【優(yōu)化方案】高三數學一輪復習 第4章4.2平面向量基本定理及向量坐標表示課件 文 北師大

§4.2平面向量基本定理及向量坐標表示

考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§4.2平面向量基本定理及向量坐標表示雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理1．平面向量基本定理及坐標表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個________向量，那么對于這一平面內的任一向量a，_________一對實數λ1，λ2，使a＝____________.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組________．不平行存在唯一基底λ1e1＋λ2e2(2)平面向量的坐標表示①在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數x，y，使a＝xi＋yj，把有序數對_______叫作向量a的坐標，記作a＝________，其中___叫作a在x軸上的坐標，__叫作a在y軸上的坐標．②設＝xi＋yj，則向量的坐標(x，y)就是____的坐標，即若＝(x，y)，則A點坐標為_______，反之亦成立．(O是坐標原點)(x，y)(x，y)(x，y)y點Ax2．平面向量的坐標運算(1)加法、減法、數乘的運算向量aba＋ba－bλa坐標(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)該向量終點的坐標減去始點的坐標λbx1y2－x2y1＝0提示：不能，因為x2，y2有可能為0，故應表示成x1y2－x2y1＝0.

思考感悟1．(2009年高考廣東卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b(

)A．平行于x軸B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸D．平行于第二、四象限的角平分線解析：選C.∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y軸．課前熱身2．(2009年高考重慶卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實數x的值是(

)A．－2

B．0C．1 D．2答案：D答案：C答案：：－2或11考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一平面向量基本定理及其應用利用用平平面面向向量量基基本本定定理理表表示示向向量量時時，，要要選選擇擇一一組組恰恰當當的的基基底底來來表表示示其其他他向向量量，，即即用用特特殊殊向向量量表表示示一一般般向向量量．．例1【答案案】x≤0且0≤≤x＋y≤1【規(guī)律律小小結結】用已已知知向向量量來來表表示示另另外外一一些些向向量量是是用用向向量量解解題題的的基基本本功功，，除除利利用用向向量量的的加加減減法法、、數數乘乘運運算算外外，，還還應應充充分分利利用用平平面面幾幾何何的的一一些些定定理理，，因因此此在在求求向向量量時時要要盡盡可可能能轉轉化化到到平平行行四四邊邊形形或或三三角角形形中中，，選選用用從從同同一一頂頂點點出出發(fā)發(fā)的的基基本本向向量量或或首首尾尾相相連連的的向向量量，，運運用用向向量量加加減減法法運運算算及及數數乘乘運運算算來來求求解解，，即即充充分分利利用用相相等等向向量量、、相相反反向向量量和和線線段段的的比比例例關關系系，，運運用用加加法法的的三三角角形形法法則則、、平平行行四四邊邊形形法法則則、、減減法法的的三三角角形形法法則則、、三三角角形形中中位位線線定定理理、、相相似似三三角角形形對對應應邊邊成成比比例例等等平平面面幾幾何何的的性性質質，，把把已已知知向向量量轉轉化化為為與與未未知知向向量量有有直直接接關關系系的的向向量量來來求求解解．．變式式訓訓練練1利用用向向量量的的坐坐標標運運算算解解題題，，主主要要就就是是根根據據相相等等的的向向量量坐坐標標相相同同這這一一原原則則，，通通過過列列方方程程(組)進行行求求解解．．在在將將向向量量用用坐坐標標表表示示時時，，要要分分清清向向量量的的起起點點和和終終點點坐坐標標，，也也就就是是要要注注意意向向量量的的方方向向，，不不要要寫寫錯錯坐坐標標．．考點二向量的坐標運算例2【思路路點點撥撥】建立立直直角角坐坐標標系系，，利利用用向向量量的的坐坐標標運運算算解解答答．．【答案案】2【思維維總總結結】向量量的的坐坐標標運運算算主主要要是是利利用用加加、、減減、、數數乘乘運運算算法法則則進進行行．．若若已已知知有有向向線線段段兩兩端端點點的的坐坐標標，，則則應應先先求求出出向向量量的的坐坐標標，，解解題題過過程程中中要要注注意意方方程程思思想想的的運運用用及及正正確確使使用用運運算算法法則則．．1．凡凡遇遇到到與與平平行行有有關關的的問問題題時時，，一一般般要要考考慮慮運運用用向向量量平平行行的的充充要要條條件件．．2．向向量量共共線線的的坐坐標標表表示示提提供供了了通通過過代代數數運運算算來來解解決決向向量量共共線線的的方方法法，，也也為為點點共共線線、、線線平平行行問問題題的的處處理理提提供供了了容容易易操操作作的的方方法法．．解解題題時時要要注注意意共共線線向向量量定定理理的的坐坐標標表表示示本本身身具具有有公公式式特特征征，，應應學學會會利利用用這這一一點點來來構構造造函函數數和和方方程程，，以以便便用用函函數數與與方方程程的的思思想想解解題題．．考點三向量共線(平行)的坐標表示(2010年高考陜陜西卷)已知向量量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.【思路點撥撥】由向量平平行的充充要條件件列出關關于m的方程，，然后求求解．【解析】∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴1×2－(－1)·(m－1)＝0，∴m＝－1.例3【答案】m＝－1【誤區(qū)警示示】解答本題題過程中中，易將將方程列列成(－1)×1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出錯，，導致此此種錯誤誤的原因因是：沒沒有準確確記憶兩兩個向量量平行的的充要條條件，將將其與向向量垂直直的條件件混淆．．向量的坐坐標運算算常在三三角函數數、解析析幾何等等知識交交匯點處處命題，，解答這這類問題題的關鍵鍵是認真真領會題題中所給給信息，，并將所所得的信信息應用用于題目目中去，，以解決決實際問問題．考點四向量的綜合問題已知向量量u＝(x，y)與向量v＝(y,2y－x)的對應關系用用v＝f(u)表示．(1)設a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)與f(b)的坐標；(2)求使f(c)＝(p，q)(p、q為常數)的向量c的坐標；(3)證明：對任意意的向量a、b及常數m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．例4【思路點撥】本題關鍵是找找出“函數”v＝f(u)的對應關系，，此處的變量量為向量的坐坐標，因此，，可通過坐標標運算來解決決問題．【解】(1)∵a＝(1,1)，∴f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．又∵b＝(1,0)，∴f(b)＝(0,2××0－1)＝(0，－1)．(3)證明：設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．方法技巧1．用向量解解答幾何問問題的一般般思路是：：選擇一組組基底，運運用平面向向量基本定定理將條件件和結論表表示成向量量形式，再再通過向量量的運算來來解答．(如例1)2．向量的坐坐標運算，，使得向量量的線性運運算都可用用坐標來進進行，實現現了向量運運算完全代代數化，將將數與形緊緊密結合起起來，就可可以使很多多幾何問題題的解答轉轉化為我們們熟知的數數量運算．．(如例2)方法感悟3．兩個向量量共線的充充要條件在在解題中具具有重要的的應用，一一般地，如如果已知兩兩向量共線線，求某些些參數的值值，則利用用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),則a∥b的充要條件件是x1y2－x2y1＝0”比較簡捷．．(如例3)4．對于向量量坐標的綜綜合應用，，關鍵是利利用已知條條件轉化為為方程或函函數關系式式解決．(如例4)1．數學上的的向量是自自由向量，，向量a＝(x，y)經過平移后后得到的向向量的坐標標仍是(x，y)．2．若若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則則a∥b(b≠0)的充充要要條條件件是是a＝λb，這這與與x1y2－x2y1＝0在本本質質上上是是沒沒有有差差異異的的，，只只是是形形式式上上不不同同．．失誤誤防防范范考情分析考向瞭望?把脈高考向量量的的坐坐標標運運算算和和向向量量共共線線的的坐坐標標表表示示是是高高考考的的預測2012年高考仍將以向量的坐標運算、向量共線的坐標表示為主要考點，重點考查運算能力與應用能力．(2009年高高考考廣廣東東卷卷)若平平面面向向量量a，b滿足足|a＋b|＝1，a＋b平行行于于x軸，，b＝(2，－－1)，則則a＝________.【思路路點點撥撥】利用用a＋b平行行于于x軸，，設設出出a＋b的坐坐標標．．利利用用向向量量的的坐坐標標運運算算并并分分類類討討論論．．命題探源源例【解析】∵a＋b平行于x軸，故可可設a＋b＝(m,0)，由|a＋b|＝1?m2＝1，故m＝±1.當m＝1時，a＝(1,0)－b＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)；當m＝－1時，a＝(－1,0)－b＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．∴a＝(－1,1)或(－3,1)．【答案】(－1,1)或(－3,1)【名師點評評】(1)本題易失失誤的是是：①模的坐標標運算不不知，不不能將模模的關系系轉化為為坐標關關系；②不理解向向量與x軸平行的的含義．．(2)在解決向向量問題題時，如如果沒有有向量的的坐標形形式，可可以引入入坐標使使抽象問問題具體體化．其其實，向向量的坐坐標運算算是一種種把其他他運算轉轉化為純純數字運運算的有有效途徑徑，尤其其是碰到到幾何問問題時(一些涉及及幾何圖圖形的向向量試題題，由于于幾何性性質不能能直接應應用而使使問題變變得復雜雜難求，，如果能建建立適當當的坐標標系，用用代數式式表示圖圖形的性性質，即即圖形數數字化，，以“數”解“形”，可使解解題思路路清晰，，便于問問題順