第四講 關(guān)于線性擬合法的進一步討論

關(guān)于線性擬合法的進一步討論有擾動項一、建立模型一元線性回歸：殘差項或稱隨機擾動項二、估計參數(shù)二、估計參數(shù)用最小二乘法進行參數(shù)估計，得到的估計表達式為：三、進行檢驗標準誤差：估計值與應(yīng)變量值間的平均平方誤差。三、進行檢驗可決系數(shù):衡量自變量與因變量關(guān)系密切程度的指標，表示自變量解釋了因變量變動的百分比?？梢姡蓻Q系數(shù)取值于0與1之間，并取決于回歸模型所解釋的Y方差的百分比。三、進行檢驗相關(guān)系數(shù)由公式可見，可決系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方。相關(guān)系數(shù)越接近+1或-1，因變量與自變量的擬合程度就越好。三、進行檢驗相關(guān)系數(shù)與可決系數(shù)的主要區(qū)別：相關(guān)系數(shù)測定變量之間的密切程度，可決系數(shù)測定自變量對因變量的解釋程度。相關(guān)系數(shù)有正負，可決系數(shù)只有正號。正相關(guān)系數(shù)意味著因變量與自變量以相同的方向增減。如果直線從左至右上升，則相關(guān)系數(shù)為正如果直線從左至右下降，則相關(guān)系數(shù)為負三、進行檢驗回歸系數(shù)顯著性檢驗檢驗回歸系數(shù)b在顯著性水平ɑ上是否為零，進而判斷自變量的變化能否解釋因變量的變化三、進行檢驗回歸模型的顯著性檢驗三、進行檢驗德賓—沃森統(tǒng)計量（D—W）三、進行檢驗檢驗法則：在D—W小于等于2時，D—W檢驗法則規(guī)定：在D—W大于2時,D—W檢驗法則規(guī)定:四、進行預(yù)測小樣本情況下,近似的置信區(qū)間的常用公式為：例題分析已知身高與體重的資料如下表：試計算：（1）擬合適當?shù)幕貧w方程；（2）判斷擬合優(yōu)度情況；（3）對模型進行顯著性檢驗；（α=0.05）（4）當體重為75公斤時，求其身高平均值的95%的置信區(qū)間。身高（米）1.551.601.651.671.71.751.801.82體重（公斤）5052575660656270例題分析解答：（1）n=8，經(jīng)計算得：因此：例題分析因此，建立的一元線性回歸方程為：回歸直線的擬合優(yōu)度不是很理想。例題分析認為所建立的線性回歸模型是顯著的。例題分析預(yù)測思路一、模型的基本類型和特征1.線性曲線特征：若增長曲線為一次曲線，則其一階差分為常數(shù)。適用于時間序列數(shù)據(jù)呈直線趨勢的上升（或下降）變化。一、模型的基本類型和特征2.多項式非線性曲線特征：若增長曲線為二次拋物線，則其二階差分為常數(shù)。適用于時間序列觀察值數(shù)據(jù)隨時間變動呈現(xiàn)一種由高到低再到高（或由低到高再到低）趨勢變化一、模型的基本類型和特征3.簡單指數(shù)曲線若對象增長速度越來越快，其趨勢近似指數(shù)函數(shù)曲線，且判斷他在預(yù)測期限內(nèi)不會出現(xiàn)突然變化，可考慮采用。一、模型的基本類型和特征4.修正指數(shù)型增長曲線描述對象在發(fā)展的初期和中期增長速度較快，隨后增長速度逐漸下降，其圖形接近于漸近線。其中k為飽和值。一、模型的基本類型和特征y=k是一、模型的基本類型和特征5.雙指數(shù)曲線模型一、模型的基本類型和特征6.龔帕茲（Compertz）模型一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征7.邏輯（Logistic）增長型曲線模型企業(yè)集團形成發(fā)展行為，技術(shù)創(chuàng)新擴散的基本規(guī)律，手機普及率等。二、模型識別繪制坐標數(shù)據(jù)點，觀察、選擇模型。

選擇樣本序列的變化規(guī)律與增長曲線的變化規(guī)律在理論上最接近的一種曲線。三、參數(shù)估計1.對于線性模型，用最小二乘法處理。2.一些非線性模型，可化為線性模型處理。3.其他類型，有一些特殊方法處理。線性化方法簡單指數(shù)曲線、雙指數(shù)曲線等等，可化為線性曲線，從而應(yīng)用擬合曲線法擬合。線性化方法線性化方法以上求解方法稱為對數(shù)趨勢法（又稱指數(shù)趨勢法）。它是指時間序列觀察值的長期趨勢呈指數(shù)曲線變化時，運用觀察值的對數(shù)與最小二乘法原理求得預(yù)測模型的方法。對數(shù)趨勢法用于時間序列數(shù)據(jù)按指數(shù)曲線規(guī)律增減變化的場合。二次曲線趨勢外推法假設(shè)曲線趨勢外推預(yù)測模型為二次曲線趨勢外推法選取參數(shù)的準則：使離差的平方和最小。對三個參量求偏導(dǎo)，令其為0，可得方程組二次曲線趨勢外推法若采用正負對稱編號法需計算

可求出參數(shù)算例例：某公司1995～2003年的商品銷售收入如下表所示，試預(yù)測該公司2004年的銷售收入為多少萬元？解：1）繪制散點圖。（采用正負對稱編號法）算例2）根據(jù)散點圖確定其變化趨勢（二次曲線），計算所需數(shù)據(jù)。3）計算待定參數(shù)，建立預(yù)測模型，并計算預(yù)測值。（三元非齊線性方程組）算例二次曲線的趨勢外推預(yù)測模型為：算例其他一些模型的處理雙指數(shù)曲線模型取對數(shù)，可化為二次曲線模型修正指數(shù)型增長曲線可化為簡單指數(shù)曲線其他一些模型的處理龔帕茲（B.Gompertz）模型三和法取對數(shù)，可化為修正指數(shù)型增長曲線。邏輯（Logistic）增長型曲線模型取倒數(shù)，亦可化為線性曲線。三點法三點法假設(shè)曲線通過增長曲線的始點、中間點和終點，帶入曲線方程，得方程組，求出其三個參數(shù)值。缺點：只用了三個值，一部分信息，難免有誤差。三和法三和法又稱三段和值法：確定待定參數(shù)的思路是，在二次曲線模型上選取遠、中、近期三點坐標作為預(yù)測模型待定參數(shù)a、b、c的估計值。其具體作法為，使時間序列的總項數(shù)n為奇數(shù)（若為偶數(shù)，可刪去最初的一個觀察期數(shù)據(jù)）；如果n≥15時，則在時間序列的遠、中、近三期各取5個數(shù)據(jù)項，用權(quán)數(shù)w=1，2，3，4，5由遠及近分別賦權(quán)并進行加權(quán)平均；同理，如果9≤n≤15時，則在時間序列的遠、中、近三期各取3個數(shù)據(jù)項，用權(quán)數(shù)w=1，2，3由遠及近分別賦權(quán)并進行加權(quán)平均。關(guān)于三點（和）法的幾點說明①三點法的特點是不需要數(shù)列的全部數(shù)據(jù)，計算相對而言比較簡單。②對選取的數(shù)據(jù)比較敏感，即便是取加權(quán)平均值，也會受到一定的影響。③一般而言，每一組里的數(shù)據(jù)相對較多時，則模型可能越接近于實際。④每一組的里數(shù)據(jù)要求是奇數(shù)，是從方便計算的角度而言的。三和法解龔帕茲模型將整個序列分成三個相等的時間周期，并對每一個時間周期的數(shù)據(jù)求和以估計參數(shù)。設(shè)數(shù)據(jù)來自Gompertz模型，即三和法解龔帕茲模型得方程組求解上述方程組，可得k,a,b.三和法解龔帕茲模型解得參數(shù)由推導(dǎo)得練習(xí)某企業(yè)的產(chǎn)品銷售額，實績有如下記錄。假定數(shù)據(jù)滿足Gomperzt模型，用三和法估計參數(shù)。三和法解二次曲線假設(shè)遠、中、近三期的坐標分別為；時間序列總項數(shù)為奇數(shù)，且中間項為d=，則當≥15時，取遠期5個觀察值，其加權(quán)平均值為：R=S=T=，

三和法解二次曲線注意：

三和法解二次曲線將以上三點代入二次曲線預(yù)測模型中，有聯(lián)立方程組：聯(lián)立求解，則有：

三和法解二次曲線依此類推，如果是用三項數(shù)進行加權(quán)平均，且權(quán)數(shù)由遠及近取1，2，3，那么，聯(lián)立求解，則有

例題例：某公司1995～2003年的商品銷售收入如表所示，試按三點法預(yù)測該公司2004年銷售收入為多少萬元？某公司1995～2003年商品銷售收入數(shù)據(jù)表(單位：萬元)解：①描繪散點圖。觀察其變化趨勢，選擇二次拋物線預(yù)測模型。②列表計算待定參數(shù)所需數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型并進行預(yù)測。年份199519961997199819992000200120022003銷售收入54564176492311071322156818362140例題權(quán)重年份199515451545549.6821.901996264121282647.4441.471997376432292774.34106.92199849231923930.3854.46199951107222141115.5673.27200061322339661329.8862.09200171568115681573.3428.52200281836236721845.9498.80200392140364202147.6858.98546.41銷售收入