應用一元二次方程 分類訓練 北師大版九年級數學上冊

第19頁（共19頁）第二章2.6應用一元二次方程分類訓練（附答案）類型一：幾何圖形面積問題1．如圖所示，學校準備在教學樓后面搭建一個簡易矩形自行車車棚，一邊利用教學樓的后墻（可利用的墻長為17m），另外三邊利用學?，F(xiàn)有總長34m的鐵欄圍成．（1）若圍成的面積為144m2，試求出自行車車棚的長和寬；（2）能圍成面積為160m2的自行車車棚嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．2．在“精準扶貧”工作中，某單位建議貧困戶借助家里長25m的墻AB建造面積為450m2的長方形區(qū)域來養(yǎng)一些家禽，該單位給貧困戶提供65m長的籬笆（全部用于建造長方形區(qū)域），并提供如圖所示的兩種方案：（1）如圖1，若選取墻AB的一部分作為長方形的一邊，其他三邊用籬笆圍成，則在墻AB上借用的CF的長度為多少？（2）如圖2，若將墻AB全部借用，并在墻AB的延長線上拓展BF，構成長方形ADEF，BF，F(xiàn)E，ED和DA都由籬笆構成，求BF的長．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動的時間為ts，求：（1）用含t的代數式表示Rt△CPQ的面積S；（2）當t＝3秒時，這時，P、Q兩點之間的距離是多少？（3）當t為多少秒時，S＝S△ABC？4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤6）．那么當t為何值時，△QAP的面積等于8cm2？5．已知一本數學書長為26cm，寬為18.5cm，厚為1cm．一張長方形包書紙如圖所示，它的面積為1408cm2，虛線表示的是折痕．由長方形相鄰兩邊與折痕圍成的四角均為大小相同的正方形，求正方形的邊長．6．為節(jié)省材料，某水產養(yǎng)殖戶利用水庫堤岸（堤岸足夠長）為一邊，用總長為120米的圍網在水庫中圍成如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，且三塊區(qū)域面積相等．設BC的長度為xm．（1）求AE的長（用含x的代數式表示）．（2）當矩形ABCD的面積為600m2時，求BC的長．7．有一塊長12cm，寬8cm的長方形鐵皮，如果在鐵皮的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個底面面積為32cm2的無蓋的盒子，求截去的小正方形的邊長．8．如圖，某城建部門計劃在新建的城市廣場的一塊長方形空地上修建一個面積為1200m2的停車場，將停車場四周余下的空地修建成同樣寬的通道，已知整個長方形空地的長為50m，寬為40m．（1）求四周通道的寬度；（2）某建筑公司希望用80萬元的承包金額承攬這項工程，城建部門認為金額太高需要降價，經過兩次協(xié)商，最終以51.2萬元達成一致，若兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．9．如圖，某農場有一塊長20m，寬16m的矩形種植地，為方便管理，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為252m2，求小路的寬．10．在絲綢博覽會期間，某公司展銷如圖所示的長方形工藝品，該工藝品長60cm，寬40cm，中間鑲有寬度相同的三條絲綢條帶．（1）若絲綢條帶的面積為650cm2，求絲綢條帶的寬度；（2）已知該工藝品的成本是40元/件，如果以單價為100元/件銷售，那么每天可售出200件，另外每天除工藝品的成本外所需支付的各種費用是2000元，根據銷售經驗，如果將銷售單價降低1元，每天可多售出20件，請問該公司每天把銷售單價定為多少元時，當日所獲利潤為22500元．11．如圖是一張長12cm，寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒，求剪去的正方形的邊長．類型二：變化率問題12．合肥市今年1月份新房銷售量約為6000套，3月份銷售量約為5400套．（1）如果2、3兩個月平均下降率相同，求每月平均下降的百分率是多少？（參考數據：≈0.95）（2）如果銷售繼續(xù)回落，按此下降百分率，你預測5月份是否會跌破4500套？請說明理由．列方程解應用題：某公司今年7月的營業(yè)額為2500萬元，按計劃第三季的總營業(yè)額要達到9100萬元，求該公司8月、9月兩個月營業(yè)額的月均增長率．14．隨著人民生活水平的不斷提高，某市家庭轎車的擁有量逐年增加，據統(tǒng)計，某小區(qū)2018年底擁有家庭轎車64輛，2020年底家庭轎車的擁有量達到100輛，若該小區(qū)家庭轎車擁有量的年平均增長率相同．（1）求該小區(qū)家庭轎車擁有量的年平均增長率；（2）該小區(qū)到2021年底家庭轎車擁有量將達到多少輛？15．隨著全球疫情的爆發(fā)，醫(yī)療物資需求猛增，某企業(yè)及時引進一條口罩生產線生產口罩，開工第一天生產口罩5000盒，第三天生產口罩7200盒，若每天增長的百分率相同．（1）求每天增長的百分率．（2）經調查發(fā)現(xiàn)，1條生產線的最大產能是15000盒/天，但是每增加1條生產線，每條生產線的產能將減少500盒/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產口罩65000盒，在增加產能的同時又要節(jié)省投入的條件下（生產線越多，投入越大），應該增加幾條生產線？16．2019年某縣投入100萬元用于農村“扶貧工程”，計劃以后每年以相同的增長率投入，2021年該縣計劃投入“扶貧工程”144萬元．（1）求該縣投入“扶貧工程”的年平均增長率；（2）若2022年保持從2019年到2021年的年平均增長率不變，求2022年該縣將投入“扶貧工程”多少萬元？17．某口罩生產廠生產的口罩1月份平均日產量為30000個，1月底因突然爆發(fā)新冠肺炎疫情，市場對口罩需求量大增，為滿足市場需求，廠決定從2月份起擴大產量，3月份平均日產量達到36300個．（1）求口罩日產量的月平均增長率；（2）按照這個增長率，預計4月份平均日產量為多少？18．隨著天氣的逐漸變暖，沃爾瑪商場準備對某品牌的服裝降價促銷，若兩次降價的百分率均相同，原價1000元的服裝經過兩次降價后現(xiàn)銷售價為810元．（1）問每次降價的百分率是多少？（2）第一次降價金額比第二次降價金額多多少元？類型三：利潤問題19．某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件．為了增加利潤，減少庫存，商店決定采取適當的降價措施．經市場調查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么可多售出2件．設每件童裝降價x元．（1）降價后，每件盈利元，每天可銷售件；（用含x的代數式填空）（2）每件童裝降價多少元時，每天盈利1200元；（3）該專賣店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此時每件童裝降價多少元，若不能，說明理由．20．為滿足市場需求，中百超市在中秋節(jié)前夕購進價格為6元/個的月餅，根據市場預測，該品牌月餅每個售價8元時，每天能出售1000個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌月餅的售價不能超過進價的200%．（1）該品牌月餅每個售價為9元，則每天出售多少個？（2）該品牌月餅定價為多少元時，該超市每天的銷售利潤為3200元．21．為滿足市場需求，某超市在端午節(jié)的前夕購進價格為3元/個的粽子，根據市場預測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子的售價不能超過進價的200%．（1）該品牌粽子定價為多少元時，該超市每天的銷售利潤為800元．（2）該超市每天的銷售利潤能否達到1000元，若能，請求出該品牌每個粽子的售價，若不能，請說明理由．22．某商店銷售一批小家電，每臺成本40元，經市場調研，當每臺售價定為52元時，可銷售180臺；若每臺售價每增加1元，銷售量將減少10臺．（1）如果每臺小家電售價增加2元，則該商店可銷售臺；（2）商店銷售該家電獲利2000元，那么每臺售價應增加多少元？23．商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施．調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．（1）若每臺冰箱降價150元，則平均每天可售出臺冰箱；（2）商場要想在這種冰箱銷售中平均每天盈利4800元，要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？24．某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了迎接“五一”國際勞動節(jié)，商店決定采取適當的降價措施，以擴大銷售量，盡快減少庫存，增加利潤．經市場調查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件．（1）設每件童裝降價x元時，每天可銷售件，每件盈利元；（用x的代數式表示）（2）為了擴大銷售量，盡快減少庫存，每件童裝降價多少元時，平均每天盈利1200元；（3）平均每天盈利1300元，可能嗎？請說明理由．類型四：傳播問題25．假設某地有一個人患了新型冠狀病毒，經過兩輪傳染后共有169人患了此病毒．（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）按照這樣的速度傳染，三輪傳染后共有多少人患了新型冠狀病毒？26．2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？27．某種病毒傳播非常快，如果一個人被感染，經過兩輪感染后就會有121個人被感染．（1）每輪感染中平均一個人會感染幾個人？（2）若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過1300人？28．第四屆數字中國建設峰會于2021年4月25日在福州開幕，在其中一場數字產品的交易碰頭會上，與會的每兩家公司之間都簽訂了一份互助協(xié)議，所有公司共簽訂了210份協(xié)議，求共有多少家公司參加這場交易碰頭會？29．某種肺炎病毒在M國爆發(fā)，經世衛(wèi)組織研究發(fā)現(xiàn)：病毒有極強的傳染性．在調查某工廠的疫情時，發(fā)現(xiàn)最初只有1位出差回來的病毒攜帶者，在召開工廠車間組長會議時發(fā)生了第一輪傳染，開完會后所有人都回到各自車間工作又發(fā)生了第二輪傳染，這時全廠一共有196人檢測出攜帶病毒．假如每個病毒攜帶者每次傳染人數都相同，求每個病毒攜帶者每次傳染多少人？30．某校有200臺學生電腦和1臺教師用電腦，現(xiàn)在教師用電腦被某種電腦病毒感染，且該電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有16臺電腦被感染．（1）每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？（2）若病毒得不到有效控制，輪感染后機房內所有電腦都被感染．

參考答案1．解：（1）設AB＝xm，則BC＝（34﹣2x）m，依題意得：x（34﹣2x）＝144，整理得：x2﹣17x+72＝0，解得：x1＝8，x2＝9．當x＝8時，34﹣2x＝34﹣2×8＝18＞17，不合題意，舍去；當x＝9時，34﹣2x＝34﹣2×9＝16＜17，符合題意．答：自行車車棚的長為16m，寬為9m．（2）不能，理由如下：設AB＝y(tǒng)m，則BC＝（34﹣2y）m，依題意得：y（34﹣2y）＝160，整理得：y2﹣17y+80＝0．∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，∴該方程沒有實數根，即不能圍成面積為160m2的自行車車棚．2．解：（1）設CF的長度為xm，則CD＝m，依題意得：x?＝450，解得：x1＝20，x2＝45．∵墻AB的長為25m，∴x＝45不合題意，舍去，∴CF＝20．答：在墻AB上借用的CF的長度為20m．（2）設BF的長為ym，則AD＝＝（20﹣y）m，依題意得：（25+y）（20﹣y）＝450，解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合題意，舍去），∴BF＝5m．答：BF的長為5m．3．解：（1）若運動的時間為ts，則CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∴S＝CP?CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2．又∵，∴0≤t≤5．∴Rt△CPQ的面積S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）．（2）當t＝3時，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm），∴PQ＝＝＝10（cm）．（3）依題意得：20t﹣4t2＝××15×20，整理得：t2﹣5t+6＝0，解得：t1＝2，t2＝3．∴t為2或3時，S＝S△ABC．4．解：當運動時間為ts時，AP＝2tcm，AQ＝（6﹣t）cm，依題意得：×2t（6﹣t）＝8，整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．答：當t為2s或4s時，△QAP的面積等于8cm2．5．解：設正方形的邊長為xcm，由題意得（18.5×2+1+2x）（26+2x）＝1408，化簡得x2+32x﹣105＝0，解得x1＝3，x2＝﹣35（不合題意，舍去）．答：正方形的邊長為3cm．6．解：（1）設BE＝am，則AE＝2am，AB＝3am，依題意得：2×3a+2a+2x＝120，∴a＝﹣x+15，∴AE＝2a＝﹣x+30，∴AE的長為（﹣x+30）m．（2）依題意得：3a?x＝600，即3（﹣x+15）x＝600，整理得：x2﹣60x+800＝0，解得：x1＝20，x2＝40．答：BC的長為20m或40m．7．解：設截去的小正方形的邊長為xcm，根據題意列方程，得（12﹣2x）（8﹣2x）＝32．整理，得x2﹣10x+16＝0．解得x1＝8，x2＝2．因為8﹣2x＜0．所以x1＝8不合題意，舍去．答：截去的小正方形的邊長為2cm．8．解：（1）設四周通道的寬度為xm，則停車場的長為（50﹣2x）m，寬為（40﹣2x）m，依題意得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝1200，整理得：x2﹣45x+200＝0，解得：x1＝5，x2＝40．當x＝5時，40﹣2x＝40﹣2×5＝30，符合題意；當x＝40時，40﹣2x＝40﹣2×40＝﹣40＜0，不符合題意，舍去．答：四周通道的寬度為5m．（2）設每次降價的百分率為m，依題意得：80（1﹣m）2＝51.2，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不合題意，舍去）．答：每次降價的百分率為20%．9．解：設小路的寬為xm，依題意有（20﹣x）（16﹣x）＝252，整理，得x2﹣36x+68＝0．解得x1＝2，x2＝34（不合題意，舍去）．答：小路的寬應是2m．10．解：（1）設條帶的寬度為xcm，根據題意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣650．整理，得x2﹣70x+325＝0，解得x1＝5，x2＝65（舍去）．答：絲綢條帶的寬度為5cm．（2）設每件工藝品降價y元出售，由題意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝22500．解得：y1＝y(tǒng)2＝25．所以售價為100﹣25＝75（元）．答：當售價定為75元時能達到利潤22500元．11．解：設正方形的邊長為xcm，根據題意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的邊長為2cm．12．解：（1）設該公司這兩個月住房銷售量的平均下降率為x，依題意，得：6000（1﹣x）2＝5400，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.05（不合題意，舍去）．答：每月平均下降的百分率是5%；（2）如果按此降低的百分率繼續(xù)回落，估計5月份的商品房成交均價為：5400（1﹣x）2＝5400×0.952＝4873.5＞4500由此可知5月份該市的商品房成交均價不會跌破4500元/m2．13．解：設該公司8月、9月兩個月營業(yè)額的月均增長率為x，則可列方程為2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，解得x1＝0.2，x2＝﹣3.2（不合題意，舍去）．答：該公司8月、9月兩個月營業(yè)額的月均增長率是20%．14．（1）解：設家庭轎車擁有量的年平均增長率為x，則64（1+x）2＝100，解得x＝0.25＝25%，或x＝﹣2.25（不合題意，舍去）．答：年平均增長率是25%；（2）解：100（1+25%）＝125，答：該小區(qū)到2021年底家庭轎車將達到125輛．15．解：（1）設每天增長的百分率為x，依題意得：5000（1+x）2＝7200，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：每天增長的百分率為20%．（2）設增加y條生產線，則每條生產線的產量為（15000﹣500y）盒/天，依題意得：（1+y）（15000﹣500y）＝65000，整理得：y2﹣29y+100＝0，解得：y1＝4，y2＝25．又∵要節(jié)省投入，∴y＝4．答：應該增加4條生產線．16．解：（1）設該縣投入“扶貧工程”的年平均增長率為x，依題意得：100（1+x）2＝144，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該縣投入“扶貧工程”的年平均增長率為20%．（2）144×（1+20%）＝144×1.2＝172.8（萬元）．答：預計2022年該縣將投入“扶貧工程”172.8萬元．17．解：（1）設口罩日產量的月平均增長率為x，依題意得：30000（1+x）2＝36300，解得：x1＝﹣2.1（不合題意，舍去），x2＝0.1＝10%．答：口罩日產量的月平均增長率為10%．（2）36300×（1+10%）＝39930（個）．答：預計4月份平均日產量為39930個．18．解：（1）設每次降價的百分率為x，根據題意，得：1000（1﹣x）2＝810，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），答：每次降價的百分率是10%；（2）1000×10%﹣[1000×（1﹣10%）﹣810]＝10（元），答：第一次降價金額比第二次降價金額多10元．19．解：（1）若每件童裝降價x元，則每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元，每天可銷售（20+2x）件．故答案為：（40﹣x）；（20+2x）．（2）依題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∵為了增加利潤，減少庫存，∴x＝20．答：每件童裝降價20元時，每天盈利1200元．（3）該專賣店每天盈利不能等于1300元，理由如下：依題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1300，整理得：x2﹣30x+250＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴該方程沒有實數根，即該專賣店每天盈利不能等于1300元．20．解：（1）1000﹣（9﹣8）÷0.1×10＝1000﹣1÷0.1×10＝1000﹣100＝900（個）．答：該品牌月餅每個售價為9元時，每天出售900個．（2）設該品牌月餅定價為x元，則每個月餅的銷售利潤為（x﹣6）元，每天可售出1000﹣（x﹣8）÷0.1×10＝（1800﹣100x）個，依題意得：（x﹣6）（1800﹣100x）＝3200，整理得：x2﹣24x+140＝0，解得：x1＝10，x2＝14．又∵該品牌月餅的售價不能超過進價的200%，∴x≤6×200%＝12，∴x＝10．答：該品牌月餅定價為10元時，該超市每天的銷售利潤為3200元．21．解：（1）設每個粽子的定價為x元時，每天的利潤為800元，根據題意得：（x﹣3）（500﹣10×）＝800，解得x1＝7，x2＝5，∵售價不能超過進價的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x＝5，∴定價為5元時，每天的利潤為800元；（2）不能．理由：設每個粽子的定價為m元，則每天的利潤為w，則有：w＝（m﹣3）（500﹣10×）＝（m﹣3）（500﹣100m+400）＝﹣100（m﹣3）（m﹣9）＝﹣100（m2﹣12m+27）＝﹣100[（m﹣6）2﹣9]＝﹣100（m﹣6）2+900，∵二次項系數為﹣100＜0，m≤6，∴當定價為6元時，每天的利潤最大，最大的利潤是900元，不能達到1000元．22．解：（1）180﹣10×2＝180﹣20＝160（臺）．故答案為：160．（2）設每臺家電增加x元，則每臺的銷售利潤為52﹣40+x＝（12+x）元，可銷售（180﹣10x）臺，依題意得：（12+x）（180﹣10x）＝2000，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣2（不合題意，舍去）．答：每臺家電增加8元．23．解：（1）∵每降低50元，平均每天就能多售出4臺，∴降價150元時，每天多賣出12臺，∴平均每天可賣出：12+8＝20；故答案是20；（2）解：設每臺冰箱應降價x元，由題意列方程得：（2400﹣2000﹣x）（8+）＝4800，整理，得：x2﹣300x+20000＝0，解這個方程得x1＝100，x2＝200，要使老百姓得到實惠，取x＝200．答：每臺冰箱應降價200元．24．解：（1）若每件童裝降價x元，則每天可銷售（20+2x）件，每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元．故答案為：（20+2x）；（40﹣x）．（2）設每件童裝降價y元，則每件盈利（40﹣y）元，每天的銷售量為（20+2y）件，依題意得：（40﹣y）（20+2y）＝1200，整理得：y2