【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國(guó)統(tǒng)編教材 12.1數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用（第1課時(shí)）課件 理

第十二章極限與導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用第講1（第一課時(shí)）1考點(diǎn)搜索●歸納法和數(shù)學(xué)歸納法的含義與作用●數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，及各步驟的作用高高考猜想1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列背景下的有關(guān)問(wèn)題.2.利用“歸納——猜想——證明”探索有關(guān)結(jié)論.21.從一系列有限的①

得出②—————————的推理方法，叫做歸納法.2.對(duì)一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題：第一步：驗(yàn)證當(dāng)n?、?/p>

時(shí)命題成立；第二步：假設(shè)當(dāng)④

時(shí)命題成立，證明當(dāng)⑤

時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對(duì)于從⑥

開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.特殊事例一般結(jié)論第一個(gè)值n0

n=k(k∈N*，k≥n0)n=k+1n0

33.數(shù)學(xué)歸納法需要完成兩個(gè)步驟的證明，缺一不可.其中第一步是奠基步驟，是⑦————————的基礎(chǔ)；第二步反映了無(wú)限遞推關(guān)系，即命題的正確性具有⑧

.若只有第一步，而無(wú)第二步，則只是證明了命題在特殊情況下的正確性；若只有第二步，而無(wú)第一步，那么假設(shè)n=k時(shí)命題成立就沒(méi)有根據(jù)，遞推無(wú)法進(jìn)行.遞推歸納傳遞性41.設(shè)那么f(n+1)-f(n)等于()D5解：62.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n+1邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n+1)為(

)A.f(n)+n+1

B.f(n)+nC.f(n)+n-1

D.f(n)+n-2解：由n邊形到n+1邊形，增加的對(duì)角線是增加的一個(gè)頂點(diǎn)與原(n-2)個(gè)頂點(diǎn)連成的(n-2)條對(duì)角線，及原先的一條邊成了對(duì)角線.故選C.C

7題型1

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式、不等式1.設(shè)n∈N*，求證：證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊所以等式成立.(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立，即8則當(dāng)n=k+1時(shí)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.綜合(1)(2)知，對(duì)一切正整數(shù)n等式都成立.9點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式(不等式)的要點(diǎn)是“兩步一結(jié)論”，即第一步先驗(yàn)證初始結(jié)論；第二步是先假設(shè)n=k時(shí)命題成立，再由n=k時(shí)的命題作條件，推導(dǎo)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立；一結(jié)論是指最后歸納前面兩個(gè)步驟，得出原結(jié)論是成立的.10所以當(dāng)n=k+1時(shí)，，不等式式也成立立.綜合(1)(2)知，，對(duì)于一一切大于于1的自自然數(shù),不等式都都成立.111213題型2用數(shù)學(xué)歸歸納法證證明整除除性問(wèn)題題2.設(shè)設(shè)a為實(shí)實(shí)常數(shù)，，n∈N*，，證明:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除除.證明：(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，，a3+(a+1)3=(2a+1)［［a2-a(a+1)+(a+1)2］=(2a+1)(a2+a+1).它能被a2+a+1整除除，所以以n=1時(shí)命命題成立立.(2)假假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整整除，，則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，ak+3+(a+1)2k+314=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因?yàn)閍k+2+(a+1)2k+1與a2+a+1都都能被被a2+a+1整整除，，所以上上面的的和也也能被被a2+a+1整整除.即當(dāng)n=k+1時(shí)，，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整整除.綜合(1)(2)知知，命命題對(duì)對(duì)任何何n∈N*都成成立.15點(diǎn)評(píng)：：用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明整整除問(wèn)問(wèn)題的的關(guān)鍵鍵是第第二步步的配配湊變變形，，即把把n=k+1的的命題題形式式通過(guò)過(guò)添項(xiàng)項(xiàng)配湊湊成n=k時(shí)的結(jié)結(jié)論加加除式式的倍倍式的的形式式.16已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否否存在在自然然數(shù)m，使對(duì)對(duì)任意意n∈N*，都有有m整除f(n)？如果果存在在，求求出最最大的的m值，并并證明明你的的結(jié)論論；如如果不不存在在，說(shuō)說(shuō)明理理由.解：由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，f(4)=1224，猜想想f(n)被36整除.證明：：(1)當(dāng)n=1時(shí)，猜猜想顯顯然成成立.(2)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)，f(k)能被36整除，，即(2k+7)·3k+9能被36整除.則當(dāng)n=k+1時(shí)，17f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).由假設(shè)設(shè)知3［(2k+7)·3k+9］能被被36整除，，而3k-1-1是偶數(shù)數(shù)，所所以18(3k-1-1)能被36整除，，從而f(k+1)能被36整除.綜合(1)(2)知，對(duì)任意意n∈N*，f(n)能被36整除.由于f(1)=36，故36是整除除f(n)的自然然數(shù)m的最大大值.18平面內(nèi)內(nèi)有n個(gè)圓，，其中中每?jī)蓛蓚€(gè)圓圓都相相交，，任何何三個(gè)個(gè)圓都都無(wú)公公共點(diǎn)點(diǎn)，證證明：：這n個(gè)圓把把平面面分成成n2-n+2個(gè)區(qū)域域.證明：：(1)當(dāng)n=1時(shí)，一一個(gè)圓圓把平平面分分成兩兩個(gè)區(qū)區(qū)域，，而12-1+2=2，所以以命題題成立立.(2)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)命題題成立立，即即k個(gè)圓把把平面面分成成k2-k+2個(gè)區(qū)域域.題型用用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明幾幾何命命題

參考題19則當(dāng)n=k+1時(shí)，第第k+1個(gè)圓與與原有有的k個(gè)圓共共有2k個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)，這這些交交點(diǎn)把把第k+1個(gè)圓分分成了了2k段弧，，其中中每段段弧都都把它它所在在的區(qū)區(qū)域分分成了了兩部部分，，因此此共增增加了了2k個(gè)區(qū)域域.所以這這k+1個(gè)圓把把平面面分成成k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2個(gè)區(qū)域域，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題題也成成立.綜合(1)(2)知，對(duì)對(duì)任意意n∈N*，命題題都成成立.201.數(shù)學(xué)歸歸納法法的第第一步步有時(shí)時(shí)要驗(yàn)驗(yàn)證從從n0開(kāi)始的的多個(gè)個(gè)正整整數(shù)命命題成成立，，這主主要取取決于于從k到k+1的的奠基基是什什么數(shù)數(shù).如如果假假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)命題題成立立，并并要求求當(dāng)k≥m時(shí)才能能得出出n=k+1時(shí)時(shí)命題題也成成立，，則第第一步步必須須驗(yàn)證證從n0到m的各個(gè)個(gè)正整整數(shù)命命題都都成立立.2.第二步步的證證明必必須運(yùn)運(yùn)用““歸納納假設(shè)設(shè)”作作為證證明n=k+1時(shí)時(shí)命題題成立立的條條件，，否則則就不不是數(shù)數(shù)學(xué)歸歸納法法了.213.“歸納假假設(shè)””可以以是一一個(gè)式式子(等式或或不等等式)，也可可以是是一段段具有有數(shù)學(xué)學(xué)意義義的數(shù)數(shù)學(xué)語(yǔ)語(yǔ)言，，有時(shí)時(shí)需要要對(duì)它它作適適當(dāng)變變通，，而不不是機(jī)機(jī)械地地套用用.4.如果命命題是是對(duì)正正奇數(shù)數(shù)(或正偶偶數(shù))成立，，則假假設(shè)n=k時(shí)命題題成立立后，，要證證明n=k+2時(shí)也命命題成成立.若第(1)步證明明n=1和n=2時(shí)命題題成立立，22第(2)步假設(shè)設(shè)n=k時(shí)命題題成立立，證證明n=k+2時(shí)命題題也成成立，，則對(duì)