第三章-二維隨機(jī)變量及其概率分布

第三章二維隨機(jī)變量及其概率分布二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量及其分布律二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的邊緣分布與條件分布從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.它是第二章內(nèi)容的推廣.3.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

3.1.1多維隨機(jī)變量到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述.在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的.飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v(三個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的等等.一般地,如果向量的值由隨機(jī)試叫做維隨機(jī)向量或維隨機(jī)變量.

以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照.驗(yàn)結(jié)果而定，則稱X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。定義1設(shè)是二維隨機(jī)變量,3.1.2二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么,分布函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在下面左圖所示的,以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率.分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域內(nèi)的概率為4.k=1,2,…離散型一維隨機(jī)變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì),是離散型隨機(jī)變量.則稱設(shè)二維離散型隨機(jī)變量可能取的值是記如果二維隨機(jī)變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律。3.2二維離散型隨機(jī)變量也可用表格來(lái)表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律具有性質(zhì)解例1：一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1、2、2，無(wú)放回取球兩次，以X、Y分別記第一次、第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，寫(xiě)出(X,Y)的聯(lián)合概率分布。所以(X,Y)的聯(lián)合概率分布律為：設(shè)X及Y

分別是取出的4件產(chǎn)品中一等品及二等品的件數(shù)，則有聯(lián)合概率函數(shù)：2

i+j

4.

解:其中i=

0、1、2、3；j=

0、1、2、3、4；10件產(chǎn)品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品。從例2：中任取4件，求其中一等品、二等品件數(shù)的二維概率分布。由此得(X,Y)的二維聯(lián)合概率分布如下：000300200100043210XY

例3設(shè)事件A，B滿足P(A)=1/4,P(A|B)=1/2，P(B|A)=1/2.記X，Y分別為一次試驗(yàn)中A，B發(fā)生的次數(shù)，求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)P{X=0,Y=0}P{X=0,Y=1}

=1/8P(AB)=P(A)P(B|A)=1/8P{X=1,Y=0}P{X=1,Y=1}=1/8故聯(lián)合分布律為：函數(shù)稱為二維一維連續(xù)型隨機(jī)變量XX的概率密度函數(shù)定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量,（X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù),隨機(jī)變量3.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量存在非負(fù)的函數(shù)如果任意有使對(duì)于或聯(lián)合概率密度.（X,Y）的聯(lián)合概率密度的性質(zhì):在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),常見(jiàn)兩種分布：1.均勻分布：設(shè)A是xoy平面上的區(qū)域，其面積為若（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：則稱(X,Y)服從A上的均勻分布。2.二維正態(tài)分布：若(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布。記為二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)關(guān)于

X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)一、邊緣分布函數(shù)3.4二維隨機(jī)變量的邊緣分布與條件分布一般地，對(duì)離散型

r.v(X,Y)，則

(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為X和Y的聯(lián)合分布律為二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布同理，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律與邊緣分布.例2將兩封信隨機(jī)的往編號(hào)為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四個(gè)郵筒內(nèi)投。解：試驗(yàn)共有16種可能結(jié)果，且R.V.的可能取值為0，1，2，于是可得：

對(duì)連續(xù)型

r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布則

(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

同理，

(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量

設(shè)有兩個(gè)r.vX,Y，在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.四、條件分布例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個(gè)條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來(lái)，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會(huì)很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會(huì)顯著增加.1、離散型隨機(jī)變量的條件分布實(shí)際上是第一章講過(guò)的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).

定義1

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若P{Y=yj

}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj

}=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.作為條件的那個(gè)r.v,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo),且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo).首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊了m次.n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

例1

一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布及條件分布.{X=m}表(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的聯(lián)合分布律為不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應(yīng)等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標(biāo)的概率為pP{X=m,Y=n}=？為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(m=1,2,…)Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時(shí)，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布邊緣分布n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時(shí)，2、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對(duì)任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.

設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為關(guān)于的邊緣概率密度為,

則稱為在的條件下的條件概率密度.記為稱為在的條件下,的條件分布函數(shù).記為定義2若對(duì)于固定的,即類似地,可以定義例2