《古典概型》設(shè)計(jì)2

5.3.3古典概型【教學(xué)目標(biāo)】1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會判斷古典概型．2．會用列舉法求古典概型的概率．3．應(yīng)用古典概型的概率計(jì)算公式求復(fù)雜事件的概率．【教學(xué)重點(diǎn)】會用列舉法求古典概型的概率．【教學(xué)難點(diǎn)】會判斷古典概型，能應(yīng)用古典概型的概率計(jì)算公式求復(fù)雜事件的概率．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】新知初探1．古典概型的概念一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認(rèn)為每個(gè)只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件(即基本事件)發(fā)生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概率模型，簡稱為古典概型．2．古典概型的特征(1)有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件；(2)等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的．3．古典概型中事件的概率在樣本空間含有n個(gè)樣本點(diǎn)的古典概型中，(1)每個(gè)基本事件發(fā)生的概率均為eq\f(1,n)；(2)如果隨機(jī)事件C包含m個(gè)樣本點(diǎn)，由互斥事件的概率加法公式可得P(C)＝eq\f(m,n).思考：從所有整數(shù)中任取一個(gè)數(shù)的試驗(yàn)中“抽取一個(gè)整數(shù)”是古典概型嗎？[提示]不是．因?yàn)橛袩o數(shù)個(gè)基本事件．4．古典概型中概率的性質(zhì)假設(shè)古典概型對應(yīng)的樣本空間含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含m個(gè)樣本點(diǎn)，則：(1)由0≤m≤n與P(A)＝eq\f(m,n)可知0≤P(A)≤1；(2)因?yàn)閑q\o(A,\s\up12(－))中所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為n－m，所以P(eq\o(A,\s\up12(－)))＝eq\f(n－m,n)＝1－eq\f(m,n)＝1－P(A)，即P(A)＋P(eq\o(A,\s\up12(－)))＝1；(3)若事件B包含有k個(gè)樣本點(diǎn)，而且A與B互斥，則容易知道A＋B包含m＋k個(gè)樣本點(diǎn)，從而P(A＋B)＝eq\f(m＋k,n)＝eq\f(m,n)＋eq\f(k,n)＝P(A)＋P(B)．小試牛刀1.下列試驗(yàn)中是古典概型的是()A.在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球C.向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的D.射擊運(yùn)動員向一靶心進(jìn)行射擊，試驗(yàn)結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)解析：對于A，發(fā)芽與不發(fā)芽概率不同；對于B，任取一球的概率相同，均為eq\f(1,4)；對于C，基本事件有無限個(gè)；對于D，由于受射擊運(yùn)動員水平的影響，命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)的概率不等．因而選B.答案：B2．北京冬奧會將要在某高校的8名懂外文的志愿者中選1名，其中有3人懂日文，則選到懂日文的志愿者的概率為()A.eq\f(3,8)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,5)A[8名懂外文的志愿者中隨機(jī)選1名其樣本空間包含8個(gè)樣本點(diǎn)，“選到懂日文的志愿者”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，因此所求概率為eq\f(3,8).]3.從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社會服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為()A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3解析：選D.將2名男同學(xué)分別記為x，y，3名女同學(xué)分別記為a，b，c.設(shè)“選中的2人都是女同學(xué)”為事件A，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的樣本空間為{(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件A包含的樣本點(diǎn)有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3個(gè)，故P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.故選D.4.從甲、乙、丙三人中任選兩人參加某項(xiàng)活動，其中“甲被選中”這一事件所含的樣本點(diǎn)有________個(gè)．解析：(甲，乙)，(甲，丙)，共2個(gè)．答案：2例題講解古典概型的判斷【例1】判斷下列試驗(yàn)是不是古典概型：(1)口袋中有2個(gè)紅球、2個(gè)白球，每次從中任取一球，觀察顏色后放回，直到取出紅球；(2)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)中任意抽取1名擔(dān)任學(xué)生代表；(3)射擊運(yùn)動員向一靶子射擊5次，脫靶的次數(shù)．【解】(1)每次摸出1個(gè)球后，放回袋中，再摸1個(gè)球．顯然，這是有放回抽樣，依次摸出的球可以重復(fù)，且摸球可無限地進(jìn)行下去，即所有可能結(jié)果有無限個(gè)，因此該試驗(yàn)不是古典概型．(2)從5名同學(xué)中任意抽取1名，有5種等可能發(fā)生的結(jié)果：抽到學(xué)生甲，抽到學(xué)生乙，抽到學(xué)生丙，抽到學(xué)生丁，抽到學(xué)生戊．因此該試驗(yàn)是古典概型．(3)射擊的結(jié)果：脫靶0次，脫靶1次，脫靶2次，…，脫靶5次．這都是樣本點(diǎn)，但不是等可能事件．因此該試驗(yàn)不是古典概型．方法總結(jié)古典概型的判斷方法一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型．當(dāng)堂練習(xí)1下列試驗(yàn)是古典概型的為________.(填序號)①從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大?。虎谕瑫r(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．①②④[①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷亩x和特點(diǎn)．③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄?，三天中是否降雨受多方面因素影響．]古典概型計(jì)算公式求解概率例2.從含有兩件正品和一件次品的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，求取出的兩件產(chǎn)品恰有一件次品的概率.解：按題意，取產(chǎn)品的過程可以用如圖樹形圖直觀表示：因此樣本空間可記為：共包含6個(gè)樣本點(diǎn).用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”，則A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，所以方法總結(jié)在求解概率問題時(shí)，常常遇到這樣的情況，即從一堆小球中抽取幾個(gè)小球，根據(jù)小球的顏色求解概率．解決此類問題時(shí)，首先要分清抽取的方式，即“有放回”與“無放回”．“有放回”是指抽取物體時(shí)，每一次抽取之后，都將被抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時(shí)，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無放回”是指抽取物體時(shí)，在每一次抽取后，被抽取的物體放到一邊，并不放回到原處，這樣，前后兩次抽取時(shí)，后一次被抽取的物體的總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少1.這兩種情況下基本事件總數(shù)是不同的．當(dāng)堂練習(xí)2如果把例3中的條件改為：“每次取出后不放回“換成”每次取出后放回”，其余不變，則所求事件發(fā)生的概率將有所變化.解：樣本空間應(yīng)記為：共包含9個(gè)樣本點(diǎn)，而事件：A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，所以因?yàn)殄N子贏剪刀，剪刀贏布，布贏錘子，因此若記事件A為“平局“，B為”甲贏“，則：（1）事件A包含3個(gè)樣本點(diǎn)（圖中的Δ），因此；（2）事件B包含3個(gè)樣本點(diǎn)（圖中的※），因此；（3）因?yàn)锳+B表示“甲不輸”，且A，B互斥，因此所求概率為：【例4】先后擲兩個(gè)均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，記A：點(diǎn)數(shù)之和為7，B：至少出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)，求P(A)，P(eq\x\to(A))，P(B)，P(AB)．【解析】用數(shù)對(x，y)來表示拋擲結(jié)果，則樣本空間可記為Ω＝{(i，j)|i，j＝1,2,3,4,5,6}，而且樣本空間可用圖直觀表示．樣本空間中，共包含36個(gè)樣本點(diǎn)．不難看出，A＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，A包含6個(gè)樣本點(diǎn)(即圖中虛線框中的點(diǎn))，因此P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).方法總結(jié)：當(dāng)列舉基本事件涉及到分步或者需要考慮兩個(gè)要素是，可以采用表格直觀表示，并可以靈活使用概率的性質(zhì).例5.人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分，這是由對應(yīng)的基因決定的.生物學(xué)上已經(jīng)證明：決定眼皮單雙基因有兩種，一種是顯性基因（記為B），另一種是隱性基因（記為b）；基因總是成對出現(xiàn)（如BB，bB，Bb，bb），而成對的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，那么這個(gè)人就一定是雙眼皮（也就是說，“單眼皮”的充要條件是“成對的基因是bb”）；如果不發(fā)生基因突變的話，成對的基因中，一個(gè)來自父親，另一個(gè)來自母親，但父母親提供基因時(shí)都是隨機(jī)的.有一對夫妻，兩人成對的基因都是Bb，不考慮基因突變，求他們的孩子是單眼皮的概率.解：我們用連著寫的兩個(gè)字母表示孩子的成對的基因，其中第一個(gè)字母表示父親提供的基因，第二個(gè)字母表示母親提供的基因.由下圖的樹形圖可知，樣本空間中共4個(gè)樣本點(diǎn)，即：孩子要是單眼皮，成對的基因只能是bb,因此所求的概率為.古典概型中基本事件的探求方法：(1)列舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的．(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可以看成是有序的．如(1,2)與(2,1)不同．有時(shí)也可以看成是無序的．如(1,2)與(2,1)相同．當(dāng)堂練習(xí)3有A,B,C,D四位貴賓,應(yīng)分別坐在a,b,c,d四個(gè)席位上,現(xiàn)在這四人均未留意,在四個(gè)席位上隨便就坐.(1)求這四人恰好都坐在自己席位上的概率.(2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率.(3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.【解析】將A,B,C,D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來:如圖所示,本題中的等可能樣本點(diǎn)共有24個(gè).(1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”,則事件A只包含1個(gè)樣本點(diǎn),所以P(A)=.(2)設(shè)事件B為“這四人恰好都沒坐在自己席位上”,則事件B包含9個(gè)樣本點(diǎn),所以P(B)=(3)設(shè)事件C為“這四人恰好有1位坐在自己席位上”,則事件C包含8個(gè)樣本點(diǎn),所以P(C)=課堂小結(jié)1.古典概型中基本事件的探求方法：(1)列舉法：適合給定的基本事件個(gè)