《高考調(diào)研》高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第十一章《排列、組合和二項式定理》課件113

1．二項式定理的內(nèi)容．(1)(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)．(2)第r＋1項，Tr＋1＝

.(3)第r＋1項的二項式系數(shù)為

．Cnran－rbrCnr(r＝0,1，…，n)2．二項式系數(shù)的性質(zhì)．(1)0≤k≤n時，Cnk與Cnn－k的關(guān)系是

．相等答案

20答案

A3．若(cosφ＋x)5的展開式中x3的系數(shù)為2，則sin(2φ＋)＝________.4．設(shè)n∈N*，則Cn1＋Cn2·6＋Cn3·62＋…＋Cnn·6n－1＝________.答案B解析由通項公式式可得展開開式中含x4項為T8＋1＝C88x4＝x4，故含x4項的系數(shù)為為1，令x＝1，得展開式式的系數(shù)和和S＝1，故展開式式中不含x4項的系數(shù)的的和為1－1＝0.題型一求展開式中中的項例1(1)(2010·江西卷)(1－x)10展開式中x3項的系數(shù)為為()A．－720B．720C．120D．－120【解析】由通項公式式Tr＋1＝C10r(－x)r＝(－1)rC10r·xr，令r＝3，可得T3＋1＝C103(－x)3＝－120x3，故選D.【答案】D(4)求(1＋x＋x2)8展開式中x5的系數(shù)．【解析】法一：(通項公式法)(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8展開后的通式式公式是Tr＋1＝C8r(x＋x2)r，則x5的系數(shù)由(x＋x2)r決定，而(x＋x2)r的展開通項公公式是T′k＋1＝Crkxr－kx2k＝Crkxr＋k，所所以以(1＋x＋x2)8展開開式式的的通通項項公公式式是是C8rCrkxr＋k，其其中中0≤≤k≤r≤8，r＋k＝5，r、k∈N.法二：(逐項研究究法)(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝C80(1＋x)8＋C81(1＋x)7·x2＋C82(1＋x)6·(x2)2＋C83(1＋x)5·(x2)3＋…＋C88(1＋x)0·(x2)8，則展開開式中含含x5的系數(shù)為為C80C85＋C81C73＋C82C61＝504.法三：：(基本原原理法法)將(1＋x＋x2)8寫成八八個因因式乘乘積的的形式式(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·……·(1＋x＋x2)(共8個)．這八個個因式式中乘乘積展展開式式中形形式x5的來源源有三三：①有兩個個括號號各出出一個個x2，其余余六個個括號號中恰恰有一一個括括號出出一個個x，這種種方式式共有有C82C61種；②有一個個括號號出一一個x2，其余余七個個括號號中恰恰有三三個括括號各各出一一個x，共有有C81C73種；③沒有一一個括括號出出一個個x2，恰有有五個個括號號各出出一個個x，共有有C85種．故x5的系數(shù)數(shù)是C82C61＋C81C73＋C85＝504.探究1求二項項展開開式中中指定定項，，關(guān)鍵鍵是研研究通通項公公式，，對多多個多多項式式相乘乘成三三項式式，要要結(jié)合合通項項，打打出指指數(shù)的的組成成規(guī)律律，確確定項項的組組成規(guī)規(guī)律．．思考題題1(1)(2010·湖北卷卷)在(1－x2)10的展開開式中中，x4的系數(shù)數(shù)為________．【解析】注意到到二項項式(1－x2)10的展開開式的的通項項是Tr＋1＝C10r·110－r·(－x2)r＝C10r·(－1)r·x2r，因此此(1－x2)10的展開開式中中，x4的系數(shù)數(shù)等于于C102·(－1)2＝45.【答案】45【解析】通項公公式為為Tr＋1＝C9rx9－r·(－a)rx－r＝(－a)rC9rx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，故(－a)3C93＝－84，解得得a＝1.【答案】1【解析】根據(jù)二項式式系數(shù)的性性質(zhì)，列方方程求解n，系數(shù)絕對對值最大的的問題需要要列不等式式組求解．．由題意知，，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0.∴2n＝32，解得n＝5.探究2本例中是求求“系數(shù)絕絕對值最大大的項”，若改為“系數(shù)最大的的項”又該如何處處理？因為為第4項的系數(shù)為為負(fù)值，所所以系數(shù)最最大項必是是第3項或第5項中的某一一項．比較較這兩項的的系數(shù)C10228與C10426的大小即可可．思考題2在(1＋x)n(n∈N*)的二二項項展展開開式式中中，，若若只只有有x5的系系數(shù)數(shù)最最大大，，則則n＝()A．8B．9C．10D．11【解析析】x5的系系數(shù)數(shù)是是第第6項，，它它是是中中間間項項．．∴n＝10，選選C【答案案】C題型型三三二項項式式系系數(shù)數(shù)和和例3已知知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.探究究3①求二二項項式式展展開開式式的的各各項項系系數(shù)數(shù)和和問問題題常常用用賦賦值值法法②注意意區(qū)區(qū)別別各各項項系系數(shù)數(shù)與與各各項項的的二二項項式式系系數(shù)數(shù)是是不不同同的的題型型四四二項項式式定定理理的的綜綜合合應(yīng)應(yīng)用用例4(1)求證證：：n∈N且n≥3時，，2n－1≥n＋1.(2)求證證：：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被被64整除除．．(3)計算算1.056.(精確確到到0.01)【解析析】(1)n≥3時，，2n＝(1＋1)n＝1＋n＋Cn2＋…＋n＋1≥2＋2n∴2n－1≥n＋1(2)原式式＝＝(1＋8)n＋1－8n－9＝1＋Cn＋1181＋Cn＋1282＋…＋Cn＋1n＋18n＋1－8n－9＝Cn＋1282＋Cn＋1383＋…＋Cn＋1n＋18n＋1＝64(Cn＋12＋Cn＋138＋…＋Cn＋1n＋18n－1)．∵Cn＋12，Cn＋13，…，Cn＋1n＋1均為為自自然然數(shù)數(shù)，，上上式式各各項項均均為為64的整數(shù)數(shù)倍．．∴32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．．(3)1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋……＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34.探究4(1)二項式式定理理的一一個重重要用用途是是做近近似計計算：：當(dāng)n不很大，|x|比較小時，，(1＋x)n≈1＋nx.(2)在證明整除除問題或求求余數(shù)問題題時要進(jìn)行行合理的變變形，使被被除式(數(shù))展開后的每每一項都含含有除式的的因式．(3)由于(a＋b)n的展開式共共有n＋1項，故可以以通過對某某些項的取取舍來放縮縮，從而達(dá)達(dá)到證明不不等式的目目的．1．一定要牢牢記通項Tr＋1＝Cnran－rbr，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，，但具體到到它們展開開式的某一一項時是不不相同的．．2．對于二項項式系數(shù)問問題，首先先要熟記二二項式系數(shù)數(shù)的性質(zhì)，，其次要掌掌握賦值法法．答案D3．(2010·山東煙臺)(x＋1)3＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，則a6＝________.答案28解析∵(x＋1)3＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]3＋[(x－1)－1]8，∴a6(x－1)6＝C82(x－1)6(－1)2＝28(x－1)6，∴a6＝28.4．(09·江西)(1＋ax＋by)n展開式中不不含x的項的系數(shù)數(shù)絕對值的的和為243，不含y的項的系數(shù)數(shù)絕對值的的和為32，則a，b，n的值可能為為()A．a(chǎn)＝2，b＝－1，n＝5B．a(chǎn)＝－2，b＝－1，n＝6C．a(chǎn)＝－1，b＝2，n＝6D．a(chǎn)＝1，b＝2，n＝5答案D解析注意到(1＋ax＋by)n＝[(1＋ax)＋by]n＝[(1＋by)＋ax]n，因此依題題意得(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，于是結(jié)