《隨堂優(yōu)化訓(xùn)練》年高中數(shù)學(xué) 第二章 2.3 2.3.2 等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)配套課件 新人教A必修5

2．3.2等差數(shù)列前

n

項和的性質(zhì)1．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項的和S10＝()CA．138B．135C．95D．232．在等差數(shù)列{an}中，已知S15＝90，那么a8等于()A．3B．4C．6D．12

C3．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋…＋a101＝0，則有()CA．a(chǎn)1＋a101＞0C．a(chǎn)1＋a101＝0B．a(chǎn)1＋a101＜0 D．a(chǎn)51＝514．在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝a3＋a8，則前9項和S9

等于()DA．3B．2C．1D．05．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn

表示數(shù)列{an}的前n項和，則S11＝()BA．18B．99C．198D．297重點等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

(1)若{an}成等差數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)也成等差數(shù)列．難點求等差數(shù)列的前n項和Sn

的最值

(1)根據(jù)項的正負(fù)來定：若a1＞0，d＜0，則數(shù)列的所有正數(shù)項之和最大；若a1＜0，d＞0，則數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項之和最?。?/p>

等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用例1：等差數(shù)列{an}的前

m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為()A．30B．170C．210D．260思維突破：(1)把問題特殊化，即令m＝1來解．(2)利用等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝na1＋n(n－1)

2d進(jìn)行求解．(3)借助等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝n(a1＋an)

2及性質(zhì)m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq

求解．

(4)根據(jù)性質(zhì)：“已知{an}成等差數(shù)列， 則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差數(shù)列”解題．

(5)根據(jù)Sn＝an2＋bn求解．

(6)運用等差數(shù)列求和公式，Sn＝na1＋n(n－1)

2d的變形式解題．解法一：取m＝1，則a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70，∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210.

由③－②及②－①結(jié)合④，得S3m＝210.

解法四：根據(jù)上述性質(zhì)，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m

成等差數(shù)列． 故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)， ∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.解法五：∵{an}為等差數(shù)列，∴設(shè)Sn＝a·n2＋b·n，∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100，∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.解法六：由Sn＝na1＋n(n－1)

2d，B1－1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27答案：C1－2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝2，S4＝10，則S6等于()CA．12B．18C．24D．42等差數(shù)列前前n項和的最值值問題例2：在等等差差數(shù)數(shù)列列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求求Sn的最最值值．．等差差數(shù)數(shù)列列前前n項和和的的最最值值問問題題除除了了用用二二次次函數(shù)數(shù)求求解解外外，，還還可可利利用用下下面面的的方方法法討討論論：：①①若若d＞0，a1＜0，當(dāng)當(dāng)且僅僅當(dāng)當(dāng)an≤0且an＋1＞0時，，Sn有最最小小值值；；②②若若d＜0，a1＞0，當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)an≥0且an＋1＜0時，，Sn有最最大大值值．．取取最最值值時時，，應(yīng)應(yīng)考考慮慮n在正正整整數(shù)數(shù)范范圍圍內(nèi)內(nèi)取取值值．．由二二次次函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)可可知知，，當(dāng)n＝13時，，Sn有最最大大值值為為169.2－1.數(shù)列列{an}是首首項項為為23六項項為為正正，，第第七七項項為為負(fù)負(fù)．．(1)求數(shù)數(shù)列列的的公公差差；；(2)求前前n項和和Sn的最最大大值值；；(3)當(dāng)Sn＞0時，，求求n的最最大大值值．．S6＝6×23＋，(2)∵d＜0，∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，又a6＞0，a7＜0，∴當(dāng)n＝6時，Sn

取得最大值，6×5 2×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋n(n－1)

2×(－4)＞0，整理得：n(25－2n)＞0，∴0＜n＜25 2又n∈N*，所求n的最大值為12.等差差數(shù)數(shù)列列前前n項和和的的實實際際應(yīng)應(yīng)用用例3：一個個等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前10項之之和和100，前前100項之之和和為為10，求求前前110項之之和和．．解法法一一：：設(shè)等等差差數(shù)數(shù)列列{an}的公公差差為為d，前前n項和和Sn，則則解法法二二：：設(shè)等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前n項和和為為Sn＝An2＋Bn，解法法三三：：設(shè)等等差差數(shù)數(shù)列列的的首首項項為為a1，公公差差為為d，∴S110＝－－110.3－1.(2010年浙浙江江)等差差數(shù)數(shù)列列{an}的首項項為為a1，公公差差為為d，前前n項和和為為Sn，滿滿足足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求求S6及a1；(2)求d的取取值值范范圍圍．．例4：已知知一一個個等等差差數(shù)數(shù)列列{an}的通項公式an＝25－5n，求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.錯因剖析：解本題易出現(xiàn)現(xiàn)的錯誤就是是：(1)由an≥0得，n≤5理解為n＝5，得出結(jié)論：：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，Sn＝(20－5n)(n－5)2；(2)把“前n項和”認(rèn)為“從n≥6起”的和．事實上，本題題要對n進(jìn)行分類討論論．正解：由an≥0得n≤5，∴{an}前5項為非負(fù)，從第6項起為負(fù)，當(dāng)n≥6時，4－1.已知Sn

為等差數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝12n－n2.(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：∵Sn＝12n－n2，∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝12－1＝11，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)2＝13－2