【學案導學設計】學年高中數(shù)學 2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征課堂教學課件2 新人教A必修3

第二章統(tǒng)計2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)思考1：在初中我們學過眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本信息的數(shù)字特征，對一組樣本數(shù)據(jù)如何求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？思考2：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認為眾數(shù)應在哪個小矩形內？由此估計總體的眾數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O取最高矩形下端中點的橫坐標2.25作為眾數(shù).思考4：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個小矩形的面積分別是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估計總體的中位數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.01÷0.5=0.02，中位數(shù)是2+0.02=2.02.思考3：在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示什么？中位數(shù)左右兩側的直方圖的面積應有什么關系？思考5：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個小矩形的重心在哪里？從直方圖估計總體在各組數(shù)據(jù)內的平均數(shù)分別為多少？0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.

月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考6：根據(jù)統(tǒng)計學中數(shù)學期望原理，將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù).由此估計總體的平均數(shù)是什么？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均數(shù)是2.02.思考7：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是2.3，中位數(shù)是2.0，平均數(shù)是1.973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結論有偏差，你能解釋一下原因嗎？

頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個估計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關.注:在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計總體特征.思考8：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)說明什么問題？你怎樣理解“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話的含義？

如：樣本數(shù)據(jù)收集有個別差錯不影響中位數(shù)；大學畢業(yè)生憑工資中位數(shù)找單位可能收入較低.

平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)，說明樣本數(shù)據(jù)中存在許多較大（或較?。┑臉O端值.

這句話具有模糊性甚至蒙騙性，其中收入水平是員工工資的某個中心點，它可以是眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù).（二）：標準差

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當樣本數(shù)據(jù)質量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況產生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.思考1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677

甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？思考2：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（乙）甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，比較穩(wěn)定.環(huán)數(shù)思考3：對于樣本本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，設想通過過各數(shù)據(jù)到到其平均數(shù)數(shù)的平均距距離來反映映樣本數(shù)據(jù)據(jù)的分散程程度，那么么這個平均均距離如何何計算？思考4：反映樣本本數(shù)據(jù)的分分散程度的的大小，最最常用的統(tǒng)統(tǒng)計量是標標準差，一一般用s表示.假設樣本數(shù)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為為，則則標準差的的計算公式式是：那么標準差差的取值范范圍是什么么？標準差差為0的樣本數(shù)據(jù)據(jù)有何特點點？s≥0，標準差為為0的樣本數(shù)據(jù)據(jù)都相等.思考5：對于一個容量為2的樣本：x1，x2(x1<x2)，則,在數(shù)軸上，這兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)有什么幾何意義？由此說明標準差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？標準差越大大離散程度度越大，數(shù)數(shù)據(jù)較分散散；標準差差越小離散散程度越小小，數(shù)據(jù)較較集中在平平均數(shù)周圍圍.知識補充1.標準差的平平方稱稱為方差，，有時用方方差代替標標準差測量量樣本數(shù)據(jù)據(jù)的離散度度.方差與標準準差的測量量效果是一一致的，在在實際應用用中一般多多采用標準準差.2.現(xiàn)實中的總總體所包含含的個體數(shù)數(shù)往往很多多，總體的的平均數(shù)與與標準差是是未知的，，我們通常常用樣本的的平均數(shù)和和標準差去去估計總體體的平均數(shù)數(shù)與標準差差，但要求求樣本有較較好的代表表性.例1畫出下列四四組樣本數(shù)數(shù)據(jù)的條形形圖，說明他們的的異同點.(1)５，５，５５，５，５５，５，５５，５，５５；(2)４，４，４４，５，５５，５，６６，６，６６；O頻率1.00.80.60.40.212345678

（1）O頻率1.00.80.60.40.212345678

（2）樣本數(shù)字特特征例題分分析(3)３，３，４４，４，５５，６，６６，７，７７；(4)２，２，２２，２，５５，８，８８，８，８８.頻率1.00.80.60.40.212345678

O（3）頻率1.00.80.60.40.212345678

O（4）例2甲、乙兩人人同時生產產內徑為25.40mm的一種零件件，為了對對兩人的生生產質量進進行評比，，從他們生生產的零件件中各隨機機抽取20件，量得其其內徑尺寸寸如下（單單位：mm）：甲：乙：從生產零件件內徑的尺尺寸看，誰誰生產的零零件質量較較高？甲生產的的零件內內徑更接接近內徑徑標準，，且穩(wěn)定定程度較較高，故故甲生產產的零件件質量較較高.說明：1.生產質量可以以從總體的平平均數(shù)與標準準差兩個角度度來衡量，但但甲、乙兩個個總體的平均均數(shù)與標準差差都是不知道道的，我們就就用樣本的平平均數(shù)與標準準差估計總體體的平均數(shù)與與標準差.2.問題中25.40mm是內徑的標準準值，而不是是總體的平均均數(shù).例3以往招生統(tǒng)計計顯示，某所所大學錄取的的新生高考總總分的中位數(shù)數(shù)基本穩(wěn)定在在550分，若某同學學今年高考得得了520分，他想報考考這所大學還還需收集哪些些信息？要點：（1）查往年錄取取的新生的平平均分數(shù).若平均數(shù)小于于中位數(shù)很多多，說明最低低錄取線較低低，可以報考考；（2）查往年錄取取的新生高考考總分的標準準差.若標準差較大大，說明新生生的錄取分數(shù)數(shù)較分散，最最低錄取線可可能較低，可可以考慮報考考.例4在去年的足球球甲A聯(lián)賽中，甲隊隊每場比賽平平均失球數(shù)是是1.5，全年比賽失失球個數(shù)的標標準差為1.1；乙隊每場比比賽平均失球球數(shù)是2.1，全年比賽失失球個數(shù)的標標準差為0.4.你認為下列說說法是否正確確，為什么？？（1）平均來說甲甲隊比乙隊防防守技術好；；（2）乙隊比甲隊隊技術水平更更穩(wěn)定；（3）甲隊有時表表現(xiàn)很差，有有時表現(xiàn)又非非常好；（4）乙隊很少不不失球.小結作業(yè)1.對同一個總體體，可以抽取取不同的樣本本，相應的平平均數(shù)與標準準差都會發(fā)生生改變.如果樣本的代代表性差，則則對