《代數(shù)初步》參考

《代數(shù)初步》教學(xué)參考代數(shù)初步教學(xué)目標(biāo)1．回顧和整理小學(xué)階段有關(guān)代數(shù)的初步知識：字母表示數(shù)、方程、正反比例、看圖找關(guān)系、探索規(guī)律。2．再次經(jīng)歷探索規(guī)律的過程，并運用字母表示某些規(guī)律，體驗用字母表示數(shù)能表達(dá)一般規(guī)律，增強(qiáng)應(yīng)用規(guī)律解決問題的意識。3．在運用方程解決問題的過程中，再次體會列方程解決問題在某些情況下的優(yōu)越性，并鞏固解簡單方程的方法。4．回顧正比例、反比例的意義，在正比例、反比例、看圖找關(guān)系的回顧與反思中，體會函數(shù)的思想。教材分析與教學(xué)建議該部分主要回顧和整理小學(xué)階段代數(shù)初步知識，教材將其劃分為：用字母表示數(shù)，方程，正比例、反比例和探索規(guī)律四個部分。從算術(shù)到代數(shù)，是數(shù)學(xué)發(fā)展也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要轉(zhuǎn)變，其中一個重要的標(biāo)志就是用字母表示數(shù)。這樣一來，人們的思考方式就能從具體到抽象、從特殊到一般、從靜止到變化。這部分內(nèi)容也是后續(xù)中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。（一）用字母表示數(shù)這部分內(nèi)容所對應(yīng)的課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求：●在具體情境中會用字母表示數(shù)。教材分析與教學(xué)建議前面已經(jīng)提及，用字母表示數(shù)是從算術(shù)到代數(shù)的重要標(biāo)志。運用字母代替具體的數(shù)，就可以表達(dá)一般的規(guī)律，由此就可以產(chǎn)生方程、函數(shù)等重要的刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要模型。我們在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)，字母、含有字母的式子可以表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系，如：a－5既可以表示兩個數(shù)的差（一個結(jié)果），又可以表示數(shù)a與5相差的關(guān)系；進(jìn)一步，對于表示數(shù)實際上對應(yīng)的是方程的解，對于表示數(shù)量關(guān)系對應(yīng)的是函數(shù)思想的初步。由于字母表示數(shù)是代數(shù)學(xué)習(xí)的首要環(huán)節(jié)，因此理解字母表示數(shù)的意義是學(xué)習(xí)代數(shù)的關(guān)鍵，也是運用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等進(jìn)行交流的前提條件?；仡櫯c交流教材從三個方面對這部分內(nèi)容進(jìn)行整理：第一，鼓勵學(xué)生再次經(jīng)歷探索規(guī)律的過程，并運用字母表示所探索出來的規(guī)律，由此體現(xiàn)字母表示數(shù)的好處；第二，對字母表示數(shù)所顯示的規(guī)律，鼓勵學(xué)生從多個方面尋找符合這一規(guī)律的“原型”，以使學(xué)生進(jìn)一步體會到數(shù)學(xué)規(guī)律的一般性；第三，鼓勵學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的規(guī)律，并運用字母表示，進(jìn)一步使學(xué)生體會到規(guī)律的一般性和字母表示規(guī)律的簡潔性。第1題首先呈現(xiàn)了淘氣用扣子擺圖案的活動情境，鼓勵學(xué)生再次經(jīng)歷探索規(guī)律的過程，并運用字母表示所探索出來的規(guī)律。教學(xué)時，可以首先鼓勵學(xué)生觀察擺圖案所用扣子的規(guī)律，并通過用含有字母的式子表示第n個圖案一共用多少個扣子，喚起學(xué)生對用字母表示數(shù)的記憶。接著教師可以鼓勵學(xué)生聯(lián)想還有哪些利用這一規(guī)律可以解決的問題，從多個方面尋找符合這一規(guī)律的“原型”，以使學(xué)生進(jìn)一步體會到數(shù)學(xué)規(guī)律的一般性。在此基礎(chǔ)上，教師可以鼓勵學(xué)生自己來擺有規(guī)律的圖案，并經(jīng)歷尋找規(guī)律—表達(dá)規(guī)律—尋找“原型”的過程。教材所提供的規(guī)律實際上是平方數(shù)，教師可以鼓勵學(xué)生將數(shù)與形進(jìn)行結(jié)合。第2題教材鼓勵學(xué)生對學(xué)過的一些常見的數(shù)量關(guān)系，運算定律，幾何圖形面積、體積的計算公式等知識進(jìn)行全面的回顧，這是對以前所學(xué)知識的復(fù)習(xí)，更重要的是使學(xué)生進(jìn)一步體會到用字母表示規(guī)律的簡潔性。鞏固與應(yīng)用第1題填一填，主要是用字母表示數(shù)量關(guān)系。答案：（1）x－25；（2）5n－m；（3）2a＋6；（4）80％a。教師也可以整理以前所做過的有關(guān)題目，針對學(xué)生不熟悉的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行有針對性的練習(xí)。第2題這是對“路程、時間、速度”數(shù)量關(guān)系的鞏固。學(xué)生利用這一數(shù)量關(guān)系，可以解決這一問題。答案：（1）（a＋b）或者＋；（2）當(dāng)a＝45，6＝60時，（a＋b）的值為，即兩地間距離為千米。第3題本題學(xué)生首先要理解在這種情況下圓的半徑和正方形邊長之間的關(guān)系，然后通過正方形的周長和面積公式，寫出式子：8r和4r2。第4題這是一個有趣的探究規(guī)律的問題，可以先根據(jù)前三組呈現(xiàn)的圖形的變化關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而抽象出表達(dá)式：1＋3n；當(dāng)n＝100時，1＋3n的值是301。對于有困難的學(xué)生，應(yīng)鼓勵他們通過實際操作探索規(guī)律。（二）方程這部分內(nèi)容所對應(yīng)的課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求：●會用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系?！窭斫獾仁降男再|(zhì)，會用等式的性質(zhì)解簡單的方程（如3x＋2＝5，2x－x＝3）。教材分析與教學(xué)建議回顧與交流方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。在這部分內(nèi)容的回顧中，教材強(qiáng)調(diào)運用方程解決實際問題，鼓勵學(xué)生解簡單的方程。第1題教材首先呈現(xiàn)了兩個解方程的題目，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)如何解方程。教師可以讓學(xué)生在解方程后說一說是怎樣解的。教材所提供的兩道題目代表了小學(xué)階段要求學(xué)生會解的簡單問題的類型，教師不必再補(bǔ)充不同類型方程的題目。同時，對于如何解方程，學(xué)生只要能用自己的語言描述即可，不需要背誦統(tǒng)一的步驟。按照課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求，學(xué)生應(yīng)會用等式性質(zhì)解方程。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生也可以通過運算之間的關(guān)系解方程，但不作全班要求。答案：x＝，x＝。第2題教材鼓勵學(xué)生在解決這些問題的過程中深人體會數(shù)量之間的相等關(guān)系。對于教材出現(xiàn)的三個問題以及與它們類似的問題，本套教材要求學(xué)生用方程解決，不需要掌握算術(shù)方法，當(dāng)然，如果學(xué)生出現(xiàn)了算術(shù)方法，教師也應(yīng)鼓勵。這三個問題對應(yīng)于傳統(tǒng)的“分?jǐn)?shù)除法問題”“和倍問題”“相遇問題”，但教學(xué)時教師不要讓學(xué)生記憶題型，關(guān)鍵是讓學(xué)生能借助畫圖等方法找到問題中的等量關(guān)系，并列出方程。答案：（1）設(shè)商店購進(jìn)x箱橘子，45x＝20,x（2）設(shè)小剛收集了x枚郵票，x＋3x＝128，x＝32，3x＝32×3＝96。（3）設(shè)x分后能相遇，（75＋80）x＝1240，x＝8。鞏固與應(yīng)用第1題答案：x＝4；x＝；x＝；x＝13；x＝：x＝15。第2題答案：（1）60％x＝1200，x＝2000；（2）7s＝，s＝；（3）3x－x＝10，x＝5；（4）x＋3x＝，x＝。第3題分析數(shù)量關(guān)系時，引導(dǎo)學(xué)生注意“兩套叢書的本數(shù)相同”的條件。答案：設(shè)每套叢書有x本，＋＝120，x＝8。第4題猜一猜的題目，會激起學(xué)生的興趣，教學(xué)時要注重學(xué)生對等量關(guān)系的理解，讓學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程。（1）設(shè)這個數(shù)為x，5x＋5＝100，x＝19;（2）設(shè)這個數(shù)為x，8x＋x＝66,x＝8。第5題本題是傳統(tǒng)的“工程問題”，但教學(xué)時不要讓學(xué)生記憶和套用題型，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的實際意義和對等量關(guān)系的尋求列出方程。對于此類問題不需要再增加難度。答案：（1）8（a＋b）；（2）設(shè)修完這條公路需要x天，（85＋65）x＝3000，x＝20。第6題解答本題時，要注意理清原正方形的邊長、擴(kuò)大后正方形的邊長之間的關(guān)系，尋找到等量關(guān)系列出方程。本題有一定的挑戰(zhàn)性，作為基本要求，教師不必再補(bǔ)充比此題難度更高的問題。答案：設(shè)原正方形的邊長為x厘米，x＋13x＝48÷4，x（三）正比例、反比例這部分內(nèi)容所對應(yīng)的課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求：●通過具體問題認(rèn)識成正比例、反比例的量?！衲芨鶕?jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在有坐標(biāo)系的方格紙上畫圖，并根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值?！衲苷页錾钪谐烧壤统煞幢壤康膶嵗?，并進(jìn)行交流。教材分析與教學(xué)建議回顧與交流正比例和反比例是刻畫變量之間關(guān)系的兩個重要的模型，是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的兩個重要的“關(guān)系”（即函數(shù)）。對它們的學(xué)習(xí)也為以后學(xué)習(xí)函數(shù)奠定了重要基礎(chǔ)和經(jīng)驗。由于這兩個內(nèi)容是本學(xué)期才學(xué)習(xí)的，因此回顧和反思時，可以鼓勵學(xué)生自己獨立整理。教材也創(chuàng)設(shè)了尋找實例、列表、畫圖等豐富的活動，幫助學(xué)生再次體會兩個變量之間相互依賴的關(guān)系，加深對正、反比例關(guān)系的認(rèn)識。第1題鼓勵學(xué)生舉出成正比例、反比例的量，在學(xué)生舉例的基礎(chǔ)上，教師可以鼓勵學(xué)生回顧什么是成正比例、反比例的量，并說明自己的舉例為什么是成正比例或者成反比例。第2題教材創(chuàng)設(shè)了路程和時間之間關(guān)系的問題，并運用表格、圖、關(guān)系式、自然語言等方式來描述這一關(guān)系，使學(xué)生體會刻畫變量之間關(guān)系的多種形式，并促進(jìn)學(xué)生在幾種方式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。教學(xué)時，教師可以再舉出一些實際問題或鼓勵學(xué)生提出實際問題，讓學(xué)生再次經(jīng)歷多種方式表示的過程；同時，教師應(yīng)通過語言、板書等形式將幾種方式進(jìn)行對應(yīng)，如，表格中的2時的路程是200千米，對應(yīng)于圖中的哪個點？能否運用關(guān)系式求出？又如，每增加1時，路程的變化在表格中如何看出？在圖中如何看出？第3題將學(xué)生的視野由正比例、反比例拓展到兩個變量之間的關(guān)系，這也體現(xiàn)了本套教材的特點。學(xué)生只要能舉出例子就可以了，教師可以讓學(xué)生說清楚誰隨準(zhǔn)變化。對于感興趣的學(xué)生，教師可以鼓勵學(xué)生通過表格、圖等大致地刻畫變量之間的關(guān)系。鞏固與應(yīng)用第1題鼓勵學(xué)生用自己的語言說明理由。答案：（1）反比例；（2）不成比例；（3）反比例。第2題鼓勵學(xué)生用自己的語言說明理由。答案：（1）正比例；（2）不成比例；（3）反比例；（4）反比例。第3題注入水的時間/分58101323水的體積/升1016202646答案：第4題答案：（2）在一條直線上；（3）2分半時，行駛的路程為千米。第5題復(fù)習(xí)的是看圖找關(guān)系的內(nèi)容，圖能直觀地刻畫出兩個變量之間的關(guān)系，學(xué)生要根據(jù)所描述的情況進(jìn)行選擇。答案：第一幅圖符合。（四）探索規(guī)律這部分內(nèi)容所對應(yīng)的課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求：●探求給定的事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢。教材分析與教學(xué)建議回顧與交流探索規(guī)律是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，在本套教材中主要是鼓勵學(xué)生探索數(shù)之間蘊(yùn)涵的規(guī)律、圖形之間蘊(yùn)涵的規(guī)律、實際生活中蘊(yùn)涵的規(guī)律等。對于規(guī)律的探索，不僅僅能使學(xué)生加深對所學(xué)的數(shù)、圖形的理解，而且能夠發(fā)展學(xué)生觀察、歸納、概括的能力，同時可以使學(xué)生初步體會函數(shù)的思想。第1題探索乘法表中的規(guī)律。乘法表中蘊(yùn)涵著豐富的規(guī)律，教學(xué)時要給學(xué)生留下充分觀察和思考的時間，讓學(xué)生盡可能多地發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的規(guī)律，然后讓學(xué)生進(jìn)行交流，嘗試用語言、表格、圖、關(guān)系式或者其中的幾種方式刻畫所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。教師也可以引導(dǎo)學(xué)生有序地進(jìn)行觀察，橫看、豎看、斜看等。比如，學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)：（1）橫著看，每一行都是一個數(shù)的倍數(shù)。（2）豎著看，每一列都是一個數(shù)的倍數(shù)。（3）找出積相等的數(shù)，這些數(shù)所對應(yīng)的兩個乘數(shù)成反比例關(guān)系，如下圖所示。學(xué)生還可能發(fā)現(xiàn)其他規(guī)律，只要合理都應(yīng)鼓勵。鞏固與應(yīng)用第1題答案可以是：（1）后一個數(shù)比前一個數(shù)多3，20，26。（2）分別是平方數(shù)，從2的平方開始，36。（3）分別是立方數(shù)，從1的立方開始，64，216。（4）第三個數(shù)等于前兩個數(shù)的和，39，102。此題目有一定的挑戰(zhàn)性，教師需加以引導(dǎo)。第2題對于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，可以鼓勵他們通過實際操作探索規(guī)律。（1）10；（2）6＋3×4,6＋4×4,6＋4（n－1）。第3題學(xué)生可以利用不同的記號代表不同顏色的氣球，通過實際列舉得出答案。第20個氣球為黃色；第27個氣球也為黃色。第4題第5堆小球數(shù)是：1＋2＋3＋4＋5＝15；第8堆小球數(shù)是：1＋2＋3＋