空間向量巧解平行、垂直關(guān)系

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案高中數(shù)學(xué) 空間向量巧解平行、垂直關(guān)系編稿老師 詠霞 一校 黃楠 二校 雪 審核 建彬一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說(shuō)明能夠運(yùn)用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行或垂直。2.理解直線的方向向量與平面的注意用向量方選擇題法解決平行和垂直空間向量巧解法向量。3.填空題問(wèn)題中坐標(biāo)系的建平行、垂直關(guān)系能用向量方法解決線面、面面的解答題立以及法向量的求垂直與平行問(wèn)題，體會(huì)向量方法在法。立體幾何中的作用。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：用向量方法判斷有關(guān)直線和平面的平行和垂直關(guān)系問(wèn)題。難點(diǎn)：用向量語(yǔ)言證明立體幾何中有關(guān)平行和垂直關(guān)系的問(wèn)題。考點(diǎn)一：直線的方向向量與平面的法向量1.直線l上的向量a或與a共線的向量叫作直線l的方向向量。2.如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面α，記作a⊥α，此時(shí)向量 a叫作平面α的法向量?！竞诵臍w納】精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案①一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，一個(gè)平面的法向量也有無(wú)數(shù)多個(gè)，且它們是共線的。②在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的平面是唯一確定的?！倦S堂練習(xí)】已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），則平面ABC的一個(gè)法向量的單位向量是（）A.（1，1，1）B.(3,3,3)333C.(1,1,1)D.(3,3,3)333333思路分析：設(shè)出法向量坐標(biāo)，列方程組求解。uuuruuur答案：設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），AB＝（0，－1，1），BC＝（－uuuryz0uuurAB·nuuurxy0，∴x＝y(tǒng)＝z，1，1，0），AC＝（－1，0，1），則BC·nuuurxz0AC·n又∵單位向量的模為1，故只有B正確。技巧點(diǎn)撥：一般情況下，使用待定系數(shù)法求平面的法向量，步驟如下：（1）設(shè)出平面的法向量為n＝（x，y，z）。（2）找出（求出）平面的兩個(gè)不共線的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。（3）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組n·a0n·b0.（4）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量。考點(diǎn)二：用向量法證明空間中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l，m的方向向量分別為a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，線線平行，b1，c1）＝k（a2，b2，c2）b2，c2），則l∥m?a∥b?（a1設(shè)l的方向向量為a＝（a1，b1，c1），α的法向量為u＝（a2，b2，c2），線面平行則l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0設(shè)α，β的法向量分別為 u＝（a1，b1，c1），v＝（a2，b2，c2），面面平行則α∥β?u∥v?（a1，b1，c1）＝k（a2，b2，c2）設(shè)兩條不重合的直線 l，m的方向向量分別為 a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，線線垂直b2，c2），則l⊥m?a⊥b?a·b＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0設(shè)l的方向向量為 a＝（a1，b1，c1），α的法向量為 u＝（a2，b2，c2），線面垂直則l⊥α?a∥u?a＝ku?（a1，b1，c1）＝k（a2，b2，c2）（k∈R）設(shè)α，β的法向量分別為 u＝（a1，b1，c1），v＝（a2，b2，c2），面面垂直則α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【核心突破】①用向量法解決立體幾何問(wèn)題是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想。②用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲” ：建立立體圖形與空間通過(guò)向量運(yùn)算，研究把向量的運(yùn)算結(jié)果向量的聯(lián)系，用空間點(diǎn)、直線、平面之間“翻譯”成相應(yīng)的幾向量表示問(wèn)題中涉及的位置關(guān)系以及它們何意義。的點(diǎn)、直線、平面，之間的距離和夾角等把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化問(wèn)題。為向量問(wèn)題。例題1 （改編）如圖，在四面體 A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC。證明：PQ∥平面BCD。思路分析：利用直線的方向向量和平面的法向量垂直證明線面平行。答案：證明：如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD、OP所在射線為y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz。由題意知，A（0，2，2），B（0，－2，0），D（0，2，0）。uuuruuur3x0,23y0,1設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，y0，0）。因?yàn)锳Q3QC，所以Q。4442因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，故M（0，2，1），又P為BM的中點(diǎn)，故P0,0,1，2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案uuur323。所以PQ＝44y0,04x0,uuur又平面BCD的一個(gè)法向量為a＝（0，0，1），故PQ·a＝0。又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD。技巧點(diǎn)撥：解決此類(lèi)問(wèn)題的依據(jù)是要根據(jù)線面平行的判定定理，可證直線的方向向量與平面某一向量平行，也可證直線的方向向量與平面的法向量垂直。例題2 如圖所示，正三棱柱（底面為正三角形的直三棱柱） ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)。求證： AB1⊥平面A1BD。思路分析：證明線面垂直可以通過(guò)證明線與面的法向量平行來(lái)實(shí)現(xiàn)。答案：證明：如圖所示，取 BC的中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以 AOBC?！咴谡庵鵄BC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，uuuruuuuruuur取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OO1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，2，3），A（0，0，3），B1（1，2，0）。uuuruuuruuurBA1＝（－1，2，3），BD＝（－2，1，0）。AB1=（1，2，3）設(shè)平面A1BD的法向量為n＝（x，y，z），uuuruuuruuurnBA10x2y3z0因?yàn)閚⊥BA1，n⊥BD，故uuur02xy0，nBD令x＝1，則y＝2，z＝－3，故n＝（1，2，－3）為平面A1BD的一個(gè)法向量，uuuruuuruuur而AB1＝（1，2，－3），所以AB1＝n，所以AB1∥n，故AB1⊥平面A1BD。技巧點(diǎn)撥：解決此類(lèi)問(wèn)題的依據(jù)是要根據(jù)線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面的法向量平行。例題3如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案思路分析：建系寫(xiě)出坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)平面垂直。答案：證明：由題意得 AB，BC，B1B兩兩垂直，以 B為原點(diǎn)，分別以 BA，BC，BB1所在直線為 x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），C1（0，2，1），E（0，0，1），uuuruuuruuuuruuur2則AA1＝（0，0，1），AC＝（－2，2，0），AC1＝（－2，2，1），AE＝（－2，0，1）。2uuurz0設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1·AA10n1＝（x，y，z），則uuur2x2y0n1·AC0令x＝1，得y＝1，∴n1＝（1，1，0）。設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為n2＝（x0，y0，z0），則uuuur2x02y0z00n2·uuurAC102x01z00n2·AE02精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案令z0＝4，得x0＝1，y0＝－1?！鄋2＝（1，－1，4）?！遪1·n2＝1×1＋1×（－1）＋0×4＝0，∴n1⊥n2.∴平面AEC1⊥平面AA1C1C。技巧點(diǎn)撥：利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個(gè)途徑， 一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直； 二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直。向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系。恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只須經(jīng)過(guò)向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度。利用向量解決立體幾何中的探索性問(wèn)題【滿分訓(xùn)練】在體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，棱BB1上是否存在一點(diǎn)M，使得D1M⊥平面EFB1。思路分析：設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用線面垂直列方程組求解。答案：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)體的棱長(zhǎng)為2，則E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2）。uuuruuuruuuuur設(shè)M（2，2，m），則EF＝（－1，1，0），B1E＝（0，－1，－2），D1M＝（2，2，m－2）?！逥1M⊥平面EFB1，∴D1M⊥EF，D1M⊥B1E，uuuuuruuuruuuuuruuur∴D1M·EF＝0且D1M·B1E＝0，于是220，∴m＝1。22(m2)0故取B1B的中點(diǎn)為M就能滿足DM⊥平面EFB。11技巧點(diǎn)撥：對(duì)于“是否存在”型問(wèn)題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件做出判斷，再精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案進(jìn)一步論證。另一種是利用空間向量， 先設(shè)出假設(shè)存在的點(diǎn)的坐標(biāo)， 再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在” 。（答題時(shí)間：40分鐘）1.（東營(yíng)高二檢測(cè)） 已知平面α的法向量為 a＝（1，2，－2），平面β的法向量為 b＝（－2，－4，k），若α⊥β，則k＝（ ）A.4 B.－4 C.5 D.－5uuur uuur uuur2.（高二檢測(cè)）若 AB＝λCD＋μCE，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是（ ）A.相交 B.平行 C.在平面 D.平行或在平面uuur uuur uuur uuur uuur已知AB＝（1，5，－2），BC＝（3，1，z），若AB⊥BC，BP＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為（ ）33，－15401540，－2，4D.4，40A.，4B.，－，4C.，－15777777（模擬）如圖，已知體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝1。（1）求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；2（2）若點(diǎn)G在BC上，BG＝ ，點(diǎn)M在BB1上，GM⊥BF，垂足為 H，求證：EM3⊥平面BCC1B1。5.下列命題中，正確的是________。（填序號(hào)）①若n1，n2分別是平面α，β的一個(gè)法向量，則n1∥n2α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的一個(gè)法向量，則α⊥βn1·n2＝0；精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案③若n是平面α的一個(gè)法向量， a與平面α共面，則n·a＝0；④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直。uuur uuur uuur uuur uuur平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A，B，C，D，已知（DB＋DC－2DA）（·AB－AC）＝0，則△ABC的形狀是 三角形。7.如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中點(diǎn)。在DD1上是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥DC1？并說(shuō)明理由。（調(diào)研卷）如圖所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為 1的形，側(cè)棱 A1A＝2。（1）證明：AC⊥A1B；uuuruuur（2）是否在棱A1A上存在一點(diǎn)P，使得APPA1，且面AB1C1⊥面PB1C1。＝λ精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案D解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5。uuur uuur uuur uuur uuur uuurD解析：∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面。uuuruuuruuuruuur3.B解析：∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，解得z＝4，40uuuruuuruuuruuurx15y60x7。又∵BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，則3x1y12，解得150y7證明：（1）以B為原點(diǎn)，以BA，BC，BB1為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間uuur直角坐標(biāo)系 B-xyz，則B（0，0，0），E（3，0，1），F(xiàn)（0，3，2），D1（3，3，3），則BEuuur uuuur uuuur uuur uuur＝（3，0，1），BF＝（0，3，2），BD1＝（3，3，3），所以BD1＝BE＋BF。由向量共面的充要條件知E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面。（2）設(shè)M（0，0，z0），G 0,2,03

，則GM＝0,2uuur,z0，而B(niǎo)F＝（0，3，2），3uuur2＝1。故M（0uuurBF＝－00，0，1），有ME＝（3，30，0）。uuuruuuruuuruuuruuuruuur又BB1＝（0，0，3），BC＝（0，3，0），所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC。又BB1∩BC＝B，故EM⊥平面BCC1B1。②③④解析：②③④一定正確，①中兩平面有可能重合。uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur6.等腰 解析：（DB＋DC－2DA）（·AB－AC）＝（DB－DA＋DC－DA）·CBuuur uuur uuur＝（AB＋AC）·CB＝0，故△ABC為等腰三角形。解：如圖所示，建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸的坐標(biāo)系，則C1（0，2，3），M（1，2，0），D（0，