第三章 一元流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第三章

一元流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

一.拉格朗日方法

拉格朗日方法著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)全過(guò)程及描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各質(zhì)點(diǎn)、各物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律。又稱(chēng)軌跡法。通常以流體質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)點(diǎn)作為區(qū)別不同的流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。設(shè)t=t0時(shí)，流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)值是（a，b，c）。流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置、密度、壓強(qiáng)和溫度可表示為：

§3.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

流體質(zhì)點(diǎn)速度為：

流體質(zhì)點(diǎn)加速度為：

二.歐拉法

歐拉法的著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)，而是空間點(diǎn)。歐拉法是設(shè)法在空間的每一點(diǎn)上描述出流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化情況。觀測(cè)先后流過(guò)各空間點(diǎn)的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的物理量變化情況，便能了解整個(gè)或部分流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)情況，故又稱(chēng)空間點(diǎn)法或流場(chǎng)法。由歐拉法特點(diǎn)可知，各物理量是空間點(diǎn)x，y，z，t的函數(shù)。所以速度、密度、壓強(qiáng)和溫度可表示為：

加速度可表示為：

式中右端第一項(xiàng)稱(chēng)為時(shí)變加速度，表示某空間定點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)速度變化率；右端的后三項(xiàng)稱(chēng)為位變加速度，表示由于流體質(zhì)點(diǎn)所在的空間位置變化而引起的速度變化率?！?.2恒定流動(dòng)和非恒定流動(dòng)

根據(jù)流體的流動(dòng)參數(shù)是否隨時(shí)間而變化，可將流的流動(dòng)分為恒定流動(dòng)和非恒定流動(dòng)。

1.恒定流動(dòng)又稱(chēng)定常流是指流場(chǎng)中的流體流動(dòng)，空間點(diǎn)上各力運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間而變化。

即：φ表示任一流動(dòng)參數(shù)（u、p、ρ）等。

§3.2恒定流動(dòng)和非恒定流動(dòng)

2.非恒定流動(dòng)又稱(chēng)非定常流，是指流場(chǎng)中的流體流動(dòng)空間點(diǎn)上各水力運(yùn)動(dòng)要素中，只要有任何一個(gè)隨時(shí)間的變化而變化的流動(dòng)。

即：§3.3流線和跡線1．流線

1）流線的定義：流線（streamline）是表示某一瞬時(shí)流體各點(diǎn)流動(dòng)趨勢(shì)的曲線，曲線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的流速方向重合。

2）流線的作法：在流場(chǎng)中任取一點(diǎn)（如圖所示），繪出某時(shí)刻通過(guò)該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量u1，再畫(huà)出距1點(diǎn)很近的2點(diǎn)在同一時(shí)刻通過(guò)該處的流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量u2…，如此繼續(xù)下去，得一折線1234…，若各點(diǎn)無(wú)限接近，其極限就是某時(shí)刻的流線。

流線是歐拉法分析流動(dòng)的重要概念?！?.3流線和跡線1．流線

3）流線的性質(zhì)

a.同一時(shí)刻的不同流線，不能相交。b.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。c.流線簇的疏密反映了速度的大?。骶€密集的地方流速大，稀疏的地方流速?。?。

§3.3流線和跡線1．流線

4）流線的方程

設(shè)ds為流線上A點(diǎn)處的一微元弧長(zhǎng)：u為流體質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的流速:

因?yàn)榱魉傧蛄颗c流線相切，即沒(méi)有垂直于流線的流速分量，u和ds重合?！?.3流線和跡線2．跡線

1）跡線的定義：跡線(pathline)為某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡線。右圖中煙火的軌跡為跡線。屬拉格朗日法的研究?jī)?nèi)容。2）跡線的微分方程由運(yùn)動(dòng)學(xué)知,流體質(zhì)點(diǎn)在dt時(shí)間內(nèi)移動(dòng)了距離ds,則其運(yùn)動(dòng)微分方程為:即:§3.3流線和跡線2．跡線

3.流線和跡線的區(qū)別1)流線是表示流體流動(dòng)趨勢(shì)的一條曲線，它描述了流場(chǎng)中不同質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。方程中時(shí)間t為參變量。2)跡線是指某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它描述流場(chǎng)中同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。方程中時(shí)間t為自變量。3)在恒定流中，流線與跡線重合。

例：已知平面流動(dòng)試求：1.t=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）的流線。

2.求在t=0時(shí)刻位于x=-1，y=-1點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的跡線?！?.4一元流動(dòng)模型1．一元流動(dòng)、二元流動(dòng)和三元流動(dòng)一元流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)；二元流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)；三元流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)是三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。

對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，在滿足精度要求的情況下，將三維流動(dòng)簡(jiǎn)化為二維、甚至一維流動(dòng)，可以使得求解過(guò)程盡可能簡(jiǎn)化。二維流動(dòng)→一維流動(dòng)三維流動(dòng)→二維流動(dòng)流管——在流場(chǎng)中作一條非流線的封閉周線C，過(guò)該周線上的所有流線組成的管狀流面。流體不能穿過(guò)流管，流管就像真正的管子一樣將其內(nèi)外的流體分開(kāi)。恒定流動(dòng)中，流管的形狀和位置不隨時(shí)間發(fā)生變化。流束——充滿流管的全部流體。2.一元流動(dòng)模型§3.4一元流動(dòng)模型過(guò)流斷面——垂直于流束的斷面，過(guò)流斷面垂直于水流的流動(dòng)方向，即與流束中的每一條流線垂直。元流——過(guò)流斷面面積無(wú)窮小的流束。（由于元流的斷面面積無(wú)窮小，可以近似認(rèn)為斷面上的流速和壓強(qiáng)為均勻分布）總流——截面積有限大的流束，即無(wú)數(shù)元流的相加。如河流、水渠、水管中的水流等都是總流。2.一元流動(dòng)模型§3.4一元流動(dòng)模型體積流量（）：質(zhì)量流量（）：3.流量與斷面平均流速1）流量（discharge）：是指單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)河渠、管道等某一過(guò)流斷面的流體量?！?.4一元流動(dòng)模型2）

斷面平均流速v總流過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的流速是不相同的，所以常采用一個(gè)平均值來(lái)代替各點(diǎn)的實(shí)際流速，稱(chēng)斷面平均流速v。如右圖。幾何意義：以底為A，高為v的柱體體積等于流速分布曲面與過(guò)水?dāng)嗝嫠鶉傻捏w積?！?.4一元流動(dòng)模型3.5連續(xù)性方程

一、兩個(gè)基本概念控制體：即在流場(chǎng)中劃定的一個(gè)固定的空間區(qū)域，該區(qū)域完全被流動(dòng)流體所充滿?？刂茢嗝妫杭纯刂企w（流管）有流體流進(jìn)流出的兩個(gè)斷面，如圖中的3-3，4-4斷面。3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程取下圖所示取控制體，其應(yīng)滿足如下條件：

（1）在恒定流條件下，流管的形狀與位置不隨時(shí)間改變；（2）不可能有流體經(jīng)流管側(cè)面流進(jìn)或流出；（3）流體是連續(xù)介質(zhì)，元流內(nèi)部不存在空隙；（4）忽略質(zhì)量轉(zhuǎn)換成能量的可能。

3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程（4）忽略質(zhì)量轉(zhuǎn)換成能量的可能。

質(zhì)量守恒定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流出與流入元流的流體質(zhì)量差之總和應(yīng)等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量。

即：3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程1.有固定邊界域的總流連續(xù)方程式物理意義：流入控制體內(nèi)的凈質(zhì)量流量與控制體內(nèi)由于密度變化在單位時(shí)間里所增加的質(zhì)量相等。適用范圍：恒定流、非恒定流、可壓縮、不可壓縮流體、理想流體、實(shí)際流體。3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程2.恒定流的總流連續(xù)性方程對(duì)于恒定流，有，則上式為:

適用范圍：固定邊界內(nèi)所有恒定流，包括可壓縮或不可壓縮流體、理想流體、實(shí)際流體。

3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程3.不可壓縮流的總流連續(xù)性方程

對(duì)于不可壓縮流體,ρ＝const，則：物理意義：對(duì)于不可壓縮流體，斷面平均流速與過(guò)水?dāng)嗝婷娣e成反比，即流線密集的地方流速大，而流線疏的地方流速小。適用范圍：固定邊界內(nèi)的不可壓縮流體，包括恒定流、非恒定流、理想流體、實(shí)際流體。3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程4.分叉流的總流連續(xù)性方程

【例】有一輸水管道，如圖所示。水自截面1-1流向截面2-2。測(cè)得截面1-1的水流平均流速v1=2m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，試求截面2-2處的平均流速v2為多少？補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程在流場(chǎng)內(nèi)任取一微元六面體，如圖，邊長(zhǎng)為dx,dy,dz，中心點(diǎn)O流速為（ux,uy,uz），密度為ρ，以x軸方向?yàn)槔鹤蟊砻妫毫魉?/p>

密度

在dt時(shí)間內(nèi)流入左表面的流體質(zhì)量為：

補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程右表面：流速

密度

在dt時(shí)間內(nèi)流出右表面的流體質(zhì)量為：

補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程在dt時(shí)間內(nèi)流入流出左右表面的流體質(zhì)量為：

所以在dt時(shí)間內(nèi)流入與流出該六面體流體的質(zhì)量差為：（流進(jìn)為正，流出為負(fù)）

補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程同理可得：

則在dt時(shí)間內(nèi)流入與流出該六面體流體的質(zhì)量差為：補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程在此六面體中，流體原來(lái)的質(zhì)量為ρdxdydz,dt時(shí)間后，密度變?yōu)椋?/p>

則質(zhì)量變?yōu)椋阂蚨赿t時(shí)間內(nèi)，由于密度變化而引起質(zhì)量的增量為：

補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程質(zhì)量守恒定律：同時(shí)間內(nèi)流入與流出六面體的流體質(zhì)量差之總和dM

應(yīng)等于六面體內(nèi)因密度變化而引起流體質(zhì)量的增量dM‘

。即：補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程1、流體的連續(xù)性微分方程的一般形式適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓縮流體或不可壓縮流體。

補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程2、可壓縮流體恒定流動(dòng)的連續(xù)性微分方程

當(dāng)為恒定流時(shí)，有，則上式為：

適用范圍：理想、實(shí)際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。

補(bǔ)充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程3、不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程

當(dāng)為不可壓縮流體時(shí)有，則上式為：

物理意義：不可壓縮流體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量），與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。適用范圍：理想、實(shí)際、恒定流或非恒定流的不可壓縮流體流動(dòng)。

【例1】有二種二元液流，其流速可表示為：（1）ux=-2y,uy=3x；（2）ux=0,uy=3xy。試問(wèn)這兩種液流是不可壓縮流嗎？【例2】

已知不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)速度在，兩個(gè)軸方向的分量為，。且在處，有。試求軸方向的速度分量。

【解】對(duì)不可壓縮流體連續(xù)性方程為：將已知條件代入上式，有又由已知條件對(duì)任何，，當(dāng)時(shí)，。故有

3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立右圖所示控制體,流向?yàn)?→2，對(duì)其進(jìn)行受力分析：

表面力：下表面上表面質(zhì)量力：重力粘滯性引起的摩阻力:

恒定流（)的加速度：3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立沿控制體軸向列牛頓第二定律得:表面力：質(zhì)量力：摩阻力:

加速度：3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立1.實(shí)際流體恒定元流能量方程

等式兩邊同除以，并將代入得:適用范圍：不可壓縮或可壓縮的恒定流。3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立2.不可壓縮流體的元流能量方程

對(duì)于不可壓縮流體，有ρ=const，積分上式可得:能量方程(貝努利方程)

3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立式中：z——位置水頭;

——壓強(qiáng)水頭，測(cè)壓管高度;

——流速水頭;——測(cè)壓管水頭;

3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立——總水頭;——水頭損失，它表明：在實(shí)際流體流動(dòng)中，由于粘性作用，一部分有效能因阻力作用作負(fù)功被轉(zhuǎn)化成熱能而消耗掉，造成流動(dòng)流體能量的損失。

L—斷面1及2之間流程長(zhǎng)度。3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立

對(duì)于理想流體(無(wú)粘性流體)，有τ=0，則能量方程為:

上式說(shuō)明,對(duì)于理想流體,各斷面的總水頭相等,單位重量的總能量保持不變。3.6恒定元流能量方程

二、能量方程的應(yīng)用畢托管測(cè)流速

滯止點(diǎn)或駐點(diǎn)

圖示裝置,在管軸方向取相距很近的兩點(diǎn),以管軸為基準(zhǔn)面,由能量方程得:3.6恒定元流能量方程

二、能量方程的應(yīng)用畢托管測(cè)流速

對(duì)于實(shí)際液體在應(yīng)用上式計(jì)算A點(diǎn)流速時(shí)，需考慮液體粘性對(duì)液體運(yùn)動(dòng)的阻滯作用，以及畢托管放入流場(chǎng)后對(duì)流動(dòng)的干擾，應(yīng)使用修正系數(shù)φ，對(duì)該式的計(jì)算結(jié)果加以修正。一般φ小于1，即:3.7過(guò)流斷面的壓強(qiáng)分布

一、均勻流和非均勻流

根據(jù)流場(chǎng)中同一條流線各空間點(diǎn)上的流速是否相同，可將總流分為均勻流和非均勻流。若相同則稱(chēng)為均勻流，否則稱(chēng)為非均勻流。1.均勻流

質(zhì)點(diǎn)流速的大小和方向均不變的流動(dòng)，其流線是相互平行的直線。均勻流中各過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植紙D沿程不變，過(guò)水?dāng)嗝媸瞧矫妗?.7過(guò)流斷面的壓強(qiáng)分布

一、均勻流和非均勻流2.非均勻流

非均勻流中流場(chǎng)中相應(yīng)點(diǎn)的流速大小或方向或同時(shí)二者沿程改變，其流線不是相互平行的直線，即沿流程方向速度分布不均。非均勻流又分為急變流和漸變流。

1）漸變流——沿程逐漸改變的流動(dòng)。

特征：流線之間的夾角很小即流線幾乎是平行的，同時(shí)流線的曲率半徑又很大（即流線幾乎是直線），其極限是均勻流，過(guò)水?dāng)嗝婵煽醋魇瞧矫妗u變流的加速度很小，慣性力也很小，可以忽略不計(jì)。

3.7過(guò)流斷面的壓強(qiáng)分布

一、均勻流和非均勻流2.非均勻流2）急變流——沿程急劇改變的流動(dòng)。

特征：流線間夾角很大或曲率半徑較小或二者兼而有之，流線是曲線，過(guò)水?dāng)嗝娌皇且粋€(gè)平面。急變流的加速度較大，因而慣性力不可忽略。漸變流急變流漸變流漸變流漸變流漸變流急變流急變流急變流急變流3.7過(guò)流斷面的壓強(qiáng)分布

二、過(guò)流斷面上的壓強(qiáng)分布

一般來(lái)說(shuō)，流體質(zhì)點(diǎn)流速大小和方向的變化，必然引起壓強(qiáng)的變化。由能量方程知，流速大小的變化，由于直線慣性力的出現(xiàn)，必然引起壓強(qiáng)沿流向的變化；但是對(duì)于流速方向的變化，出現(xiàn)了離心慣性力，其壓強(qiáng)的變化將在下邊討論。

如右圖所示，在流線BB’

上的M點(diǎn)處取一與流線垂直的柱形流體微團(tuán)，其在流線方向上的運(yùn)動(dòng)速度為u,微團(tuán)受力如圖所示。3.7過(guò)流斷面的壓強(qiáng)分布

二、過(guò)流斷面上的壓強(qiáng)分布沿微團(tuán)軸向根據(jù)牛頓第二定律列運(yùn)動(dòng)方程：其中：則上式為：3.7過(guò)流斷面的壓強(qiáng)分布

二、過(guò)流斷面上的壓強(qiáng)分布對(duì)于均勻流，曲率半徑r→∞：3.7過(guò)流斷面的壓強(qiáng)分布

二、過(guò)流斷面上的壓強(qiáng)分布沿流線的法線方向壓強(qiáng)分布服從流體靜力學(xué)基本方程。對(duì)于緩變流的有效截面，其壓強(qiáng)分布亦近似滿足。

對(duì)于平面內(nèi)的直線流動(dòng)或者可以忽略重力勢(shì)能影響的直線流動(dòng)：

3.8恒定總流能量方程式由3.6知,恒定元流的能量方程式為:實(shí)際工程的管道或渠道中的流動(dòng)，都是有限斷面的總流。因此，應(yīng)將元流的伯努利方程推廣到總流中去。1.恒定總流能量方程的推導(dǎo)

設(shè)元流的流量為dQ=u1dA1=u2dA2，則在上述元流能量方程的等式兩端同乘以ρgdQ,可得單位時(shí)間內(nèi)元流兩過(guò)水?dāng)嗝娴膯挝恢亓康哪芰筷P(guān)系式：3.8恒定總流能量方程式1.恒定總流能量方程的推導(dǎo)

然后沿總流過(guò)水?dāng)嗝嫔戏e分可得總流能量關(guān)系：

1）勢(shì)能積分在漸變流斷面或均勻流斷面上，有則：3.8恒定總流能量方程式1.恒定總流能量方程的推導(dǎo)

2）動(dòng)能積分式中：α－動(dòng)能修正系數(shù)，是實(shí)際動(dòng)能與按斷面平均流速計(jì)算的動(dòng)能的比值。層流α=1.0，紊流α=1.05～1.1，一般工程計(jì)算中常取α=1.0。

3.8恒定總流能量方程式1.恒定總流能量方程的推導(dǎo)

3）能量損失積分式中：為平均單位能量損失（沿程損失）。

3.8恒定總流能量方程式1.恒定總流能量方程的推導(dǎo)

由以上三項(xiàng)積分得總流能量方程式為：

能量方程

3.8恒定總流能量方程式1.應(yīng)用總流能量方程的限制條件

（1）恒定流；（2）不可壓縮流體；（3）質(zhì)量力只有重力；（4）所選取的兩過(guò)水?dāng)嗝姹仨毷蔷鶆蛄鲾嗝婊驖u變流斷面，但兩過(guò)水?dāng)嗝骈g可以是急變流；3.8恒定總流能量方程式3.對(duì)于有能量的輸入與輸出的能量方程4.對(duì)于分叉恒定流，其能量方程為：3.9流能量方程的應(yīng)用1.能量方程的應(yīng)用（1）求流速；（2）求壓強(qiáng)；（3）求流速和壓強(qiáng)；2.應(yīng)用能量方程的求解步驟（三選一列）1）選擇基準(zhǔn)面:基準(zhǔn)面可任意選定，但應(yīng)以簡(jiǎn)化計(jì)算為原則。例如選過(guò)水?dāng)嗝嫘涡模▃=0），或選自由液面（p=0）等。2）選擇計(jì)算斷面：計(jì)算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應(yīng)選取已知量盡量多的斷面。3）選擇計(jì)算點(diǎn)：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面。對(duì)同一個(gè)方程，必須采用相同的壓強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)。4）列能量方程解題。注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。例：如圖所示的虹吸管泄水，已知斷面1,2及2,3的損失分別為hl1-2=0.6v2/(2g)和hl2-3=0.5v2/(2g)，試求斷面2的平均壓強(qiáng)。例：水深1.5m、水平截面積為3m×3m的水箱，箱底接一直徑為200mm，長(zhǎng)為2m的豎直管，在水箱進(jìn)水量等于出水量情況下作恒定出流，略去水頭損失，試求點(diǎn)2的壓強(qiáng)。

例：某一水庫(kù)的溢流壩，如圖所示。已知壩下游河床高程為105.0m,當(dāng)水庫(kù)水位為120.0m時(shí)，壩址處收縮過(guò)水?dāng)嗝嫣幍乃頷c=1.2m。設(shè)溢流壩的水頭損失:求壩址處斷面的平均流速。

3.9流體能量方程的應(yīng)用3.文丘里流量計(jì)

為確定管道流量，常用如圖所示的文丘里流量計(jì)測(cè)量。它由漸變管和壓差計(jì)兩部分組成。

取管軸0-0為基準(zhǔn)面，測(cè)壓管所在斷面1,2為計(jì)算斷面（符合漸變流），斷面的形心點(diǎn)為計(jì)算點(diǎn)，對(duì)斷面1,2寫(xiě)能量方程（4-15），由于斷面1，2間的水頭損失很小，可不計(jì)能量損失。

3.9流體能量方程的應(yīng)用3.文丘里流量計(jì)

取，則：

3.9流體能量方程的應(yīng)用3.文丘里流量計(jì)

式中:K--對(duì)給定管徑是常量，稱(chēng)為文丘里流量計(jì)常數(shù)。

μ--文丘里流量計(jì)系數(shù)。

對(duì)于水銀壓差計(jì)：

3.10總水頭線和測(cè)壓管水頭線

水頭線：沿程水頭（如總水頭或測(cè)壓管水頭）的變化曲線。

總水頭線是對(duì)應(yīng)的變化曲線，它代表水頭損失沿流程的分布狀況。

測(cè)壓管水頭線是對(duì)應(yīng)的變化曲線，它代表壓強(qiáng)沿流程的變化狀況。水力坡度J：指單位長(zhǎng)流程的平均水頭損失，即：3.10總水頭線和測(cè)壓管水頭線

測(cè)壓管水頭線坡度JP

：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)流程上的測(cè)壓管水頭線降落。注意：1.理想流動(dòng)流體的總水頭線為水平線；

2.實(shí)際流動(dòng)流體的總水頭線恒為下降曲線；

3.測(cè)壓管水頭線可升、可降、可水平；

4.若是均勻流，則總水頭線平行于測(cè)壓管水頭線，即J∥JP。

5.總水頭線和測(cè)壓管水頭線之間的距離為相應(yīng)段的流速水頭。不同固體邊界下的水頭線：

注：出口為自由出流時(shí)，P-P線末端應(yīng)落在出口斷面的管軸線上。

例：如圖所示為一流動(dòng)系統(tǒng)，各種損失如圖中所示。

AB段直徑d1=129mm，BC段直徑d2=150mm。試求：1）AB段流速v1,Q；

2）繪制總水頭線和測(cè)壓管水頭線。

§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分一、粘性流體的內(nèi)應(yīng)力

粘性流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其表面力包括：壓應(yīng)力和粘性引起的切應(yīng)力，其表示如圖所示。1、應(yīng)力符號(hào)角標(biāo)的表示：2、應(yīng)力正負(fù)號(hào)的確定：

第1個(gè)角標(biāo)表示作用面的外法線方向，第2個(gè)角標(biāo)表示應(yīng)力方向。

如果該應(yīng)力作用面的外法線方向與坐標(biāo)軸的正向一致，則該應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，?fù)向?yàn)樨?fù)；如果該應(yīng)力作用面的外法線方向與坐標(biāo)軸的負(fù)向一致，則該應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)檎驗(yàn)樨?fù)；§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程如圖所示微元體，x向受力為：質(zhì)量力：法向力：切向力：慣性力：§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)量力：法向力：切向力：慣性力：由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F＝max

得:§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程

對(duì)上式整理后，然后分別對(duì)y向和z向列方程，可得粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程為:§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分由于和代入方程：§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分并整理得：納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S)方程

上式仍可繼續(xù)化簡(jiǎn)：§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分式中：—拉普拉斯算子

§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分當(dāng)為理想流體時(shí)ν＝0，上式成為：當(dāng)為靜止流體時(shí)，上式成為：歐拉平衡微分方程

§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分式中：—拉普拉斯算子

由上節(jié)知，粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程為：由于流體運(yùn)動(dòng)微分方程是一個(gè)一階非線性偏微分方程組，因而至今還無(wú)法在一般情況下積分，只能在一定條件下積分?！煅a(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分一、流體運(yùn)動(dòng)微分方程積分所應(yīng)滿足的條件

1．質(zhì)量力是恒定而有勢(shì)的,即：

所以,勢(shì)函數(shù)W＝f(x,y,z)的全微分為：

2．流體是不可壓縮的，即ρ=const；

3．流體運(yùn)動(dòng)是定常的，即：

且流線與跡線重合，所以：

§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運(yùn)動(dòng)微分方程的貝努利積分對(duì)上式分別乘以dx，dy，dz，然后相加得：由于

§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運(yùn)動(dòng)微分方程的貝努利積分表示單位質(zhì)量流體作微小位移時(shí)，粘性變形應(yīng)力（主要為切應(yīng)力）所作的功，因?yàn)樽鬟@些功時(shí)消耗了一部分機(jī)械能，所以該功就是流體的能量損失。§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運(yùn)動(dòng)微分方程的貝努利積分在恒定流中，流線與跡線重合，故上式右側(cè)三項(xiàng)和為：

則上式變?yōu)椋?/p>

§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運(yùn)動(dòng)微分方程的貝努利積分對(duì)于不可壓縮流體，ρ=const，則：

沿流線對(duì)上式進(jìn)行積分得：

或

當(dāng)質(zhì)量力僅為重力時(shí)，則：

則

或

§補(bǔ)充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運(yùn)動(dòng)微分方程的貝努利積分

上邊兩式就是粘性流體恒定元流的貝努利方程或能量方程。

或

式中：

對(duì)于理想流體，則：或

3.11恒定氣流能量方程式

總流的能量方程式是對(duì)不可壓縮流體導(dǎo)出的，氣體是可壓縮流體，但是對(duì)流速不很大（小于68m/s），壓強(qiáng)變化不大的系統(tǒng)，如工業(yè)通風(fēng)管道、煙道等，氣流在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中密度的變化很小，在這樣的條件下，伯努利方程仍可用于氣流。由于氣流的密度同空氣的密度是相同的數(shù)量級(jí)，在用相對(duì)壓強(qiáng)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要考慮外部大氣壓在不同高度的差值。

3.11恒定氣流能量方程式

設(shè)恒定氣流如右圖所示，氣流的密度為ρ，外部空氣的密度為ρa(bǔ)

，過(guò)流斷面上計(jì)算點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)為，列1-1和2-2斷面的能量方程方程式，取，則：進(jìn)行氣流計(jì)算，通常把上式表示為壓強(qiáng)的形式，即：

式中：為兩斷面間的壓強(qiáng)損失。

3.11恒定氣流能量方程式

將式上式中的壓強(qiáng)用相對(duì)壓強(qiáng)表示，則：代入上式整理得：式中：p1，p2稱(chēng)為靜壓；

稱(chēng)為動(dòng)壓；

為單位體積氣體所受有效浮力；

為氣體沿浮力方向升高的距離；

3.11恒定氣流能量方程式

式中：為1-1斷面相對(duì)于2-2斷面單位體積氣體的位能，稱(chēng)為位壓。

勢(shì)壓：靜壓和位壓之和；全壓：靜壓和動(dòng)壓之和；總壓：靜壓、動(dòng)壓和位壓之和。3.11恒定氣流能量方程式

當(dāng)氣流和外界空氣的密度相同，

或兩計(jì)算點(diǎn)的高度相同

，則：

當(dāng)氣流的密度遠(yuǎn)大于外界空氣的密度（ρ>>ρa(bǔ)），此時(shí)相當(dāng)于液體總流，ρa(bǔ)可忽略不計(jì)，認(rèn)為各點(diǎn)的當(dāng)?shù)卮髿鈮合嗤匠碳礊橐后w總流的能量方程。由此可見(jiàn)，對(duì)于液體總流來(lái)說(shuō)，壓強(qiáng)不論是絕對(duì)壓強(qiáng)，還是相對(duì)壓強(qiáng)，能量方程的形式不變。

例：自然排煙鍋爐如圖，煙囪直徑d=1m，煙氣流量Q=7.135m3/s，煙氣密度ρ=0.7kg/m3

，外部空氣密度ρa(bǔ)

=1.2kg/m3，煙囪的壓強(qiáng)損失，為使煙囪底部入口斷面的真空度不小于10mm水柱。試求煙囪的高度H。

3.13恒定流動(dòng)量方程

動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力之矢量和。即：

1.恒定流動(dòng)量方程的建立

如圖所示從恒定總流中任取一束元流為控制體，dt時(shí)間內(nèi)，流體從1-2處流至1’-2'處。dt時(shí)間內(nèi)元流的動(dòng)量變化(恒定流)為:由動(dòng)量定律得：3.13恒定流動(dòng)量方程

1.恒定流動(dòng)量方程的建立

而所以2.不可壓縮流體恒定元流動(dòng)量方程不可壓縮流體恒定流，有

則元流動(dòng)量方程為：3.13恒定流動(dòng)量方程

2.不可壓縮流體恒定元流動(dòng)量方程3.不可壓縮流體恒定總流流動(dòng)量方程對(duì)上邊動(dòng)量方程沿?cái)嗝娣e分，得總流動(dòng)量方程為：式中：α0—?jiǎng)恿啃拚禂?shù)，是指實(shí)際動(dòng)量與按斷面平均流速計(jì)算的動(dòng)量的比值,α0

＞1。對(duì)于層流：α0=4/3；紊流：α0=1.02～1.05，計(jì)算值一般取1.0。

3.13恒定流動(dòng)量方程

3.不可壓縮流體恒定總流流動(dòng)量方程式中：α0—?jiǎng)恿啃拚禂?shù)，是指實(shí)際動(dòng)量與按斷面平均流速計(jì)算的動(dòng)量的比值,α0

＞1。對(duì)于層流：α0=4/3；紊流：α0=1.02～1.05，計(jì)算值一般取1.0。

而則3.13恒定流動(dòng)量方程

式中：——作用于控制體內(nèi)流體的所有外力矢量和。該外力包括：（1）作用在該控制體內(nèi)所有流體質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量力；

（2）作用在該控制體面上的所有表面力（動(dòng)水壓力、剪切力）；

（3）四周邊界對(duì)水流的總作用力。3.13恒定流動(dòng)量方程

適用范圍：

（1）理想流體、實(shí)際流體的不可壓縮恒定流；

（2）選擇的兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝鎽?yīng)是漸變流過(guò)水?dāng)嗝?，而過(guò)程可以不是漸變流；

（3）質(zhì)量力只有重力；

（4）沿程流量不發(fā)生變化；若流量變化，則方程為：

3.13恒定流動(dòng)量方程

動(dòng)量方程的解題步驟:

1.選脫離體：根據(jù)問(wèn)題的要求，將所研究的兩個(gè)漸變流斷面之間的水體取為脫離體；

2.選坐標(biāo)系：選定坐標(biāo)軸的方向，確定各作用力及流速的投影的大小和方向；

3.作計(jì)算簡(jiǎn)圖：分析脫離體受力情況，并在脫離體上標(biāo)出全部作用力的方向；

4.列動(dòng)量方程解題：將各作用力及流速在坐標(biāo)軸上的投影代入動(dòng)量方程求解。計(jì)算壓力時(shí)，壓強(qiáng)采用相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算。注意與能量方程及連續(xù)性方程的聯(lián)合使用?！粲蓜?dòng)量方程求出的力是負(fù)號(hào)，說(shuō)明所受的力的方向與假定方向相反。例：如下圖所示，噴水推進(jìn)船，從前艙進(jìn)水，然后用泵及直徑為d=15cm的排水管