理第7講正弦定理與余弦定理

第7講 正弦定理與余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理 正弦定理a b csin A＝sin B＝sin C＝2R內容(R為△ABC外接圓半徑)a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；absinA＝2R，sinB＝2R，變形形式csinC＝2R；a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；＋＋caab＝sin＋sin＋sinsinAABC2.三角形解的判斷A為銳角圖形

余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__CcosA＝b2＋c2－a2；2bccosB＝c2＋a2－b22ca；a2＋b2－c2cosC＝2abA為鈍角或直角關系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b a>b解的個數 一解 兩解 一解 一解3.三角形中常用的面積公式1S＝ah(h表示邊a上的高)；21 1 1(2)S＝2bcsinA＝2acsin__B＝2absinC；1S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝2(a＋b＋c)．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求邊c.()(2)在三角形中，已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形．()(3)在△ABC中，sinA>sinB的充分不必要條件是A>B.()(4)在△ABC中，a2＋b2<c2是△ABC為鈍角三角形的充分不必要條件．()(5)在△ABC的角A，B，C，邊長a，b，c中，已知任意三個可求其他三個．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(教材習題改編 )在△ABC中，已知 a＝5，b＝7，c＝8，則A＋C＝( )A．90°B．120°C．135°D．150°解析：選B.cosB＝a2＋c2－b225＋64－491＝＝.2ac2×5×82所以B＝60°，所以 A＋C＝120°.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形 ( )A．無解 B．有兩解C．有一解 D．解的個數不確定ab解析：選B.因為sinA＝sinB，b2422所以sinB＝·sinA＝×sin45°＝.a183又因為a<b，所以B有兩解．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，則△ABC的面積為________．解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sin1A＝(負值舍去)，由bc＝2，可得21111△ABC的面積S＝bcsinA＝×2×＝.22221答案：2(2017·高考全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________．2＋2－2a2＋2－2b2＋2－2，即a2＋c2－b2＝ac，解析：依題意得2b×2ac＝a×2ab＋c×2bc1π所以2accosB＝ac>0，cosB＝.又0<B<π，所以B＝.23π答案：3利用正弦、余弦定理解三角形[典例引領

]π

1(1)(2016

高·考全國卷Ⅲ)在△ABC

中，B＝

4，BC

邊上的高等于

3BC，則

cos

A＝( )31010A.10B.1010310C．－D．－1010(2)(2017高·考全國卷Ⅰ)△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2＝()，則CA.πB.π126C.πD.π43(1)設△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，由題意可得1π2【解析】a＝csin＝342322222922252，則bc，則a＝2c.在△ABC中，由余弦定理可得b＝a＋c－ac＝c＋c－3c＝c2259b2＋2－2c2＋c2－c2102210＝＝－c.由余弦定理，可得cosA＝2bc＝10，故選C.22××c10c2因為sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinA·sinC－sinA·cosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因為sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因為A∈(0，π)，所以A＝3π4，由正22c·sin×1ππA2弦定理得sinC＝a＝2＝2，又0<C<4，所以C＝6.故選B.【答案】(1)C(2)B正、余弦定理的選用解三角形時，如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．三角形解的個數的判斷已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．[通關練習]1．(2018張·掖市第一次診斷考試)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c1＝2a，bsinB－asinA＝asinC，則cosB為()273A.4B.471C.3D.31a2＋－b2解析：選B.由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝22a，所以cosB＝2＝ac＋－a24a22a23.4a242．已知△

ABC

中，a，b，c分別是角

A，B，C

所對的邊，若

(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，則角B的大小為

(

)π

πA.

B.6

32π

5πC.

3

D.

6解析：選C.法一：因為(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝2sinAcosB＋sin(B＋C)＝2sinAcosB＋sinA＝0，1，又B為△ABC的內角，所以B＝2π因為sinA≠0，所以cosB＝－.故選C.23法二：因為(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，a2＋c2－b2a2＋b2－c2所以(2a＋c)·2ac＋b·＝0，2ab所以b2＝a2＋c2＋ac，2＋2－21所以cosB＝2ac＝－，22π所以B＝ .33．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，∠B＝2∠A，cosA＝6，則b＝________．3解析：在△ABC中，由cosA＝63，∠B＝2∠A，可得sinA＝，33622sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝2×3×3＝3.ab，可得3b再由正弦定理＝＝，sinAsinB322336求得b＝2.答案：26利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀[典例引領

](1)設△ABC

的內角

A，B，C所對的邊分別為

a，b，c，若

bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC

的形狀為

(

)A．直角三角形

B．銳角三角形C．鈍角三角形

D．不確定(2)(2018

山·西懷仁月考

)若a2＋b2－c2＝ab，且2cos

Asin

B＝sin

C，那么△

ABC一定是( )A．直角三角形

B．等腰三角形C．等腰直角三角形

D．等邊三角形【解析】

(1)由正弦定理得

sinBcosC＋cosBsin

C＝sin2A，則

sin(B＋C)＝sin2A，由三角形內角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以∠A＝π.即△ABC為直角三角2形．法一：利用邊的關系來判斷：sinCcsinCc由正弦定理得sinB＝b，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝2sinB＝2b.cosA＝b2＋c2－a2又由余弦定理得，2bcb2＋c2－a2所以 ＝ ，2b 2bc即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因為a2＋b2－c2＝ab.所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC為等邊三角形．法二：利用角的關系來判斷：因為A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因為2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因為A與B均為△ABC的內角，所以 A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，a2＋b2－c2ab1由余弦定理，得cosC＝2ab＝2ab＝2，又0°<C<180°，所以C＝60°，所以△ABC為等邊三角形．【答案】 (1)A (2)D若將本例(1)條件改為“2sinAcosB＝sinC”，試判斷△ABC的形狀．解：法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)0，因為－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC為等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c?a2＝b2?a＝b，故△ABC為等腰三角形．判定三角形形狀的兩種常用途徑[提醒] “角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應關系； “邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內角和定理及誘導公式推出角的關系．[通關練習]c1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＜cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形csinC解析：選A.已知＜cosA，由正弦定理，得sin＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以sin(AbBB)＜sinBcosA，即sinB·cosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有 cosB＜0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形．2．在△ABC中，a，b，c分別為內角 A，B，C的對邊，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sinC.求角A的大??；若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．解：(1)由題意知，根據正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，1故cosA＝－，2A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.1又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.2因為0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰鈍角三角形．與三角形面積有關的問題 (高頻考點)求解與三角形面積有關的問題是高考的熱點，三種題型在高考中時有出現，其試題為中檔題．高考對正、余弦定理應用的考查有以下三個命題角度：求三角形的面積；已知三角形的面積解三角形；(3)求有關三角形面積或周長的最值 (范圍)問題．[典例引領]角度一 求三角形的面積(2017高·考全國卷Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為 a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.求c；設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．2π【解】(1)由已知可得tanA＝－332π在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos3，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.π π由題設可得∠CAD＝2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝6.故△ABD面積與△ACD面積的比值為1 π2AB·AD·sin 61.1AC·AD2又△ABC的面積為13，所以△ABD的面積為3.×4×2sin∠BAC＝22角度二已知三角形的面積解三角形(2018江·西南昌十校模擬)在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且sinA5c757B為銳角，若sinB＝2b，sinB＝△ABC＝，則b的值為________．4，S4【解析】sinA5ca5c5由＝?＝?a＝c，①sinB2bb2b215771由S△ABC＝acsinB＝4且sinB＝得ac＝5，②242聯(lián)立①②解得a＝5，c＝2，由sinB＝73b2＝25＋4且B為銳角知cosB＝，由余弦定理知4432×5×2×＝14，b＝14.4【答案】 14角度三 求有關三角形面積或周長的最值 (范圍)問題(2018

沈·陽市教學質量檢測

(一))已知△

ABC

的三個內角

A，B，C的對邊分別為

a，b，c，面積為

S，且滿足

4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，則

S的最大值為

________．1【解析】

由題意得：

4×

bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，2又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得：2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，＋πππ5ππ3ππ14)＝1，又0<A<π，所以4<A＋4<4，所以A＋4＝4，所以A＝2，S＝22sin(A1bcsinA＝2bc，又b＋c＝8≥2bc，當且僅當b＝c時取“＝”，所以bc≤16，所以S的最大值為8.【答案】 8與三角形面積有關問題的解題策略1 1 1求三角形的面積．對于面積公式S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式．已知三角形的面積解三角形．與面積有關的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化．求有關三角形面積或周長的最值(范圍)問題．一般轉化為一個角的一個三角函數，利用三角函數的有界性求解，或利用余弦定理轉化為邊的關系，再應用基本不等式求解．[通關練習]1．(2018云·南省第一次統(tǒng)一檢測)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面積為2的最小值為()1＋，則bA．2B．3C.2D.3解析：選A.由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1.π122因為B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsinB＝1＋222－422accosB≥2ac－22＋22b≥2，b的ac＝(2－)(4)＝4，當且僅當a＝c時等號成立，所以最小值為2，故選A.2．(2017高·考全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為 a，b，c，已知sin(A＋C)＝B8sin22.求cosB；若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.B解：(1)由題設及 A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故2sinB＝4(1－cosB)．上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，15解得cosB＝1(舍去)，cosB＝ .1715 8(2)由cosB＝17得sinB＝17，故

1417△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，則ac＝.1722由余弦定理及 a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB(a＋c)2－2ac(1＋cosB)36－2×17×(1＋15)1724.所以b＝2.應用正、余弦定理的解題技巧技巧解讀適合題型典例指引將表達式中的邊利用邊化角公式a＝2RsinA，b＝等式兩邊是邊的齊次例2(1)2RsinB，c＝2RsinC形式化為角的關系將表達式中的角利用公式轉化為邊，出現等式兩邊是角的齊次角化邊角的正弦值用正弦定形式、a2＋b2－c2＝例2(2)理轉化，出現角的余λab形式弦值由余弦定理轉化a2＝b2＋c2－2bccosA(b＋c)2－2bc(1＋出現b＋c，bc等結構和積互化 cosA)．可聯(lián)系已知形式條件，利用方程思想進行求解三角形的邊與重要不等式相聯(lián)系，由 b2＋c22bc，得a2＝b2＋c2－2bccosA方積互化 求邊、角、面積等范圍問題 例3-32bc－2bccosA＝2bc(1－cosA)，可探求邊或角的范圍問題易錯防范在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現一解、兩解或無解，所以要注意分類討論．在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．1．(2018蘭·州市實戰(zhàn)考試)△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，則cosC＝()22A.4B．－433C.D．－44解析：選B.由題意得，b2＝ac＝2a2，b＝2a，所以cosa2＋b2－c2a2＋2a2－4a2C＝＝2a×＝2ab2a2－，故選B.42．(2018廣·東廣雅中學、江西南昌二中聯(lián)考)已知a，b，c為△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若3bcosC＝c(1－3cosB)，則sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2解析：選C.由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因為A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，選C.223．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sinA＝3，a＝3，S△ABC2＝2，則b的值為()A．6B．3C．2D．2或3△21解析：選D.因為SABC＝2＝bcsinA，2所以bc＝6，又因為sinA＝2219＝b2＋c2－3，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得32bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.224．(2018安·徽合肥模擬)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC＝3，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()A．4πB．8πC．9πD．36π解析：選C.已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R為△ABC的外接圓半徑)．利用兩角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，則2RsinC＝2，因為221cosC＝3，所以sinC＝3，所以R＝3.故△ABC的外接圓面積為9π.故選C.5．在△ABC中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若bsinA－3acosB＝0，且a＋cb2＝ac，則的值為()b2B.2A.2C．2D．4解析：選C.在△ABC中，由bsinA－3acosB＝0，利用正弦定理得 sinBsinA－3sinAcosB＝0，π所以tanB＝3，故B＝ .3由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，a＋c又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.bπ2sinB，則△ABC的面積為________．6．在△ABC中，A＝4，b2sinC＝4解析：因為b2sinC＝42sinB，所以b2c＝42b，所以bc＝42，1122＝2.SABC＝bcsinA＝×4×222答案：2sin2A7．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則sinC＝________．解析：由余弦定理：cosA＝b2＋c2－a225＋36－1632bc＝＝，2×5×647＋b2－c216＋－361所以sinA＝4，cosC＝2ab＝＝，2×4×582×3737sin2A×44所以sinC＝8，所以sinC＝37＝1.8答案：118．已知△ABC的周長為 2＋1，面積為 6sinC，且sinA＋sinB＝2sinC，則角C的值為________．解析：將sinA＋sinB＝2sinC利用正弦定理化簡得：a＋b＝2c，因為a＋b＋c＝2＋1，所以2c＋c＝2＋1，即c＝1，所以a＋b＝2，111因為S△ABC＝absinC＝sinC，所以ab＝.263因為cosC＝a2＋b2－c2a2＋b2－12ab＝2ab2（＋）2－2ab－12－－1π＝2ab＝2＝，則C＝.233π答案：339．(2017高·考北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝7a.求sinC的值；若a＝7，求△ABC的面積．3解：(1)在△ABC中，因為∠A＝60°，c＝a，7所以由正弦定理得csinA3333sinC＝＝×2＝.a7143(2)因為a＝7，所以c＝×7＝3.71由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×，2解得b＝8或b＝－5(舍)．113所以△ABC的面積S＝bcsinA＝×8×3×＝63.22210．(2018·州省適應性考試貴)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB＝4，bsinA＝3.求tanB及邊長a的值；若△ABC的面積S＝9，求△ABC的周長．解：(1)在△ABC中，acosB＝4，bsinA＝3，bsinAsinBsinA3兩式相除，有＝sin＝tanB＝，acosBAcosB44又acosB＝4，所以cosB>0，則cosB＝，故a＝5.53 1(2)由(1)知，sinB＝5，由S＝2acsinB＝9，得c＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB＝13，得b＝13.故△ABC的周長為 11＋13.2π1．(2018長·沙市統(tǒng)一模擬考試)△ABC中，C＝3，AB＝3，則△ABC的周長為()ππA．6sin(A＋3)＋3B．6sin(A＋6)＋3C．23sin(A＋πD．23sin(A＋π3)＋36)＋3解析：選C.設△ABC的外接圓半徑為R，則2R＝33BC＝2RsinA＝232πsin3ππ－A)]＋3＝2A，AC＝2RsinB＝23sin(3－A)，于是△ABC的周長為23[sinA＋sin(33sinπ(A＋3)＋3.選C.2．(2018安·徽江南十校聯(lián)考1，它的外接圓面積為S2，若△ABC的三)設△ABC的面積為S1個內角大小滿足)A∶B∶C＝3∶4∶5，則的值為(S22525A.12πB.24π3＋33＋3C.D.4π2π解析：選D.在△ABC中，A＋B＋C＝π，ππ，C＝5又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝π.4312ab＝c＝2R(a、b、c為△ABC中角A、B、C的對邊，R為由正弦定理＝sinsinAsinBCsinAsinBcC.△ABC的外接圓半徑)可得，a＝sinC·c，b＝sinC·c，R＝2sin11sinAsinB所以S1＝absinC＝·sin·sin·c2·sinC22CC1c2＝sinA·sinB·sinC·，2sin2Cπc2S2＝πR2＝·，4sin2C23622×××3＋3S12sinA·sinB·sinC224，故選D.所以＝＝＝S2ππ4π3．如圖，在四邊形 ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD135°，則BC的長為________．解析：在△ABD中，設BD＝x，則BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．BC＝BD162在△BCD中，由正弦定理：，所以BC＝sin135·sin30°＝8.sin∠CDBsin∠BCD°答案：82asin＋－C234．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，sinsinC＝3a，aB2