一維不均勻介質(zhì)中波傳播瞬態(tài)響應的傳輸線模型分析(精)

一維不均勻介質(zhì)中波傳播瞬態(tài)響應的傳輸線模型分析Transientanalysisofpropagationinnon-uniformonedimensionalmediumbytransmissionline

method［摘要］本文提出了用傳輸線模型分析一維不均勻介質(zhì)中波傳播的瞬態(tài)響應。這種方法將一維不均勻介質(zhì)用多層介質(zhì)近似，并進一步用級聯(lián)的傳輸線模型等效。分析的過程是：首先對局限在某一時間段內(nèi)的輸入電磁信號進行傅里葉變換得出其頻譜，然后研究該頻譜的主要分量在所研究介質(zhì)中的傳播，并得出波傳播方向任一截面上瞬態(tài)信號的頻譜，最后通過快速傅里葉變換得出時域瞬態(tài)響應。這種方法適用范圍廣，數(shù)值計算方便，只要離散時間間隔足夠小，抽樣點數(shù)足夠大，就能達到一定的精度。［關鍵詞］傳輸線，傅里葉變換，瞬態(tài)響應[Abstract]Inthispaper,thetransientanalysisofpropagationinnon-uniformonedimensionalmediumbytransmissionlinemethodisproposed.Inthismethod,thenon-uniformmediumisapproximatedbymulti-layerdielectricmediaandmodeledasacascadedtransmissionline.Theanalyticalprocedureisasfollows:theincidenttransientelectromagneticsignalisfirsttransformedintothefrequencydomain,thenthepropagationofthemaincomponentsinthespectraisanalyzedbytransmissionlinemethod,finallyFFTalgorithmisusedtofindtheresponseintimedomainofthemulti-layerstructure.Thecalculationiseasyandthehighaccuracycanbeachievedbythismethodaslongasthetimeintervalissmallandthenumberofsampleislargeenough.［Keyterms］:transmissionline,Fouriertransform,transientresponse引言不均勻介質(zhì)中電磁波傳播的瞬態(tài)響應在很多情況下可簡化為局限在某一時間段內(nèi)電磁信號對一維不均勻介質(zhì)的激勵。對此問題的分析可直接在時域中進行，如時域有限差分（FDTD門去⑴。瞬態(tài)響應的分析也可在頻域中進行。首先將瞬變激勵信號用傅里葉展開得出其頻譜，然后研究頻譜的主要分量沿不均勻介質(zhì)的傳播，最后通過傅里葉反變換得到某一截面上波傳播的瞬態(tài)響應。本文對一維不均勻介質(zhì)瞬態(tài)響應的分析基于頻域分析。首先將一維不均勻介質(zhì)用多層介質(zhì)近似（在每一層介質(zhì)內(nèi)，介電系數(shù)是均勻的），并將該多層介質(zhì)系統(tǒng)用級聯(lián)的傳輸線等效。這樣一維不均勻介質(zhì)中波傳播的瞬態(tài)響應就簡化為傳輸線瞬態(tài)響應的研究。與傳統(tǒng)方去相比［2~5］，這種方去的優(yōu)點是：物理概念清楚，數(shù)值處理具有通用性，激勵信號垂直投射、傾斜投射均可處理。如果非均勻平面波用平面波展開，也可處理點源激勵的情況。對于高斯微分脈沖垂直投射單層介質(zhì)的瞬態(tài)響應，本文數(shù)值模擬結(jié)果與文獻［6］頻域中計算的結(jié)果一致。本文還給出了激勵脈沖傾斜投射到單層、多層介質(zhì)情況下瞬態(tài)響應的數(shù)值模擬結(jié)果，其結(jié)果表明傳輸線模型分析一維不均勻介質(zhì)波傳播的瞬態(tài)響應是行之有效的。分析模型一維不均勻介質(zhì)可用圖1.a的多層介質(zhì)模型近似，其相對介電系數(shù)沿z軸的分布表示為:r8rI8r18r2r8rI8r18r2Z<00<z<z1z<z<z121）8Z<Z<Zrn n-1 n8 Z>ZrIII n式中下標I、III、1、2、…、n分別表示屬于區(qū)域I、III以及區(qū)域II中第1、2、…、n層介質(zhì)中的量，d為區(qū)域II中第n層介質(zhì)的厚度，如圖1.a。式（1）表示在z<0的區(qū)域In與z>d的區(qū)域III,介質(zhì)是均勻分布的，其相對介電系數(shù)分別為8廠8”，在0<Z<Z的區(qū)rIrIII n域〃，有n層平板介質(zhì)，在每一層內(nèi)介質(zhì)是均勻的，介電系數(shù)為常數(shù)，但在相鄰兩平板介質(zhì)的交界面，介電系數(shù)發(fā)生跳變。圖1.（a）多層平板介質(zhì)；圖1.（a）多層平板介質(zhì)；（b）傳輸線等效電路。IIIIIIerlE0er2e0設以波矢kl為特征的入射平面波（TE或TM），從區(qū)域I以0角傾斜投射到圖1.a所示多層介質(zhì)系統(tǒng)。選擇本征坐標系使波矢k只有兩個分量，k二kX+kZ。則對于TE模,x0z0電場只有E分量，磁場有H、H兩個分量；對于TM模，磁場只有H分量，電場有E、yxzyxE兩個分量。取z為縱向，根據(jù)波傳輸?shù)膫鬏斁€模型刀，E、H（對于TE模）或E、H（對z yx xy于TM模）沿z軸的傳輸可用級連傳輸線（見圖1.b）電壓、電流的傳播等效。其等效傳輸線的特性阻抗和傳播常數(shù)為：kkzi—z—rikkzi—z—ri0Z=1/YZ=1/Y=<iiTM模TOC\o"1-5"\h\zk2二k2—k2 ⑶ziixik2二⑷2皿￡ ⑷i ri0下標i二I,III,1,2,…,n表示相應介質(zhì)層中的量。無論是區(qū)域I、III還是區(qū)域II，x方向邊界條件相同，在x方向場按e-jy變化，并且各個區(qū)域x方向傳播常數(shù)k要求都相等（也即斯奈爾定律）：k二k二k二k二k二…二k二ksin0 （5）xxIxIII x1 x2 xnI因此，第i節(jié)傳輸線的傳播常數(shù)k.為i k= \；k2—k2 =:k2￡ —k2sin20 i二I,III,1,2,…,n （6）zi i x 0riI介質(zhì)交界面切向場量E、H連續(xù)導致交界面等效傳輸線電壓、電流的連續(xù)。這就是圖yx1a的多層介質(zhì)系統(tǒng)就波的縱向（z方向）傳播而言，可用級連的傳輸線等效的根據(jù)。計算公式若記Z（z）為從z二z處沿入射方向往右看過去的輸入阻抗。則z二z處的輸入阻抗ini i i—1可以由傳輸線阻抗變換關系得到：

Zn(Zi丿=■Z(z)+jZtg(k(zZn(Zi丿= in i i zii i—1 iZ+jZ(z)tg(k(z-z))i ini zii i—1區(qū)域III趨于無窮遠，其等效傳輸線III也趨于無窮遠，z=z處輸入阻抗Z.(z)即區(qū)域III的ninn特征阻抗乙(z)=Z"。根據(jù)公式(7)層層計算可以得出z=0處的輸入阻抗Z(0)。由此得i III i到z=0處反射系數(shù)rS-丿為I(0—)(0—)=Z(0)—Z Y-Y(0)in丿、 II in/、Z(0)+ZY+Y(0)in I I in8)計算波的透射特性可以通過傳輸線上電壓、電流關系依次推出各級傳輸線的電壓、電流值。由此可以得到透射到介質(zhì)III中的波。具體推導見文獻［7］，這里只給出推導結(jié)果。z=z+n的透射系數(shù)為Tiii(zTiii(z+)=Vi(z=z+)TH n-Vi(z=0-)I=(1+r(0-))HIi=1(1+r(z-))emzi-zi—1)i1+r(z—)e—2jkzi(zi—zi—1)ii9)(10)11)E(o(10)11)E(o)=0+gJE.(zy=0,t)e-購dt12)瞬態(tài)場入射平面波采用文獻［6］的定義方法來實現(xiàn)，利用傅里葉變換，激勵瞬態(tài)電磁信號可展開為:E.(x,z,t)=e—yEi(z,t)yyE.(z,t)=—fE )ej3—kz)d①y 2兀 0—g式中—g為z=0處激勵瞬變場的頻譜，其各個頻譜分量的電場都是y方向極化，且只隨z方向變化的函數(shù)。由于多層介質(zhì)結(jié)構(gòu)為線性系統(tǒng)，利用式⑻、(9)和(11)可以得出在z<0區(qū)域的反射波以及z>d處透射波的瞬態(tài)響應，用逆傅里葉積分表示為：Er(Er(x,z,t)yE(o)r(0—)ejotejkzze—jkxxdo0Izx13)—gEt(x,z,t)=—fE(o)T(z+)ej?te-jkzze-jkxxdo (14)y 2兀 0 IIIn—g在實際工程應用中并不需要求出其解析解，因此可以繞開文獻［6］中求積分的方法，而采用FFT可以方便的求出入射波信號的瞬態(tài)響應波形，只要抽樣時間間隔At取足夠小，抽樣點數(shù)n足夠大，數(shù)值模擬的結(jié)果就越接近理論值。數(shù)值模擬【例子1】為了比較，采用文獻［6］中所示例子，入射平面波為高斯函數(shù)的一階微分信號f(t),參數(shù)a=10,b=1如式(15)所示，垂直入射到放置在空氣中的單層平板介質(zhì)上，介電參nd數(shù)為￡=1￡=9￡ =1,介質(zhì)厚度d滿足二T,其中C為光在真空中傳播速度，T為IrIIIc光在平板介質(zhì)中的單程傳輸延遲。所有時間t都已用T歸一化。f(t)二4b)e一皿2=2ab{—te-at2} (15)dt由于入射波在t|>4T時幾乎為零，可以對t在［-4T,16T］時域段的波形進行抽樣，抽樣時間間隔At=0.02,抽樣點數(shù)N=1000,瞬態(tài)響應結(jié)果示于圖2中，與文獻［6］求解的結(jié)果吻合的很好。其中圖2(b)中的實線是文獻［6］的解，點線以及(c)中的透射波是本文的解。從圖中看到，第一個透射波延遲時間為T,第二個透射波延遲時間為3T,…依次類推，第一個反射波為入射波直接在交界面處反射，沒有延遲，但相位反向，第二個反射波延遲2T,第三個反射波延遲4T,...第二個以后的反射波相位與輸入波相位相同。后繼的反射波、透射波依次n-2d—比前一個反射波、透射波多走一個來回，所需時間為t 二2T，幅度逐漸減少。如果c入射波脈沖變寬，超過波在單層平板來回反射一次所需的時間2T,則反射波、透射波第一、第二個波峰將交疊在一起，具體可參見文獻［6］.(a) (b) (c)圖2.(a)入射波；(b)反射波；(c)透射波(數(shù)值解)圖中橫坐標為時間軸t(單位：T),縱坐標為振幅【例子2】對于上面例子進行單層平板傾斜投射情況的模擬，設入射角為9=45。，入射信號參數(shù)為a=40,b=1。對［-4T,16T］段的波形進行抽樣，抽樣時間間隔At=0.01，抽樣點數(shù)N=2000，為便于比較，其瞬態(tài)響應的結(jié)果與垂直投射的情況一起示于圖3中。圖(b)、(c)中實線是45。投射的結(jié)果，虛線是垂直投射的結(jié)果。從圖中看出，由于傾斜投射時介質(zhì)板對不同頻率的波相位延遲不一樣，產(chǎn)生色散，因此除第一個反射波只是相位與入射波反向外，其他的反射波以及所有的透射波都因為介質(zhì)板中波傳播的色散效應而使波形、相位發(fā)生改變?？v坐標為振幅。...：0度投射，－：45度投射?！纠?】對文獻［8］所示的薄膜濾波器進行瞬態(tài)分析，其介電參數(shù)沿 z軸分布為：￡￡￡￡￡￡￡￡￡￡￡，其中區(qū)域I和III為空氣介質(zhì)*=* =1，區(qū)域II為￡和ILHLHLHLHLIIIIIIIL￡依次父替的9層濾波器結(jié)構(gòu)，￡=2.20(1—j0.0009),￡=10.5(1—j0.0023)，九層HLH的厚度依次為：d二d二3.139mm，d二d二0.55mm，d二d二1.269mm，1 9 2 8 3 7d二d二0.497mm，d二1.666mm。對TE模入射波是一個中心頻率為f二40GHz的4 6 5 0帶阻濾波器，如圖4(a)所示，假設入射波為高斯脈沖調(diào)制的正弦波信號，以25。入射角入射,其中心頻率為f,頻譜寬度為0.2人,頻譜如圖4(b)所示，其相應的時域波形如圖5(a)所示。由于入射波頻譜剛好落在濾波器帶阻范圍內(nèi)，計算結(jié)果應該沒有透射波。根據(jù)本文提供的方法計算，時間間隔取At=0.5/f0(s),采樣點N=2000，其反射波和透射波如圖5(b)、(c)所示，其中透射波幅度很小，在時域瞬態(tài)圖中表現(xiàn)了濾波器帶阻的功能。時間(ns) 時間(ns) 時間(ns)(a) (b) (c)圖5?高斯脈沖調(diào)制正弦信號的時域瞬態(tài)響應(a)入射波；(b)反射波；(c)透射波。圖中橫坐標為時間軸t(單位：ns)，圖中只顯示t在［0,2.5ns］的值?？v坐標為振幅相對值。由以上幾個例子可以看出，反射波、透射波波形與入射波有很大差別。其原因是經(jīng)過介質(zhì)〃不同諧波分量所經(jīng)過的反射系數(shù)、透射系數(shù)及相移是不同的。對于不同的角度入射，由于多層介質(zhì)縱向波數(shù)和特性阻抗改變引起濾波特性不同，因此反射波和透射波波形也不相同。結(jié)論本文采用傳輸線模型與FFT相結(jié)合的分析方法對一維不均勻介質(zhì)中波傳播的瞬態(tài)響應進行分析。通過對不均勻介質(zhì)離散得到的多層介質(zhì)進行推導和計算，結(jié)果表明，只要采樣時間間隔足夠小，采樣點數(shù)足夠多，誤差就能控制在所要求的范圍內(nèi)，在實際工程應用中，這種方法在處理一維不均勻結(jié)構(gòu)的波傳播的瞬態(tài)響應是行之有效的，傳輸線模型分析二維不均勻介質(zhì)中波傳播的瞬態(tài)響應也是可能的。參考文獻BuiM.D.,StuchlyS.S.,CostacheG.I.,“Propagationoftransientsindispersivedielectricmedia”,IEEETrans.OnMicrowaveTheoryandTechniques,vol.39,pp1165-1171,Jul.1991.M.N.MorsyandW.K.Kahn,“Anovelsummationapproachintechniquetofindthetransientresponse,”IEEETrans.Electromag.Compat.,vol.38,pp.542-545,Aug.1996.D.K.Cheng,FieldandWaveElectromagnetics.Reading,MA:Ad