【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章§2.1映射、函數(shù)及反函數(shù)精品課件 大綱人教

§2.1映射、函數(shù)及反函數(shù)

考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考2.1映射、函數(shù)及反函數(shù)雙基研習(xí)·面對(duì)高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考1．映射(1)定義：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有_____的元素和它對(duì)應(yīng)，那么，這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A，B，以及集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f)叫做集合A到集合B的_____，記作f：A→B.基礎(chǔ)梳理唯一映射(2)象和原象：給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的___，元素a叫做元素b的_____．2．函數(shù)(1)函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的_____一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有_____確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作y＝f(x)，x∈A，x的取值集合A叫做函數(shù)的______，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}，叫做函數(shù)的_____．象原象任意唯一定義域值域(2)函數(shù)的三要素______、_____和對(duì)應(yīng)法則．(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：______、解析法、______．定義域值域列表法圖象法3．反函數(shù)的定義設(shè)式子y＝f(x)表示y是x的函數(shù)，定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，從式子y＝f(x)中解出x，得到式子_______，如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x＝φ(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x＝φ(y)就表示x是y的函數(shù)，這樣的函數(shù)，叫做函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)，記作x＝f－1(y)，即x＝φ(y)＝f－1(y)，一般對(duì)調(diào)x＝f－1(y)中的字母x，y把它改寫成________．x＝φ(y)y＝f－1(x)4．反函數(shù)四個(gè)引申性質(zhì)原函數(shù)反函數(shù)原象與象的唯一互對(duì)性f(a)＝b?_________f－1(b)＝aCA單調(diào)相同思考感悟1．映射f：A→B與映射f：B→A是同一個(gè)映射嗎？提示：不一定．映射f：A→B必須滿足：(1)A中元素?zé)o剩余，且A中任何元素必須有象且唯一；(2)B中元素可以有剩余，即B中元素不一定有原象；(3)若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則可構(gòu)成映射f：A→B有nm個(gè)，映射f：B→A有mn個(gè)．2．映射與函數(shù)有什么區(qū)別？提示：映射不一定是函數(shù)，但函數(shù)一定是某一個(gè)映射；映射的兩個(gè)集合可以是任意非空集合，函數(shù)的集合一定是非空數(shù)集．1．在映射f：A→B中，下列判斷斷正確的是()A．A中的元素a的象可能不只只一個(gè)B．A中的兩個(gè)元素素a1和a2的象必不同C．B中的元素b的原象可能不不只一個(gè)D．B中的兩個(gè)不同同元素b1和b2的原象可能相相同答案：C課前熱身答案：D答案：D答案：(0,2)考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)一映射的概念映射是一種特特殊的對(duì)應(yīng)，，判斷對(duì)應(yīng)是是否為映射，，關(guān)鍵有兩點(diǎn)點(diǎn)：一是A中元素必須都都有象且唯一一，二是B中元素不一定定有原象，且且A中不同的元素素在B中可以有相同同的象．一般般地，“一對(duì)一”“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系可可構(gòu)成映射，，“一對(duì)多”不是映射．設(shè)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的對(duì)應(yīng)應(yīng)法則f能構(gòu)成從A到B的映射的是()A．f：x→x2＋x＋1B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→2x－1－1D．f：x→2x－1【思路分析】根據(jù)映射定義義，對(duì)于集合合A中的任何元素素，按照對(duì)應(yīng)應(yīng)法則f，在集合B中是否有唯一一的元素與它它對(duì)應(yīng)．例1【解析】∵當(dāng)x＝4時(shí)，x2＋x＋1＝21?B；當(dāng)x＝4時(shí)，x＋(x－1)2＝13?B；當(dāng)x＝1時(shí)，2x－1－1＝20－1＝0?B，∴A、B、C都不構(gòu)成從A到B的映射．對(duì)于D，經(jīng)驗(yàn)證，x＝1,2,3,4,5時(shí)2x－1的值分別為1,3,7,15,31.又映射并不要要求B中的任何元素素都有原象，，∴應(yīng)選D.【領(lǐng)悟歸納】判斷從A到B的映射，務(wù)必必用A中的任何元素素在B中找對(duì)應(yīng)的象象，切不可顛顛倒．此類問(wèn)題有時(shí)時(shí)是單獨(dú)的一一個(gè)小題，有有時(shí)作為解答答題的某一過(guò)過(guò)程．但考查查的都是常見見函數(shù)的通法法，待定系數(shù)數(shù)法、換元法法、消元法等等．如果已知知函數(shù)解析式式的類型，可可用待定系數(shù)數(shù)法；已知復(fù)復(fù)合函數(shù)的表表達(dá)式時(shí)，可可用換元法，，這時(shí)要注意意“元”的范圍；當(dāng)已已知表達(dá)式比比較簡(jiǎn)單時(shí)，，也可以用配配方法；若已已知抽象的函函數(shù)表達(dá)式，，則常用解方方程組，消元元的方法求出出解析式．考點(diǎn)二求函數(shù)解析式例2【思路分析】①可用配湊法法，②可用換換元法，③可可用方程組法法．求反函數(shù)解析析式的三步曲曲：“一解”、“二換”、“三定義”．所謂一解，，即首先由給給出的原函數(shù)數(shù)的解析式y(tǒng)＝f(x)，反解出用y表示x的式子x＝f－1(y)；二換，即將將x＝f－1(y)中的x，y兩個(gè)字母互換換，得到y(tǒng)＝f－1(x)即為所求的反反函數(shù)(即先解后換)；三定義，即即求出反函數(shù)數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值值域)．參考本節(jié)教教材例1及復(fù)習(xí)參考題題B組7題．考點(diǎn)三求反函數(shù)解析式例3【思路分析】求原函數(shù)值域域→反解x→交換x、y→得反函數(shù)．【領(lǐng)悟歸納】本題求反函數(shù)數(shù)的過(guò)程中，，要注意開方方時(shí)，是取“正”還是取“負(fù)”．這種問(wèn)題沒有有給出具體的的函數(shù)解析式式，只是借用用抽象的函數(shù)數(shù)意義，來(lái)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化其中的變變量關(guān)系，往往往結(jié)合恒等等式或不等式式轉(zhuǎn)化為自變變量的關(guān)系．．考點(diǎn)四抽象函數(shù)問(wèn)題例4【思路探究】(1)令x＝y(tǒng)＝1再求解可得．．(2)中賦值時(shí)注意意應(yīng)用(1)的結(jié)論．(3)用定義法確定定f(x)的單調(diào)性，從從而轉(zhuǎn)化為關(guān)關(guān)于x的不等式求解解．【思維升華】本題是抽象函函數(shù)問(wèn)題，盡盡管題中沒有有給出具體的的解析式，但但我們?nèi)钥梢砸酝ㄟ^(guò)不斷地地賦值去探索索其特殊自變變量的函數(shù)值值．常用的賦賦值有：x＝y(tǒng)＝0；x＝y(tǒng)＝1；x＝0，y＝1；x＝y(tǒng)；y＝－－x；….當(dāng)然然具具體體在在實(shí)實(shí)際際操操作作時(shí)時(shí)的的賦賦值值還還要要根根據(jù)據(jù)題題設(shè)設(shè)的的條條件件進(jìn)進(jìn)一一步步確確定定取取值值情情況況．．方法法技技巧巧1．若若兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系一一致致，，并并且且定定義義域域相相同同，，則則兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)為為同同一一函函數(shù)數(shù)．．如如課課前前熱熱身身2.2．函函數(shù)數(shù)的的三三種種表表示示方方法法：：列列表表法法、、圖圖象象法法和和解解析析法法，，三三者者之之間間是是可可以以互互相相轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化的的；；求求函函數(shù)數(shù)解解析析式式比比較較常常見見的的方方法法有有代代入入法法、、換換元元法法、、待待定定系系數(shù)數(shù)法法和和解解函函數(shù)數(shù)方方程程等等，，特特別別要要注注意意將將實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題化化歸歸為為函函數(shù)數(shù)問(wèn)問(wèn)題題，，通通過(guò)過(guò)設(shè)設(shè)自自變變量量，，寫寫出出函函數(shù)數(shù)的的解解析析式式并并明明確確定定義義域域，，還還應(yīng)應(yīng)注注意意使使用用待待定定系系數(shù)數(shù)法法時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)解解析析式式的的設(shè)設(shè)法法．．如如例例2.方法感悟3．分分段段函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)仍仍是是分分段段函函數(shù)數(shù)，，要要分分段段來(lái)來(lái)求求，，一一般般地地是是把把各各分分段段上上的的函函數(shù)數(shù)看看作作獨(dú)獨(dú)立立函函數(shù)數(shù)，，分分別別求求出出它它們們的的反反函函數(shù)數(shù)，，然然后后再再拼拼合合到到一一起起，，求求得得的的反反函函數(shù)數(shù)一一定定要要標(biāo)標(biāo)明明其其定定義義域域．．如如例例3的(3)．失誤誤防防范范1．映映射射是是一一種種特特殊殊的的集集合合之之間間的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系．．只只能能是是一一對(duì)對(duì)一一，，多多對(duì)對(duì)一一，，絕絕不不是是一一對(duì)對(duì)多多．．2．用換換元法法求函函數(shù)解解析式式時(shí)，，一定定要注注明新新“元”的范圍圍，(如例2的(1)、(2))．考向瞭望·把脈高考高考中中主要要考查查映射射與函函數(shù)的的基本本概念念，例例如求求象、、原象象以及及映射射的個(gè)個(gè)數(shù)等等，映映射的的內(nèi)容容可與與其它它知識(shí)識(shí)點(diǎn)結(jié)結(jié)合．．在高考考中常常以函函數(shù)作作為背背景，，結(jié)合合不等等式、、方程程、數(shù)數(shù)列等等知識(shí)識(shí)，考考查學(xué)學(xué)生處處理綜綜合問(wèn)問(wèn)題的的能力力．往往往以以綜合合題形形式出出現(xiàn)．．考情分析分段函函數(shù)在在高考考命題題上以以考查查基本本概念念與基基本計(jì)計(jì)算為為主，，題型型主要要是選選擇題題和填填空題題，也也有的的把定定義一一種新新運(yùn)算算作為為考查查的目目的．．在2010年的高高考中中，大大多數(shù)數(shù)省市市的高高考題題是與與具體體函數(shù)數(shù)的性性質(zhì)結(jié)結(jié)合起起來(lái)考考查，，陜西西文13題對(duì)分分段函函數(shù)及及函數(shù)數(shù)符號(hào)號(hào)(f(0))的意義義進(jìn)行行考查查．從近兩兩年的的高考考試題題來(lái)看看，對(duì)對(duì)反函函數(shù)的的考查查主要要是認(rèn)認(rèn)識(shí)反反函數(shù)數(shù)的定定義，，會(huì)求求反函函數(shù)．．能用用互為為反函函數(shù)的的圖象象的對(duì)對(duì)稱關(guān)關(guān)系解解決問(wèn)問(wèn)題．．以選選擇題題、填填空題題為主主，考考查基基本知知識(shí)，，基本本技能能，解解答題題很少少涉及及．在在2010年高考考中，，只有有四川川考題題的22題，求求反函函數(shù)僅僅作為為一小小問(wèn)．．預(yù)測(cè)2012年的高高考中中，以以分段段函數(shù)數(shù)求函函數(shù)值值，求求具體體函數(shù)數(shù)的反反函數(shù)數(shù)，結(jié)結(jié)合函函數(shù)的的奇偶偶性，，極值值等求求函數(shù)數(shù)解析析式為為主來(lái)來(lái)考查查．命題探源例【答案】D【探究溯溯源】此題與與人教教版(必修)第一冊(cè)冊(cè)(上)復(fù)習(xí)參參考題題二的的第15題中的的求反反函數(shù)數(shù)有相相似的的一面面，通通過(guò)指指數(shù)函函數(shù)與與對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)數(shù)之間間的關(guān)關(guān)系及及運(yùn)算算求反反函數(shù)數(shù)，考考查反反函數(shù)數(shù)的求求法及及其定定義域域與值值域之之間的的關(guān)系系．本題難難度適適中，，易錯(cuò)錯(cuò)的地地方是是在變變形過(guò)過(guò)程中中“＋”與“－”的變化化．名師預(yù)測(cè)2．若定定義在在[－2010,2010]上的函函數(shù)f(x)滿足：：對(duì)于于任意意x1，x2∈[－2010,2010]有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2009，且x>0時(shí)，有有f(x)>2009，f(x)的最大大值、、最小小值分分別為為M，N，則M＋N的值為為()A．2009B．2010C．4018D．4020解析：：選C.令x1＝x2＝0，則f(0)＝2009，又令令x1＝x，x2＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)－2