2020年高考文科數學《概率與統(tǒng)計》題型歸納與訓練

..2020年高考文科數學《概率與統(tǒng)計》題型歸納與訓練[題型歸納]題型一古典概型例1從甲、乙等名學生中隨機選出人,則甲被選中的概率為〔.A.B.C. D.[答案][解析]可設這5名學生分別是甲、乙、丙、丁、戊,從中隨機選出2人的方法有：〔甲,乙,〔甲,丙,〔甲,丁,〔甲,戊,〔乙,丙,〔乙,丁,〔乙,戊,〔丙,丁,〔丙,戊,〔丁,戊,共有種選法,其中只有前4種是甲被選中,所以所求概率為.故選B.例2將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行,則2本數學書相鄰的概率為________.[答案][解析]根據題意顯然這是一個古典概型,其基本事件有：數1,數2,語;數1,語,數2;數2,數1,語;數2,語,數1;語,數2,數1;語,數1,數2共有6種,其中2本數學書相鄰的有4種,則其概率為：．[易錯點]列舉不全面或重復,就是不準確[思維點撥]直接列舉,找出符合要求的事件個數.題型二幾何概型例1如圖所示,正方形內的圖形來自中國古代的太極圖,正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是〔.A.B.C.D.[答案][解析]不妨設正方形邊長為,由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得,所求概率為.故選B.例2在區(qū)間上隨機地選擇一個數,則方程有兩個負根的概率為________.[答案][解析]方程有兩個負根的充要條件是即或,又因為,所以使方程有兩個負根的p的取值范圍為,故所求的概率,故填：.[易錯點]"有兩個負根"這個條件不會轉化.[思維點撥]"有兩個負根"轉化為函數圖像與x軸負半軸有兩個交點.從而得到參數p的范圍.在利用幾何概型的計算公式計算即可.題型三抽樣與樣本數據特征例1某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品,產量分別為,,,件．為檢驗產品的質量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取件進行檢驗,則應從丙種型號的產品中抽取________件．[答案][解析]按照分層抽樣的概念應從丙種型號的產品中抽取<件>．例2已知樣本數據,,,的均值,則樣本數據,,,的均值為．[答案][解析]因為樣本數據,,,的均值,又樣本數據,,,的和為,所以樣本數據的均值為＝11.例3某電子商務公司對名網絡購物者2018年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額〔單位：萬元都在區(qū)間內,其頻率分布直方圖如圖所示.〔1直方圖中的=.〔2在這些購物者中,消費金額在區(qū)間內的購物者的人數為.[答案]人數為[解析]由頻率分布直方圖及頻率和等于,可得,解之得.于是消費金額在區(qū)間內頻率為,所以消費金額在區(qū)間內的購物者的人數為.例4某城市戶居民的月平均用電量〔單位：度,以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖所示．〔1求直方圖中的值；〔2求月平均用電量的眾數和中位數；〔3在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則從月平均用電量在的用戶中應抽取多少戶？[答案]見解析[解析]〔1由,得．〔2由圖可知,月平均用電量的眾數是.因為,又,所以月平均用電量的中位數在內.設中位數為,由,得,所以月平均用電量的中位數是.〔3月平均用電量為的用戶有〔戶；月平均用電量為的用戶有〔戶；月平均用電量為的用戶有〔戶；月平均用電量為的用戶有〔戶.抽取比例為,所以從月平均用電量在的用戶中應抽取〔戶．[易錯點]沒有讀懂題意,計算錯誤.不會用函數思想處理問題[思維點撥]根據題意分情況寫出函數解析式；2牽涉到策略問題,一般可以轉化為比較兩個指標的大小.題型四回歸與分析例1下圖是我國20XX至20XX生活垃圾無害化處理量〔單位：億噸的折線圖〔1由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關系,請用相關系數加以說明〔2建立關于的回歸方程〔系數精確到,預測年我國生活垃圾無害化處理量.參考數據：,,,.參考公式：相關系數回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：[答案]見解析[解析]〔1由折線圖中數據和附注中參考數據得,,,,.因為與的相關系數近似為,說明與的線性相關程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.〔1變量與的相關系數,又,,,,,所以,故可用線性回歸模型擬合變量與的關系.〔2,,所以,,所以線性回歸方程為.當時,.因此,我們可以預測2016年我國生活垃圾無害化處理億噸.[易錯點]沒有讀懂題意,計算錯誤.[思維點撥]將題目的已知條件分析透徹,利用好題目中給的公式與數據.題型五獨立性檢驗例1甲、乙、丙、丁四位同學各自對A、B兩變量的線性相關性作試驗,并用回歸分析方法分別求得相關系數r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m115106124103則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)A、B兩變量更強的線性相關性？<>A．甲 B．乙 C．丙 D．丁[答案]D[解析]D因為r>0且丁最接近1,殘差平方和最小,所以丁相關性最高[易錯點]不理解相關系數和殘差平方和與相關性的關系[思維點撥]相關系數r的絕對值越趨向于1,相關性越強.殘差平方和m越小相關性越強[鞏固訓練]題型一古典概型1.將一顆質地均勻的骰子〔一種各個面上分別標有個點的正方體玩具先后拋擲次,則出現(xiàn)向上的點數之和小于的概率是．[答案][解析]將先后兩次點數記為,則基本事件共有〔個,其中點數之和大于等于有,共種,則點數之和小于共有種,所以概率為．2.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是"每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和",如．在不超過30的素數中,隨機選取兩個不同的數,其和等于30的概率是〔.A． B． C． D．[答案][解析]不超過30的素數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,共10個,隨機選取兩數有〔種情況,其中兩數相加和為30的有7和23,11和19,13和17,共3種情況,根據古典概型得.故選.3.袋中有形狀、大小都相同的只球,其中只白球,只紅球,只黃球,從中一次隨機摸出只球,則這只球顏色不同的概率為．[答案][解析]只白球設為,只紅球設為,只黃球設為,,則摸球的所有情況為,,,,,,共件,滿足題意的事件為,,,,,共件,故概率為．題型二幾何概型1.某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,學.小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是〔.A.EQ\F<1,3>B.EQ\F<1,2>C.EQ\F<2,3>D.[答案]B[解析]如圖所示,畫出時間軸.小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中,而當他的到達時間落在線段或時,才能保證他等車的時間不超過分鐘.根據幾何概型,所求概率.故選B.從區(qū)間隨機抽取2n個數,,…,,,,…,,構成n個數對,,…,,其中兩數的平方和小于1的數對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為〔.A.B.C.D.[答案]C[解析]由題意得：在如圖所示方格中,而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中,由幾何概型概率計算公式知,所以.故選C．3.下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,,的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ,在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為,,,則A．B．C．D．[答案]A[解析]概率為幾何概型,總區(qū)域面積一定,只需比較Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ區(qū)域面積即可.設直角三角形的三個角,,所對的邊長分別為,,,則區(qū)域Ⅰ的面積為,區(qū)域Ⅱ的面積為,區(qū)域Ⅲ的面積為.顯然.故選A.題型三抽樣與樣本的數據特征1.已知一組數據,,,,,,那么這組數據的平均數為．[答案]10[解析]平均數．2.某電子商務公司對10000名網絡購物者20XX度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額〔單位：萬元都在區(qū)間內,其頻率分布直方圖如圖所示.〔Ⅰ直方圖中的_________；〔Ⅱ在這些購物者中,消費金額在區(qū)間內的購物者的人數為_________.[答案]3；6000[解析]頻率和等于1可得,解之得.于是消費金額在區(qū)間內頻率為,所以消費金額在區(qū)間內的購物者的人數為：,故應填3；6000.3.我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準〔噸、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年位居民每人的月均用水量〔單位：噸,將數據按照,,,分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.〔1求直方圖中的值；〔2設該市有萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于噸的人數,請說明理由；〔3若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準〔噸,估計的值,并說明理由.[答案]見解析[解析]〔1由頻率分布直方圖知,月均用水量在中的頻率為,同理,在,,,,,中的頻率分別為,,,,,.由,解得.〔2由〔1,位居民每人月均用水量不低于噸的頻率為.由以上樣本的頻率分布,可以估計全市萬居民中月均用水量不低于噸的人數為.〔3因為前組的頻率之和為,而前組的頻率之和為,所以由,解得.題型四回歸與分析1.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系,隨機調查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數據表：收入〔萬元8.28.610.011.311.9支出〔萬元6.27.58.08.59.8根據上表可得回歸直線方程,其中,據此估計,該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為〔A．11.4萬元B．11.8萬元C．12.0萬元D．12.2萬元[答案]B[解析]由已知得〔萬元,〔萬元,故,所以回歸直線方程為．當社區(qū)一戶收入為15萬元,家庭年支出為〔萬元．故選B．2.為了研究某班學生的腳長〔單位：厘米和身高〔單位：厘米的關系,從該班隨機抽取名學生,根據測量數據的散點圖可以看出與之間有線性相關關系,設其回歸直線方程為．已知,,．該班某學生的腳長為24,據此估計其身高為〔.A.B.C.D.[答案]C[解析],,所以,時,.故選C.3.某公司為確定下一年投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費〔單位：千元對年銷售量〔單位：和年利潤〔單位：千元的影響,對近8年的年宣傳費和年銷售量數據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．46.65636.8289.81.61469108.8表中,,〔1根據散點圖判斷,與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型〔給出判斷即可,不必說明理由？〔2根據〔1的判斷結果及表中數據,建立關于的回歸方程；〔3已知這種產品的年利潤與,的關系式為,根據〔2的結果回答下列問題：〔ⅰ年宣傳費時,年銷售量及年利潤的預報值是多少？〔ⅱ年宣傳費為何值時,年利潤的預報值最大？附：對于一組數據,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.[答案]見解析[解析]〔1由散點圖變化情況可知選擇較為適宜．〔2由題意知．又一定過點,所以,所以與的回歸方程為．〔3〔ⅰ由〔2知,當時,,〔千元,所以當年宣傳費為時,年銷售量為,利潤預估為千元．〔ⅱ由〔2知,,所以當時,年利潤的預估值最大,即〔千元．題型五獨立性檢驗1.某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用,把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設H："這種血清不能起到預防感冒的作用",利用2×2列聯(lián)表計算的K2≈3.918,則下列表述中正確的是〔A．有95℅的把握認為"這種血清能起到預防感冒的作用"B．若有人未使用該血清,那么他一年中有95℅的可能性得感冒C．這種血清預防感冒的有效率為95℅D．這種血清預防感冒的有效率為5℅[答案]A[解析]由題可知,在假設成立情況下,的概率約為0.05,即在犯錯的概率不錯過0.05的前提下認為"血清起預防感冒的作用",即有95℅的把握認為"這種血清能起到預防感冒的作用".這里的95℅是我們判斷不成立的概率量度而非預測血清與感冒的幾率的量度,故B錯誤.C,D也犯有B中的錯誤.故選A2.觀察下面頻率等高條形圖,其中兩個分類變量之間關系最強的是<>A．B．C．D．[答案]D[解析]在頻率等高條形圖中,與相差很大時,我們認為兩個分類變量有關系,四個選項中,即等高的條形圖中所占比例相差越大,則分類變量關系越強,故選．3.淡水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比,收獲時各隨機抽取了個網箱,測量各箱水產品的產量〔單位：的頻率分布直方圖如圖所示.〔1設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立,記表示事件：舊養(yǎng)殖法