【走向高考】高三數(shù)學一輪復習 121計數(shù)原理與概率課件（北師大）

1．排列與組合是中學數(shù)學中相對獨立性較強的一部分，也是密切聯(lián)系實際較強的一部分，一直是高考必考內容．從近幾年各地高考試題看，預計仍會出排列、組合試題，試題的難度為“較易”到“中等”程度；排列、組合的試題仍會以現(xiàn)實生活中的生產問題、經(jīng)濟問題等為背景．2．歷年高考的二項式定理試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習題遷移的改編題，是多年來缺少變化的試題；考查內容還是以每年考的幾方面為主，難度不大；重點考查的內容主要有：求多項式系數(shù)和、求某項系數(shù)、求二項式中的參數(shù)值、求常數(shù)項，有理項系數(shù)最大項、求整數(shù)余數(shù)、求近似值；試題常以選擇或填空形式出現(xiàn)，有時解答題也會涉及到這些內容，難度與課本習題相當．3．古典概型與幾何概型是兩種最基本的概率問題，是高考重點關注的一個點，但深度有限．幾何概型只要求會解決與長度、面積、體積相關的概率問題，重點是理解概率、學會轉化、計算準確快捷，不宜過于深化與拓展．4．隨機變量及其分布在高考中多以解答題的形式出現(xiàn)，分值一般在12分左右，屬中、低檔題．重點考查離散型隨機變量的分布列，以及由此分布列求隨機變量的均值、方差，特別是二項分布．1．(1)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是計數(shù)問題的基本原理，它貫穿于本單元學習的始終，體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即把問題分類解決或分步解決，是本單元學習的重點．(2)正確區(qū)分使用兩個原理是學好本單元的關鍵．區(qū)分“分類”與“分步”的依據(jù)在于能否“一次性”完成．若能“一次性”完成，則不需“分步”，只需分類；否則，就分步處理.2．二項式定定理是一個恒恒等式，對待待恒等式通常常有兩種思路路：一是利用用恒等定理(兩個多項式式恒等，則對對應項系數(shù)相相等)；二是是賦值．這兩兩種思路相結結合可以使很很多二項式展展開式的系數(shù)數(shù)問題迎刃而而解(要注意意二項式系數(shù)數(shù)與二項式展展開式的系數(shù)數(shù)之間的區(qū)別別)．3．(1)概概率問題應用用廣泛，貼近近生活，本部部分知識既有有必修內容，，也有選修內內容．隨著高高考改革的不不斷深入，概概率問題正逐逐步成為高考考的熱點內容容．(2)解決概概率應用問題題時，首先熟熟悉幾種常見見的概率類型型，熟練掌握握其計算公式式；其次還要要弄清問題所所涉及的事件件有什么特點點，事件之間間有什么聯(lián)系系．4．求隨機變變量的分布列列，重要的基基礎是概率的的計算，如古古典概率、互互斥事件概率率、相互獨立立事件同時發(fā)發(fā)生的概率，，n次獨立重復試試驗有k次發(fā)生的概率率等．5．對離散型型隨機變量的的方差應注意意：(1)DX表示隨機變量量X對EX的平均偏離程程度，DX越大，表明平平均偏離程度度越大，說明明X的取值越分散散，反之DX越小，X的取值越集中中，在EX附近，統(tǒng)計中中常用來來描述ξ的分散程度；；(2)DX與EX一樣也是一個個實數(shù)，由X的分布列唯一一確定．考綱解讀1．理解分類類加法計數(shù)原原理和分步乘乘法計數(shù)原理理．2．會用分類類加法計數(shù)原原理或分步乘乘法計數(shù)原理理分析和解決決一些簡單的的實際問題.考向預測1．對兩個原原理的考查一一般只在選擇擇、填空題中中出現(xiàn)．2．注意分類類討論思想和和補集思想的的應用．知識梳理1．分類加法計數(shù)數(shù)原理完成一件事，，可以有n類辦法，在第第一類辦法中中有m1種方法，在第第二類辦法中中有m2種方法，………，在第n類辦法中有mn種方法，完成成這件事共有有N＝種方法(也稱稱加法原理)．2．分步乘法計數(shù)數(shù)原理完成一件事，，需要經(jīng)過n個步驟，缺一一不可，做第第一步有m1種方法，做第第二步有m2種方法，………，做第n步有mn種方法，那么么，完成這件件事共有N＝種方法(也稱稱乘法原理)．m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3．分類加法法計數(shù)原理與與分步乘法計計數(shù)原理，都都涉及的不同方法的的種數(shù)，它們們的區(qū)別在于于：分類加法法計算原理與與有關，，各種種方法法，用其其中的的任一一種方方法都都可以以完成成這件件事；；分步步乘法法計算算原理理與有關，，各個個步驟驟，只有有各個個步驟驟都完完成了了，這這件事事才算算完成成．完成一一件事事情分類相互獨獨立分步相互依依存基礎自自測1．(2009年全全國卷卷Ⅱ)甲、、乙兩兩人從從4門門課程程中各各選修修2門門，則則甲、、乙所所選的的課程程中恰恰有1門相相同的的選法法有()A．6種B．．12種C．24種種D．．30種[答案案]C[解析析]4門課課程，，有1門相相同，，則4種選選法，，不同同的課課程選選法，，甲有有3門門，乙乙就有有2門門，所所以共共有4×3×2＝24(種)．2．某銀行行儲蓄蓄卡的的密碼碼是一一個4位數(shù)數(shù)碼，，某人人采千千位、、百位位上的的數(shù)字字之積積作為為十位位、個個位上上的數(shù)數(shù)字(如2816)的方方法設設計密密碼，，當積積為一一位數(shù)數(shù)時，，十位位上數(shù)數(shù)字選選0，，千位位、百百位上上都能能取0.這這樣設設計出出來的的密碼碼共有有()A．90個個B．．99個C．100個D．112個[答案案]C[解析析]由于千千位、、百位位確定定下來來后十十位、、個位位就隨隨之確確定，，則只只考慮慮千位位、百百位即即可，，千位位、百百位各各有10種種選擇擇，所所以有有10×10＝＝100(個)．[答案案]A[解析析]本題主主要考考查分分步計計數(shù)原原理知知識.1名名同學學有5種選選擇，，則6名同同學共共有56種選擇擇．4．(2011·哈哈爾濱濱模擬擬)有有A、B兩種類類型的的車床床各一一臺，，現(xiàn)現(xiàn)有甲甲、乙乙、丙丙三名名工人人，其其中甲甲、乙乙都會會操作作兩種種車床床，丙丙只會會操作作A種車床床，先先從三三名工工人中中選2名分分別去去操作作以上上車床床，則則不同同的選選派方方法有有()A．．6種種B．．5種種C．．4種種D．．3種種[答答案案]C[解解析析]若選選甲甲、、乙乙2人人，，則則包包括括甲甲操操作作A車床床，，乙乙操操作作B車床床或或甲甲操操作作B車床床，，乙乙操操作作A車床床，，共共有有2種種選選派派方方法法；；若若選選甲甲、、丙丙2人人，，則則只只有有甲甲操操作作B車床床，，丙丙操操作作A車床床這這1種種選選派派方方法法；；若若選選乙乙、、丙丙2人人，，則則只只有有乙乙操操作作B車床床，，丙丙操操作作A車床床這這1種種選選派派方方法法．．∴共有有2＋＋1＋＋1＝＝4(種種)不不同同的的選選派派方方法法．．5．古古代代““五五行行””學學認認為為：：““物物質質分分金金、、木木、、土土、、水水、、火火五五種種屬屬性性，，金金克克木木，，木木克克土土，，土土克克水水，，水水克克火火，，火火克克金金．．””將將五五種種不不同同屬屬性性的的物物質質任任意意排排成成一一列列，，但但排排列列中中屬屬性性相相克克的的兩兩種種物物質質不不相相鄰鄰，，則則這這樣樣的的排排列列方方法法有有________種種(結結果果用用數(shù)數(shù)字字表表示示)．．[答答案案]10[解解析析]把“金、、木木、、土土、、水水、、火火”用“1,2,3,4,5”代替替：：以以“1”開頭頭的的排排法法只只有有“1,3,5,2,4”或“1,4,2,5,3”兩種種，，同同理理以以其其他他數(shù)數(shù)開開頭頭的的排排法法都都是是2種種，，所所以以共共有有2×5＝＝10(種種)．．6．甲甲、、乙乙兩兩個個自自然然數(shù)數(shù)的的最最大大公公約約數(shù)數(shù)為為60，，則則甲甲、、乙乙兩兩個個數(shù)數(shù)的的公公約約數(shù)數(shù)有有________個個．．[答答案案]12[解解析析]兩數(shù)數(shù)的的公公約約數(shù)數(shù)一一定定是是最最大大公公約約數(shù)數(shù)60的的約約數(shù)數(shù)，，∵60＝＝22×3×5，，故故得得到到甲甲、、乙乙兩兩數(shù)數(shù)的的一一個個公公約約數(shù)數(shù)需需分分三三步步．．第一一步步，，確確定定有有幾幾個個2，，共共3種種方方法法；；第第二二步步，，確確定定有有幾幾個個3，，共共2種種方方法法；；第第三三步步，，確確定定有有幾幾個個5，，共共2種種方方法法，，當當2,3,5都都不不取取時時，，公公約約數(shù)數(shù)為為1，，故故共共有有公公約約數(shù)數(shù)3×2×2＝12個．7．從{－－3，－－2，－－1,0,1,2,3}中任任取3個個不同的的數(shù)作為為拋物線線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的的系數(shù)．．如果拋拋物線過過原點，，且頂點點在第一一象限，，則這樣樣的拋物物線共有有多少條條？[解析]由題意得得c＝0，a<0，b>0，分分三步：：第一步：：a＝－3，，－2，，－1；；第二步：：b＝1,2,3；；第三步：：c＝0，故由分步步計數(shù)原原理知拋拋物線的的條數(shù)N＝3×3×1＝9(條)．．[例1]三邊邊長均為為整數(shù)，，且最大大邊長為為11的的三角形形的個數(shù)數(shù)是多少少？[分析]根據(jù)題目目中的條條件，列列出另兩兩邊滿足足的關系系式，然然后用列列舉法逐逐一求出出來，再再用分類類加法計計數(shù)原理理求解．．[解析]設較小的的兩邊長長為x，y，不妨設設x≤y，則當x＝1時，y＝11；當x＝2時，y＝10,11；當x＝3時，y＝9,10,11；當x＝4時，y＝8,9,10,11；當x＝5時，y＝7,8,9,10,11；當x＝6時，y＝6,7,8,9,10,11；當x＝7時，y＝7,8,9,10,11；……當x＝11時，y＝11.所以不同三角角形的個數(shù)為為1＋2＋3＋4＋5＋＋6＋5＋4＋3＋2＋＋1＝36.[點評]應用分類加法法計數(shù)原理時時，首先要根根據(jù)問題的特特點，確定好好分類的標準準．分類時應應滿足：完成成一件事的任任何一種方法法，必屬于某某一類且僅屬屬于某一類．．(1)將4個個顏色互不相相同的球全部部放入編號為為1和2的兩兩個盒子里，，使得放入每每個盒子里球球的個數(shù)不小小于該盒子的的編號，則不不同的放球方方法有()A．10種B．20種種C．36種D．．52種[答案]A[解析]分為二類：①1號盒子放入入1個球，2號盒子放入入3個球，有有C41＝4種放球方方法；②1號盒子放入入2個球，2號盒子放入入2個球，有有C42＝6種放球方方法．∴共有C41＋C42＝10種不同同的放球方法法．(2)集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述述條件的一對對有序整數(shù)對對(x，y)作為一個點點的坐標，則則這樣的點的的個數(shù)是()A．9B．14C．15D．21[答案]B[解析]∵P?①當x＝2時，y≠1,2，∴y有7種選法；②當x＝y(tǒng)時，y≠1,2，∴y也有7種選法．∴共有滿足條件的點7＋7＝14個.[例2]將將3種作物種種植在如圖所所示的5塊試試驗田里，每每塊種植一種種作物且相鄰鄰的試驗田不不能種植同一一種作物，不不同的種植方方法共有多少少種？[分析]3種作物種在在5塊試驗田田里，也就是是5塊試驗田田分別要種上上作物，可分分5份，從左左到右一塊一一塊的種，即即用分步乘法法計數(shù)原理求求解．[解析]設由左到右五五塊田中要種種a，b，c3種作物，不不妨先設第一一塊種a，則第二塊種種b，c，有兩種選法法．同理，如如果第二塊種種b，則第三塊可可種a和c，也有兩種選選法，由分步步乘法計數(shù)原原理共有1×2×2×2×2＝16.其其中要去掉ababa和acaca兩種方法．故a種作物種在第第一塊田中時時有16－2＝14種種種法．同理b或c也可種在第一一塊田中，故故共有3×(2×2×2×2－2)＝3×(16－2)＝42種．．[點評]①本題完成種種五塊地，要要分五步完成成，故應用分分步乘法計數(shù)數(shù)原理．②解決問題時，，應理清思路路，按事情發(fā)發(fā)生的過程或或事情解決的的過程合理分分步.(1)定義集集合A與B的運算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合A*B的元素個數(shù)為為()A.34B．43C.12D．以以上都不對(2)使集合合A＝{－1,0,1}，B＝{2,3,4,5,6}，映射f：A→B，使得對任意意x∈A，都有x＋f(x)＋xf(x)是奇數(shù)，這這樣的映射f的個數(shù)是()A.12B．50C.15D．55(3)將4個個不同的小球球放入3個不不同的盒子，，其中每個盒盒子都不空的的放法共有()A.34種B．43種C.18種D．．36種(4)5位同同學報名參加加兩個課外活活動小組，每每位同學限報報其中的一個個小組，則不不同的報名方方法共有()A.10種B．．20種C.25種D．．32種[答案](1)C(2)B(3)D(4)D[解析](1)顯然然(a，a)、(a，c)等均為A*B中的元素，，確定A*B中的元素是是由A中取一個元元素來確定定x，B中取一個元元素來確定(2)∵A中任一元素在B中有惟一元素和它對應，由x＋f(x)＋xf(x)＝(x＋1)(f(x)＋1)－1知，x為奇數(shù)時都滿足，x為偶數(shù)時，必須f(x)為奇數(shù)，∴當x＝－1或1時，f(x)可取B中任一元素，各有5種；當x＝0時，f(x)只能取3或5，有2種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×5＝50個映射．故選B.(3)4個個不同的小小球放入3個不同的的盒子，其其中每個盒盒子都不空空，則必有有一個盒子子放入2個個球．設4個球的編編號分別為為1,2,3,4，，則其中2個球放在在一個盒子子里的情況況有：1、、2,1、、3,1、、4,2、、3,2、、4,3、、4，計6種情況．．把2個球球放在一個個盒子里的的情況當作作1個球和和另外2(4)因為每人均有兩種選擇方法，所以不同的報名方法有25＝32種.[例3]現(xiàn)現(xiàn)有高三三四個班學學生34人人，其中一一、二、三三、四班各各7人、8人、9人人、10人人，他們自自愿組成數(shù)數(shù)學課外小小組．(1)選其其中一人為為負責人，，有多少種種不同的選選法？(2)每班班選一名組組長，有多多少種不同同的選法？？(3)推選選二人作中中心發(fā)言，，這二人需需來自不同同的班級，，有多少種種不同的選選法？[分析]主要考查兩兩個計數(shù)原原理的綜合合應用，先先考慮分類類再考慮分分步．[解析](1)分四四類：第一一類，從一一班學生中中選1人，，有7種選選法；第二二類，從二二班學生中中選1人，，有8種選選法；第三三類，從三三班學生中中選1人，，有9種選選法；第四四類，從四四班學生中中選1人，，有10種種選法．所所以，共有有不同的選選法N＝7＋8＋＋9＋10＝34(種)．(2)分四四步，第一一、二、三三、四步分分別從一、、二、三、、四班學生生中選一人人任組長，，所以共有有不同的選選法N＝7×8×9×10＝5040(種種)．(3)分六六類，每類類又分兩步步，從一、、二班學生生中各選1人，有7×8種不不同的選法法；從一、、三班學生生中各選1人，有[點評]

在解決實際應用問題時，兩個原理并不是孤立的，首先要弄清楚完成的是什么事，其次必須清楚是分類完成，還是分步完成，需認真審題，明確條件與問題.(1)將一一個四棱錐錐的每一個個頂點染上上一種顏色色，并使同同一條棱上上的兩端點點異色，如如果只有5種顏色可可供使用，，求不同的的染色方法法總數(shù)．[分析]可分兩大步步進行，先先將四棱錐錐一側面三三頂點染色色，然后再再分類考慮慮另外兩頂頂點的染色色數(shù)，用乘乘法原理即即可得出結結論．[解析]如圖所示，，由題設，，四棱錐S－ABCD的頂點S、A、B所染顏色互互不相同，，它們共有有5×4×3＝60(種)染色色方法．當S、