及管嘴出流Cd(3～4)dvCvc三.圓柱形外伸管嘴出流出流特點(diǎn)：管內(nèi)收縮,自由滿管出流，出口無(wú)收縮。Ca=A1/A=1，但Ac/A<10011H49第七節(jié)孔口及管嘴出流Cd(3~4)dvCvc三.圓柱形外伸管嘴出流出流特點(diǎn)：管內(nèi)收縮、自由滿管出流、出口無(wú)收縮。Ca=10011H

由于收縮斷面在管嘴內(nèi)，壓強(qiáng)要比孔口出流時(shí)的零壓低，必然會(huì)提高吸出流量的能力。50第八節(jié)動(dòng)量方程

原理：動(dòng)量定律（拉）任務(wù)：將上式轉(zhuǎn)換到歐拉方法體系中。51第八節(jié)動(dòng)量方程

t時(shí)刻系統(tǒng)及控制體t+Δt時(shí)刻系統(tǒng)Δt時(shí)間內(nèi)流入控制體流體的動(dòng)量Δt時(shí)間內(nèi)流出控制體流體的動(dòng)量t時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量是定常流動(dòng)t+Δt時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量是52第八節(jié)動(dòng)量方程

Δt時(shí)間內(nèi)流入控制體流體的動(dòng)量Δt時(shí)間內(nèi)流出控制體流體的動(dòng)量xy53第八節(jié)動(dòng)量方程

Δt時(shí)間內(nèi)流入控制體流體的動(dòng)量Δt時(shí)間內(nèi)流出控制體流體的動(dòng)量xy設(shè)流動(dòng)為定常不可壓，則54第八節(jié)動(dòng)量方程

Δt時(shí)間內(nèi)流入控制體流體的動(dòng)量Δt時(shí)間內(nèi)流出控制體流體的動(dòng)量xy55第八節(jié)動(dòng)量方程

xyxy管壁對(duì)流體的作用力流體對(duì)管壁的作用力56第八節(jié)動(dòng)量方程應(yīng)用條件：①流動(dòng)定常。②流體不可壓。應(yīng)用步驟：①取研究對(duì)象。②建立坐標(biāo)系。③分析速度。④分析受力。⑤列方程。⑥解方程。注意事項(xiàng)：①用相對(duì)壓強(qiáng)。②在固結(jié)在地面的慣性坐標(biāo)系中。③用絕對(duì)速度。57第八節(jié)動(dòng)量方程水流經(jīng)一彎管流入大氣，已知：d1=100mm，d2=75mm，v2=23m/s，水的重度為104N/m3，求彎管上受到的力(不計(jì)損失，不計(jì)重力)。

解：xy58第八節(jié)動(dòng)量方程水流經(jīng)一水平放置的彎管流入大氣，已知：d1=100mm，d2=75mm，v2=23m/s，水的重度為104N/m3，求彎管上受到的力(不計(jì)損失，不計(jì)重力)。

解：xy②①③④59第八節(jié)動(dòng)量方程水流經(jīng)一水平放置的彎管流入大氣，已知：d1=100mm，d2=75mm，v2