材料力學(xué)-5 -彎曲應(yīng)力

第五章彎曲應(yīng)力§5–1引言§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力§5–3梁橫截面上的切應(yīng)力§5–4梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的合理截面§5–5非對稱截面梁的平面彎曲開口薄壁截面的彎曲中心§5–6考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩§5－１引言1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力Q

切應(yīng)力t彎矩M

正應(yīng)力s平面彎曲時(shí)橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)2、研究方法縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：

某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaaABQMxx純彎曲(PureBending):§5－2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)

橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM橫截面上只有正應(yīng)力。

平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。

（可由對稱性及無限分割法證明）3.推論2.兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。A1B1O1O4.幾何方程：

abcdABdqrxy)))OO1)

（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。sxsx（三）靜力學(xué)關(guān)系：……(3)EIz桿的抗彎剛度?！?3)面積矩與形心位置慣性矩、慣性積慣性矩和慣性積的平行移軸定理截面的主慣性軸和主慣性矩二、截面的幾何性質(zhì)（一）面積（對軸）矩：(與力矩類似)

是面積與它到軸的距離之積。dAxyyx（二）形心：(等厚均質(zhì)板的質(zhì)心與形心重合。)dAxyyx等厚均質(zhì)質(zhì)心：等于形心坐標(biāo)（三）慣性矩：

是面積與它到軸的距離的平方之積。

dAxyyxr

（四）極慣性矩：是面積對極點(diǎn)的二次矩。dAxyyxr

（五）慣性積：面積與其到兩軸距離之積。如果x或y

是對稱軸，則Ixy=0（六）平行移軸定理：以形心為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸如圖dAxyyxrabCxCyC注意:C點(diǎn)必須為形心(七)簡單截面的慣性矩

DBHxyxyDdbBhHxyxy例2

求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解：求解此題有兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識(shí)求。B

建立形心坐標(biāo)如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。AdxyO三、最大正應(yīng)力：……(5)DdDd=abBhH例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1—1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩30q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求應(yīng)力18030xM+求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030xM+§5－3梁橫截面上的切應(yīng)力一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)：

切應(yīng)力與剪力平行；

距中性軸等距離處，切應(yīng)力

相等。2、研究方法：分離體平衡。

在梁上取微段如圖b；

在微段上取一塊如圖c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖cFx=0-

(dx)=0N*+dN*-N*N*+dN*N*

(dx)dxx-

(dx)=0N*+dN*-N*其中N*＝xdAA

*N*+dN*=(x+dx)dAA

*x=MzyIz

Sz*

=ydAA*N*+dN*N*

(dx)=MzIzSz*由切應(yīng)力互等Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植迹馗叨萮分布為拋物線。最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;切應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：其中Q為截面剪力；Sz為y點(diǎn)以下的面積對中性軸之靜矩；Iz為整個(gè)截面對z軸之慣性矩；δ

為y點(diǎn)處截面寬度。2、幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力①工字鋼截面：;?maxAQtf結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。鉛垂切應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大切應(yīng)力Af—腹板的面積。;?maxAQtf②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：exyzPQeQeh§5-4

梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件?梁的合理截面1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。QtsssMt一、梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件2、正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個(gè)可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：sMQtts4、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力。梁的跨度較短，M

較小，而Q較大時(shí)，要校核切應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。、校核強(qiáng)度：?校核強(qiáng)度：?設(shè)計(jì)截面尺寸：?設(shè)計(jì)載荷：解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。q=3.6kN/mABL=3mQ–+xxM+求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比q=3.6kN/mQ–+xxM+y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力例3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4

，試校核此梁的強(qiáng)度。并說明T字梁怎樣放置更合理？畫危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核強(qiáng)度T字頭在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x2.5kNm-4kNmM二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著?營造法式?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著?自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為bh強(qiáng)度：正應(yīng)力：切應(yīng)力：1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面其它材料與其它截面形狀梁的合理截面zDzaazD0.8Da12a1z工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22a2z

對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險(xiǎn)截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGz（二）采用變截面梁，如下圖：最好是等強(qiáng)度梁，即若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為同時(shí)Pxy1zCyCy2例4梁及截面如圖，y2=2y1，IZC、q、L均已知，[y]=3[L]、試確定a的合理長度；如果y2=4y1，a的合理長度又是多少？解：彎矩如圖.

危險(xiǎn)面的應(yīng)力同時(shí)達(dá)到極限狀態(tài)合理。aqaMxM1M2LABD1xD2D3y1zCyCy2aqaLABD1xD2D3時(shí)，合理。如果y2=4y1，

a的合理長度又是多少？MxM1M24

La=時(shí)，合理。D1xD2D3MxM1M2三、合理布置外力（包括支座），使M

max

盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5對稱MxqL2/10§5-5

非對稱截面梁的平面彎曲?開口薄壁截面的彎曲中心幾何方程與物理方程不變。PxyzO依此確定正應(yīng)力計(jì)算公式。切應(yīng)力研究方法與公式形式不變。彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點(diǎn)。（如前述坐標(biāo)原點(diǎn)O）PxyzO槽鋼：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，,若是橫向力，還必須過彎曲中心。exyzPPsMQe彎曲中心的確定:(1)雙對稱軸截面，彎心與形心重合。(2)反對稱截面，彎心與反對稱中心重合。(3)若截面由兩個(gè)狹長矩形組成，彎心與兩矩形長中線交點(diǎn)重合。(4)求彎心的普遍方法：CCCQyeCssss§5-6

考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設(shè)。sessss理想彈塑性材料的s-e