弧度制及其與角度值的換算同步設計

弧度制及其角度值的換算【教學目標】1.掌握“1弧度的角”的定義，了解在弧度制下，角的集合與實數(shù)集之間的一一對應關系．2.掌握弧度與角度的換算，熟悉特殊角的弧度數(shù)．3.掌握弧度制下扇形的弧長、面積公式，并運用公式解決相關問題【教學重點】弧度制的定義、弧度制和角度值的換算、弧度制下扇形的弧長、面積公式【教學難點】弧度制的概念與角度的換算【教學過程】引入：在日常生活以及各學科中，一個量可用不同的標準來度量，從而也就有了不同的單位以及單位之間的換算。例如，長度既可以用米、厘米來度量，也可以用尺、寸來度量；面積可以用平方米來度量，也可以用畝來度量。類似地，角除了使用角度來度量外，還可以使用本小節(jié)我們要學習地弧度來度量。問題1.弧度制 思考：角度是怎么定義的？把圓周等分成360份，稱其中每一份所對的圓心角為1度，這種用度作單位來度量角的制度稱為角度制，角度制還規(guī)定1度等于60分，1分等于60秒．將折疊扇抽象為如圖所示的圖形，可以看成，弧與弧都與角對應，但時，它們的弧長與始終不相等，其原因在于。一般地，如果角是由射線OP繞它的端點旋轉(zhuǎn)形成的，如圖（2）所示，則在旋轉(zhuǎn)過程中，射線上的任意一點（端點除外）必然形成一條圓弧，不同的點所形成的圓弧長度不同，但這些圓弧都對應同一個角，可以猜想，這些弧的長與弧所在圓的半徑的比值是一個常數(shù)，即事實上，設，弧的長為，半徑，則，因此這個等式右端不包含半徑，這表示弧長比半徑的值不依賴于半徑，而只與的大小有關。知識點1弧度制我們稱弧長與半徑比值的這個常數(shù)稱為圓心角的弧度數(shù)，長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，記作1rad，這種以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制.如下圖，因為的長度等于半徑，所以所對的圓心角就是1弧度的角。注：今后我們在用弧度制表示角時，“弧度”二字或rad可以略去不寫，而只寫這個角對應的弧度數(shù)。例如，表示是2的角，表示的角的正弦?！緦c快練】1．下列說法正確的是()A．1弧度就是一度的圓心角所對的弧B．一弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是一度的弧與一度的角之和D．一弧度是長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角答案D2．在半徑不等的兩個圓內(nèi)，1弧度的圓心角所對的弧長____________．(填“相等”或“不相等”)答案：不相等由于1弧度的圓心角所對的弧長等于圓的半徑，而兩個圓的半徑不等，故在兩個圓中，1弧度的圓心角所對的弧長不相等．問題2：弧度制和角度值的換算答：（1）因為半徑為的圓周長為，所以周角的弧度數(shù)是，于是，因此；（2）設一個角的角度數(shù)為，弧度數(shù)為，則知識點2弧度制與角度制的換算1．角度與弧度的關系：180°＝πrad.2．設一個角的角度數(shù)為n，弧度數(shù)為α，則eq\f(n,180)＝eq\f(α,π).例1.把化成弧度（用表示），并在平面直角坐標系中作出它們的終邊。解：設角的弧度數(shù)為，則，所以，即，對應的角的終邊如圖所示的射線OA。類似地，有，它們地終邊分別為圖中地射線OB，OC。因為，所以的角比小。例2.把化成角度數(shù)。解：設，則，因此即?！咀兪骄毩暋繉⑾铝懈鹘嵌扰c弧度互化．(1)°；(2)112°30′；(3)eq\f(9,4)π.解(1)°＝eq\f(π,180)rad×＝eq\f(3π,8)rad.(2)112°30′＝°＝eq\f(π,180)rad×＝eq\f(5π,8)rad.(3)eq\f(9,4)πrad＝eq\f(9,4)×180°＝405°.例3.把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角？(1)－1725°；(2)eq\f(64π,3)；(3)－4.解(1)因為－1725°＝－5×360°＋75°，所以－1725°＝－10π＋eq\f(5π,12).所以－1725°角與eq\f(5π,12)角的終邊相同．又因為eq\f(5π,12)是第一象限角，所以－1725°是第一象限角．(2)因為eq\f(64π,3)＝20π＋eq\f(4π,3)，所以eq\f(64π,3)角與eq\f(4π,3)角的終邊相同．又因為eq\f(4π,3)是第三象限角，所以eq\f(64π,3)是第三象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，所以－4與2π－4終邊相同，又因為eq\f(π,2)<2π－4<π，所以2π－4是第二象限角，所以－4是第二象限角．【變式探究】用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如圖)．解(1)以OA為終邊的角為eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．所以陰影部分(不包括邊界)內(nèi)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)終邊落在陰影部分(不含邊界)的角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(7π,6)＋2kπ，k∈Z)))).知識點3．特殊角的弧度數(shù)角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)Πeq\f(3π,2)2π問題3:弧長公式與扇形面積公式知識點4弧長公式在半徑為r的圓中，若弧長為l的弧所對的圓心角為αrad，則α＝eq\f(l,r)，所以l＝αr，即弧長等于其所對應的圓心角的弧度數(shù)與半徑的積．例4.利用弧度制推導扇形的面積公式其中l(wèi)是扇形的弧長，r是扇形的半徑。解：設扇形的圓心角為，則扇形的面積為：又因為，所以.知識點5：扇形面積公式若l是扇形的弧長，r是扇形的半徑，則扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lr.例5.已知扇形的周長為20cm，當它的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解設扇形的半徑為r，弧長為l，面積為S.則l＝20－2r，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴當半徑r＝5cm時，扇形的面積最大，為25cm2.此時α＝eq\f(l,r)＝eq\f(20－2×5,5)＝2(rad)．∴當它的半徑為5cm，圓心角為2rad時，扇形面積最大，最大值為25cm2.【變式練習】已知扇形周長為5，面積為1，求扇形圓心角的弧度數(shù)．解設扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長為l，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝5，①,\f(1,2)lr＝1，②))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＝\f(1,2)，,l1＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝2，,l2＝1.))所以θ＝8rad>2πrad(舍去)或θ＝eq\f(1,2)rad.所以扇形圓心角的弧度數(shù)為eq\f(1