【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 9.6空間向量的坐標(biāo)運算課件（第2課時）

第九章直線、平面、簡單幾何體11.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD.(1)當(dāng)a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥DM；題型4垂直中的探索題第二課時2(3)若在BC邊上至少存在一點M，使PM⊥DM，求a的取值范圍.解：(1)當(dāng)a=2時，四邊形ABCD為正方形，則BD⊥AC.又因為PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC.故當(dāng)a=2時，BD⊥平面PAC.3

(2)證明：當(dāng)a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連結(jié)AM、DM、MN,因為四邊形ABMN和四邊形DCMN都是正方形，所以∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得PM⊥DM.故當(dāng)a=4時，BC邊的中點M使PM⊥DM.4

(3)設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點M，因為PA⊥底面ABCD，所以DM⊥AM,因此，M點應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD≥2AB，即a≥4為所求.5

點評：本題的解決中充分運用了平面幾何的相關(guān)知識.因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識的運用.事實上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的.探究空間的垂直(或平行)的條件是近幾年高考立體幾何中一類常見探索性題.此類題是垂直(或平行)問題中的逆向問題，可利用垂直(或平行)的性質(zhì)逆推得出結(jié)論成立的一個條件.6

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA

⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠AB

C

=60°，PA=AB=BC，E是線段PC上的一點.(1)證明：CD⊥AE；(2)當(dāng)E在PC什么位置時PD⊥平面ABE？7

解：(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.因為AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)當(dāng)Ｅ為PC的中點時，有PD⊥平面ABE.證明如下：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.因為E是PC的中點，所以AE⊥PC.8

由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD

=C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.因為PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，所以AB⊥PD.又AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE.92.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E為棱BB1上一點.已知平面A1EC⊥平面AA1C1C，求證：BE=B1E.證明：在平面A1EC內(nèi)過點E作EG⊥A1C，垂足為G.因為平面A1EC⊥平面AA1C1C，所以EG⊥平面AA1C1C.題型5線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用10取AC的中中點點F，連連結(jié)結(jié)BF.因因為為AB=BC，所以以BF⊥AC.因為為平平面面ABC⊥平平面面AA1C1C，所以以BF⊥平平面面AA1C1C.于是是BF∥∥EG.連連結(jié)結(jié)FG.因為為BE∥∥平面面AA1C1C，所所以以BE∥∥FG.又BE∥∥AA1，所所以以FG∥∥AA1.11因為為F為AC的中中點點，，所所以以G為A1C的中中點點，，所以以，所所以以又BB1=AA1，所所以以，即即BE=B1E.點評評：：線面面垂垂直直的的判判定定與與性性質(zhì)質(zhì)反反映映了了““線線線線垂垂直直””““線線面面垂垂直直””““面面面面垂垂直直””三三者者之之間間的的相相互互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化，，也也是是證證空空間間有有關(guān)關(guān)垂垂直直的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化方方向向.如由由““面面面面垂垂直直””可可得得出出““線線面面垂垂直直””，，而而證證““面面面面垂垂直直””可可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為證證““線線面面垂垂直直””.12在三三棱棱錐錐P-ABC中，，PA=PB=PC，∠∠APC=90°°，∠APB=∠∠BPC=60°°，D為AC的中點點.過PA、PC的中點點A′、C′作平面A′B′C′，使PD⊥平面A′B′C′，交PB于B′點.求證：：平面面A′B′C′∥平面ABC.13證明：：因為PA=PC，D為AC的中點點，所所以PD⊥AC.①設(shè)PA=a.由題設(shè)△PAB和△BPC都是正三角角形，△APC是等腰直角角三角形，，所以AB=BC=a，AC=a.連結(jié)BD，易得PD=BD=AC=a，14從而PD2+BD2=a2=PB2，所以PD⊥BD.②結(jié)合①②知知，PD⊥平面ABC.由已知，PD⊥平面A′B′C′，所以平面A′B′C′∥平面ABC.15在直三棱柱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D為BC的中點，E為AD上任意一點點，F(xiàn)為棱BB1上一點.若C1F⊥EF，求的的值.題型線線面面垂直背景景下的求值值問題16解：因為AB=AC，D為BC的中點，，所以AD⊥BC.又B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，所以AD⊥BB1，于是AD⊥平面BB1C1C.所以DF是EF在平面BB1C1C內(nèi)的射影影.所以C1F⊥EFC1F⊥DF，即DF2+C1F2=C1D2.17設(shè)BC=2a，BF=x.因為BB1BC=，所以BB1=3a，B1F=3a-x.在Rt△C1B1F中，C1F2=B1C2+B1F2=4a2+(3a-x)2.在Rt△DBF中，DF2=BD2+BF2=a2+x2.在Rt△C1CD中，C1D2=CC21+CD2=10a2.由a2+x2+［4a2+(3a-x)2］=10a2，得x2-3ax+2a2=0，解得x=a或x=2a.故BFBB1==或.181.“由已知想性質(zhì)質(zhì)，由求證想想判定”是處處理直線與平平面平行、垂垂直關(guān)系的一一般思想方法法.即看到已知條條件去想有關(guān)關(guān)的性質(zhì)定理理，看到求證證的結(jié)論去想想有關(guān)的判定定定理，這實實質(zhì)上就是把把綜合與分析析的思路結(jié)合合起來使用，，使問題得以以解決.2.三垂線定理及及其逆定理是是判定或證明明兩條直線互互相垂直的重重要理論依據(jù)據(jù)，應(yīng)用時要要先找“平面面”，再認(rèn)定定“斜線”和和“射影”.193.利用線線垂直直、線面垂直直的有關(guān)性質(zhì)質(zhì)，將垂直條條件或結(jié)論轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為線面位位置關(guān)系或數(shù)數(shù)量關(guān)系，先先要確定轉(zhuǎn)化化方向，通過過分析綜合法法尋求問題的的解決途徑.204.