第七章彎曲變形第二節(jié)疊加法

第四節(jié)計算彎曲變形的疊加法

（Beamdeflectionsbysuperposition）

梁的變形微小,且梁在線彈性范圍內工作時,梁在幾項荷載(可以是集中力,集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉角,就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加.當每一項荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿w軸方向),其轉角是在同一平面內(如均在xy平面內)時,則疊加就是代數(shù)和.這就是疊加原理.一、疊加原理

（Superposition）

1.載荷疊加（Superpositionofloads）多個載荷同時作用于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數(shù)和.2.結構形式疊加（逐段剛化法）[例1]圖示懸臂梁，同時承受集中載荷

F1和

F2的作用。設梁的抗彎剛度為

EI，試用疊加法計算自由端

C

的撓度

wC

。解：1）在F1和單獨作用下2）在F2和單獨作用下[例2]階梯懸臂梁如圖，試求自由端端

C

的撓度

wC

。已知

BC

段梁的抗彎剛度為為

EI、AB

段梁的抗彎剛度為為

2EI。解：該梁可看做由懸臂梁AB和固定在橫截面B上的懸臂梁BC組成1）令AB不變形，只考慮BC變形2）令BC不變形，只考慮AB變形2）令BC不變形，只考慮AB變形（a）在F作用下（b）在Me作用下2）令BC不變形，只考慮AB變形[例3]外伸梁如圖，試用疊加法計算截面

C

的撓度

wC和轉角C

，設梁的抗彎剛度

EI

為常量。解：[例4]如圖，在簡支梁的一半跨度內作用均布載荷

q

，試用疊加法計算截面

C

的撓度

wC

。設梁的抗彎剛度

EI

為常量。解：疊加法的要點——1）疊加法適用前提：線彈性、小變形3）必須畫出疊加變形圖2）記住常用結論4）掌握疊加法的常用技巧第五節(jié)彎曲剛度計算一、梁的剛度條件

式中，[w]

為梁的許用撓度2.采用合理的截面形狀選用具有較高Iz

/

A

比值的截面形狀3.減小梁的跨度結論：工字形截面較為合理二、提高梁的彎曲剛度的措施1.合理選材選用彈性模量

E

較高的材料結論：用高強度合金鋼取代普通碳鋼對于提高彎曲剛度沒有意義[例5]圖示簡支梁由

No.

18

工字鋼制成，長度

l=

3

m

，受q=

24

kN/m

的均布載荷作用。材料的彈性模量

E=

210

GPa

，許用應力

[

]

=

150

MPa

，梁的許可撓度

[w

]

=

l

/400

。試校核梁的強度和剛度。

解：1）強度校核最大彎矩查型鋼表，Wz=

186

cm3，故梁的強度滿足要求根據(jù)彎曲正應力強度條件2）梁的剛度校核查型鋼表，得

Iz

=

1660

cm4梁的最大撓度發(fā)生在中間截面，為由于故梁的剛度滿足要求[例2]圖示工字鋼簡支梁，在跨中承受集中力

F

作用。已知F=

35

kN，跨度

l=

4

m

，許用應力

[

]

=

160

MPa

，許用撓度

[w

]

=

l

/

500

，彈性模量

E=

200

GPa

。試選擇工字鋼型號。解：1）強度計算最大彎矩根據(jù)梁的正應力強度條件，得梁的抗彎截面系數(shù)2）剛度計算最大撓度發(fā)生于跨中截面，為根據(jù)梁的剛度條件得梁截面對中性軸的慣性矩查型鋼表，No.

22a

工字鋼的

Wz

=

3.09

104

m3、Iz

=

3.40105

m4，同時滿足梁的強度和剛度要求，故可選取No.

22a

工字鋼。

第六節(jié)簡單超靜定梁4.由補充方程求出多余未知力，即轉為靜定問題。求解簡單超靜定梁的基本步驟——1.解除多余約束，以相應的多余未知力代之作用，得到原超靜定梁的相當系統(tǒng)；2.根據(jù)多余約束處的位移條件，建立變形協(xié)調方程；3.計算相當系統(tǒng)在多余約束處的相應位移，由變形協(xié)調方程得補充方程；[例3]圖示圓形截面梁，承受集中力

F

作用。已知F=

20

kN，跨度

l=

500

mm，截面直徑

d

=

60

mm，材料的許用應力

[

]

=

1