第三章 基于數(shù)學(xué)模型的控制系統(tǒng)故障診斷-4

第三章基于數(shù)學(xué)模型的控制系統(tǒng)故障診斷

基于數(shù)學(xué)模型的故障診斷原理殘差產(chǎn)生的方法故障決策的閾值選取原則一、基于數(shù)學(xué)模型的故障診斷原理基于數(shù)學(xué)模型故障診斷的基本思想是，設(shè)計(jì)系統(tǒng)的檢測(cè)濾波器，然后根據(jù)濾波器的輸出與真實(shí)系統(tǒng)的輸出比較，產(chǎn)生殘差，再對(duì)其殘差進(jìn)行分析、處理，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的故障診斷。

基本原理控制系統(tǒng)及其檢測(cè)濾波器如下圖所示。檢測(cè)濾波器包括一個(gè)正常工作條件下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，模型的輸入和真實(shí)系統(tǒng)的輸入相同。系統(tǒng)傳感器輸出與模型輸出之間的差值信號(hào)經(jīng)增益矩陣D反饋到模型輸入。圖控制系統(tǒng)及其檢測(cè)濾波器上圖中所示的系統(tǒng)可表示為：故障濾波器的方程為：定義：狀態(tài)誤差（即殘差）測(cè)量誤差（即輸出殘差）則狀態(tài)誤差方程輸出誤差方程下面分別考慮執(zhí)行器故障、傳感器故障和對(duì)象參數(shù)變化的診斷問(wèn)題。1、執(zhí)行器故障假設(shè)第j個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障，則故障數(shù)學(xué)模型可表示為式中，ud(t)為正常狀態(tài)下，期望的控制輸入；n(t)為任意的標(biāo)量時(shí)間函數(shù)；erj為在第j個(gè)坐標(biāo)方向上的單位r維矢量，即第j個(gè)元素←此時(shí)狀態(tài)方程為式中，bj為矩陣B的第j列矢量，可稱(chēng)為事件矢量。狀態(tài)誤差方程和輸出誤差方程分別為2、傳感器故障假設(shè)第j個(gè)傳感器發(fā)生故障，則故障數(shù)學(xué)模型可表示為式中，n(t)為任意的標(biāo)量時(shí)間函數(shù)；

emj為在第j個(gè)坐標(biāo)方向上的單位m×1維矢量，對(duì)應(yīng)第j個(gè)傳感器故障第j個(gè)元素←此時(shí)，狀態(tài)誤差方程為輸出誤差方程為式中，dj為矩陣D的第j列矢量。3、對(duì)象參數(shù)的變化假設(shè)系統(tǒng)特性A、B發(fā)生變化△A、△B，則系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為則狀態(tài)誤差方程為輸出誤差方程為對(duì)于對(duì)象參數(shù)的變化，考慮一種簡(jiǎn)單的特殊情況，設(shè)矩陣A中某元素aij發(fā)生變化△aij，則式中，eni=[0…010…0]T此時(shí)狀態(tài)誤差方程為輸出誤差方程為一類(lèi)稱(chēng)為輸入型故障模型，包括執(zhí)行器故障與對(duì)象參數(shù)變化，它們的狀態(tài)誤差方程和輸出誤差方程可寫(xiě)為：式中，f為事件矢量（或故障矢量）。對(duì)于上述討論的三種情況：執(zhí)行器故障、傳感器故障和對(duì)象參數(shù)的變化，它們的狀態(tài)誤差方程和輸出誤差方程可以劃分為兩類(lèi)。輸入型故障模型的解為式中，第一項(xiàng)為瞬態(tài)解，第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)解。若系統(tǒng)穩(wěn)定，則穩(wěn)態(tài)解為故障檢測(cè)濾波器的設(shè)計(jì)，通過(guò)選擇增益矩陣D，使穩(wěn)態(tài)輸出誤差矢量方向保持與Cf的方向一致。這里需要指出，由于故障濾波器的設(shè)計(jì)限制，輸出誤差應(yīng)具有方向性，某個(gè)部件的故障對(duì)應(yīng)一定方向的輸出誤差。另一類(lèi)稱(chēng)為輸出型故障模型，即傳感器故障模型，其狀態(tài)誤差方程和輸出誤差方程為：輸出型故障模型的解為其穩(wěn)態(tài)狀態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)輸出誤差分別為傳感器故障的穩(wěn)態(tài)輸出誤差方向處在由（Cdj,emj）所構(gòu)成的二維平面上，而不是某個(gè)固定的方向。從前面的討論，對(duì)執(zhí)行器故障、傳感器故障、對(duì)象參數(shù)變化等可歸為兩類(lèi)：輸入型故障和輸出型故障。它們的輸出誤差方程都是類(lèi)似的。假如出現(xiàn)的故障是階躍故障，那么輸出誤差的變化曲線就如下圖所示。從輸出誤差曲線的變化，就可以檢測(cè)到故障是否發(fā)生，通過(guò)對(duì)曲線的分析，還可以知道故障發(fā)生的時(shí)間、故障的類(lèi)型以及故障的位置。圖輸出誤差的變化曲線

t0--故障時(shí)間

檢測(cè)濾波器的設(shè)計(jì)采用故障矢量f分析狀態(tài)誤差方程，無(wú)論是輸入型故障或輸出型故障，都具有相同的形式。式中，f=bj（執(zhí)行器故障）；

f=-dj

（傳感器故障）；

f=eni（對(duì)象參數(shù)變化△aij）。故障矢量的維數(shù)為n×1。（1）故障的可檢測(cè)性可由濾波器增益矩陣D滿足以下兩個(gè)條件來(lái)保證：（1）Ces（t）在輸出空間保持固定方向；（2）（A-DC）的所有特征值能夠任意配置。當(dāng)配置（A－DC）的所有特征值都處于s平面的左半平面內(nèi)時(shí)，式（1）表示的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，當(dāng)時(shí)間t趨向無(wú)窮大時(shí)，式（1）的初始條件瞬態(tài)解將趨向于零。（A－DC）的配置應(yīng)使誤差達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間和動(dòng)態(tài)過(guò)程得到控制。若f是可檢測(cè)的，則可通過(guò)檢查輸出誤差的方向來(lái)確定發(fā)生故障的部件。

（1）統(tǒng)一形式的狀態(tài)誤差方程下面僅討論完全可觀測(cè)系統(tǒng)的故障濾波器設(shè)計(jì)。完全可觀測(cè)系統(tǒng)是指在任意時(shí)間t，系統(tǒng)狀態(tài)矢量x(t)可由測(cè)量矢量y(t)唯一地確定。由于式中，當(dāng)給定y(t)時(shí)，使x(t)有唯一解的充要條件是rankC=n。為滿足可檢測(cè)條件（2）(（A-DC）的所有特征值能夠任意配置)，選擇。式中，為正的標(biāo)量常值，I為單位矩陣。設(shè)m代表系統(tǒng)的傳感器數(shù)目，或矩陣C的行數(shù)。若m=n，則C為n×n的方陣。若rankC=n，則C－1存在，D的唯一解為若m>n，且rankC=n，則D的解為（1）對(duì)于執(zhí)行器故障，f=bj，式（1）的解為由于>0，所以初始條件e(t0)引起的瞬態(tài)解漸趨近于零，所以式中，是標(biāo)量時(shí)間函數(shù)。因此，當(dāng)時(shí)間t足夠大時(shí)，e(t)保持在狀態(tài)空間的固定方向－稱(chēng)為bj方向，這說(shuō)明狀態(tài)誤差信號(hào)保持在狀態(tài)空間某個(gè)固定方向（對(duì)應(yīng)bj），表示是第j個(gè)執(zhí)行器故障。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，由于狀態(tài)變量x(t)不能直接獲取，所以e(t)也不是直接可取信號(hào)。而輸出誤差信號(hào)，沒(méi)有必要求解于x(t)，可以直接獲取。從這個(gè)意義上說(shuō)，應(yīng)采用ε(t)來(lái)檢測(cè)故障。所以，εs(t)在m維的輸出空間中保持一個(gè)固定方向Cbj。當(dāng)輸出誤差信號(hào)保持在某個(gè)固定方向（對(duì)應(yīng)Cbj），表示是第j個(gè)執(zhí)行器故障。（2）對(duì)于傳感器故障，f=-dj，式（1）的解為穩(wěn)態(tài)時(shí)的狀態(tài)誤差為同樣，狀態(tài)誤差信號(hào)e(t)不能直接獲取，宜采用輸出誤差信號(hào)ε(t)來(lái)檢測(cè)故障。所以，輸出誤差εs(t)處于輸出空間中，由兩個(gè)m維矢量Cdj和emj構(gòu)成的平面內(nèi)。即，若輸出誤差εs(t)處于Cdj和emj構(gòu)成的平面內(nèi)，說(shuō)明系統(tǒng)的第j個(gè)傳感器發(fā)生故障。式中，和n(t)都是標(biāo)量。

卡爾曼濾波器及其在故障診斷中的應(yīng)用1、卡爾曼濾波器的由來(lái)卡爾曼全名RudolfEmilKalman，匈牙利數(shù)學(xué)家，1930年出生于匈牙利首都布達(dá)佩斯。1953，1954年于麻省理工學(xué)院分別獲得電機(jī)工程學(xué)士及碩士學(xué)位。1957年于哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發(fā)表的論文《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems》（線性濾波與預(yù)測(cè)問(wèn)題的新方法）。卡爾曼濾波器是一個(gè)“optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。它的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過(guò)30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合，故障診斷以及軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)、導(dǎo)彈追蹤等。它以最小均方誤差為估計(jì)的最佳準(zhǔn)則，來(lái)尋求一套遞推估計(jì)的算法，其基本思想是：采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和現(xiàn)時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出現(xiàn)時(shí)刻的估計(jì)值。2、引子在介紹卡爾曼濾波器基本算法之前，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)了解它的基本思想。假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位）。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（WhiteGaussianNoise），也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的而且符合高斯分配（GaussianDistribution）。另外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確，測(cè)量值與實(shí)際值有偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲?，F(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)關(guān)于該房間的溫度值：一個(gè)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）；另一個(gè)是溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合它們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。首先要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)槲覀冋J(rèn)為溫度是恒定的，所以k時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值跟k-1時(shí)刻是一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，自己預(yù)測(cè)值的不確定度是4度，他們平方相加再開(kāi)方，就是5）。然后，從溫度計(jì)那里得到k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的協(xié)方差（covariance）來(lái)判斷。因?yàn)镵g^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度?？梢钥闯?，因?yàn)闇囟扔?jì)的協(xié)方差比較?。ū容^相信溫度計(jì)），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的3）。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把協(xié)方差遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。它運(yùn)行的速度很快，而且只保留了上一時(shí)刻的協(xié)方差。上面的Kg，就是卡爾曼增益（KalmanGain）。它可以隨不同的時(shí)刻而改變它自己的值。3、卡爾曼濾波器算法引入一個(gè)離散控制過(guò)程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個(gè)線性隨機(jī)微分方程（LinearStochasticDifferenceequation）來(lái)描述：

X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k)

系統(tǒng)的測(cè)量值：

Z(k)=HX(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)于多模型系統(tǒng)，它們?yōu)榫仃嚒(k)是k時(shí)刻的測(cè)量值，H是測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)于多測(cè)量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過(guò)程和測(cè)量的噪聲。它們被假設(shè)成高斯白噪聲(WhiteGaussianNoise)，它們的方差分別是Q，R（這里我們假設(shè)它們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化）。下面我們基于系統(tǒng)模型結(jié)合它們的協(xié)方差來(lái)估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出（類(lèi)似上面估計(jì)溫度的例子）。首先利用系統(tǒng)的過(guò)程模型，來(lái)預(yù)測(cè)下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k，根據(jù)系統(tǒng)的模型，由上一狀態(tài)而預(yù)測(cè)出現(xiàn)在的狀態(tài)：

X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)………..(1)上式中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預(yù)測(cè)的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒(méi)有控制量，它可以為0。到現(xiàn)在為止，系統(tǒng)的結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對(duì)應(yīng)于X(k|k-1)的方差還沒(méi)更新。我們用P表示方差：

P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q………(2)

上式中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對(duì)應(yīng)的方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對(duì)應(yīng)的方差，A’表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過(guò)程的方差。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個(gè)公式當(dāng)中的前兩個(gè)，也就是對(duì)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)。由式（1），（2）已經(jīng)得到現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測(cè)結(jié)果，然后我們?cè)偈占F(xiàn)在狀態(tài)的測(cè)量值。結(jié)合預(yù)測(cè)值和測(cè)量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)k的最優(yōu)化估算值X(k|k)：

X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))………(3)

其中Kg為卡爾曼增益(KalmanGain)：

Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)………(4)到現(xiàn)在為止，由式（3），（4）已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)。但是為了要使卡爾曼濾波器不斷的運(yùn)行下去直到系統(tǒng)過(guò)程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的方差：

P(k|k)=（I-Kg(k)H）P(k|k-1)………(5)

其中I為1的矩陣（單位矩陣），對(duì)于單模型測(cè)量，I=1。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入k+1狀態(tài)時(shí)，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自回歸的運(yùn)算下去。以上式（1）~（5）即為卡爾曼濾波器的5個(gè)基本公式，即基本算法原理。圖卡爾曼濾波的兩個(gè)計(jì)算回路和兩個(gè)更新過(guò)程為了更好地在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)，我們由如下框圖的形式表示出卡爾曼濾波器的基本算法。以前面預(yù)測(cè)房間溫度為例，把房間看成一個(gè)系統(tǒng)，然后對(duì)這個(gè)系統(tǒng)建模。我們所知道的這個(gè)房間的溫度是跟前一時(shí)刻的溫度相同的，所以A=1。沒(méi)有控制量，所以U(k)=0。因此得出：應(yīng)用舉例：P(k|k-1)=P(k-1|k-1)+Q………(7)X(k|k-1)=X(k-1|k-1)………..(6)式子（2）可以改成：因?yàn)闇y(cè)量的值是溫度計(jì)的，跟溫度直接對(duì)應(yīng)，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1)………(10)X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-X(k|k-1))………(8)Kg(k)=P(k|k-1)/(P(k|k-1)+R)………(9)現(xiàn)在我們模擬一組測(cè)量值作為輸入。假設(shè)房間的真實(shí)溫度為25度，模擬20個(gè)測(cè)量值，這些測(cè)量值的平均值為25度，但是加入了標(biāo)準(zhǔn)偏差為幾度的高斯白噪聲。設(shè)：卡爾曼兩個(gè)零時(shí)刻的初始值，X(0|0)=1和P(0|0)=10。結(jié)果如下圖所示?；镜目柭鼮V波算法只能應(yīng)用于線性系統(tǒng)，對(duì)于在工程領(lǐng)域中占大多數(shù)的非線性系統(tǒng)，則需要引入擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）。4、擴(kuò)展卡爾曼濾波器為了實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波，必須作如下基本假設(shè)：非線性微分方程的理論解一定存在，理論解與實(shí)際解之間的差能夠用一個(gè)線性微分方程表示，此時(shí)理論解能夠充分地對(duì)系統(tǒng)的實(shí)際特性給予描述。以上假設(shè)在一般的工程實(shí)踐中是能夠基本滿足的，即滿足局部線性假設(shè)條件。

（a）和分別表示狀態(tài)變換和測(cè)量輸出的線性或非線性變考慮如下形式的一般非線性系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為：換函數(shù)，其他各個(gè)變量定義同基本卡爾曼濾波線性時(shí)變系統(tǒng)中定義相同。（i）（ii）

（iii）

（iv）首先需要進(jìn)行線性化的Jacobian變換矩陣：設(shè)定系統(tǒng)初值為：,則擴(kuò)展卡爾曼濾波方程為：

5、故障檢測(cè)策略系統(tǒng)殘差序列：當(dāng)系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)，殘差近似為高斯白噪聲序列，其均值近似為零，協(xié)方差陣為：協(xié)方差陣V（k）是時(shí)變的，隨k的變化具有不同的統(tǒng)計(jì)特性。為此，可定義另一隨機(jī)變量：則近似為一零均值高斯白噪聲隨機(jī)向量。由于計(jì)算上的不便，為此可再定義一隨機(jī)變量：由上式（即：），可得如下殘差加權(quán)平方和檢測(cè)方法：令：其中：N為數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度。當(dāng)系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)，d(k)的數(shù)值較小。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生突變性故障時(shí)，將不再滿足白噪聲特性，由此得出如下檢測(cè)律：其中：為一閾值。仿真例子：某一實(shí)際非線性輪船驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可由下列方程描述：其中：x為輪船的速率，a,b分別代表輪船所受阻力和發(fā)動(dòng)機(jī)的效率。其標(biāo)稱(chēng)值分別為：基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法及殘差加權(quán)平方和檢測(cè)策略，進(jìn)行故障診斷。圖1給出了正常運(yùn)行的系統(tǒng)的響應(yīng)曲線；圖2給出了當(dāng)k=301（即t=30.1秒），參數(shù)a突變成2a（-0.58*2），參數(shù)b不變時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。（閾值=0.2）圖1正常運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線圖2故障狀態(tài)下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線二、殘差產(chǎn)生的方法殘差經(jīng)常被用作為反映系統(tǒng)故障的信息，殘差是指由被觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的函數(shù)與這些函數(shù)的期望值之差。無(wú)故障也無(wú)噪聲時(shí)，殘差一般為零；故障發(fā)生后，殘差則以確定性偏移量的形式出現(xiàn)。下面介紹幾種殘差產(chǎn)生的方法。

冗余方程的建立及殘差產(chǎn)生的簡(jiǎn)單方法首先通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明冗余方程產(chǎn)生殘差的構(gòu)思?？紤]一個(gè)三階離散系統(tǒng)的理想模型在這個(gè)三階離散系統(tǒng)的理想模型中，僅有一個(gè)狀態(tài)變量是可觀測(cè)的，輸入u(k)已知，消去x1，x2，x3，可得冗余方程。（1）（2）（3）（4）冗余方程：（5）一種方法是：直接將其本身視為殘差，即這種殘差，是一種移動(dòng)平均方程，它是以傳感器最近的輸出為基礎(chǔ)的。如果傳感器發(fā)生故障，殘差r(k)只與r(k-1)、r(k-2)、r(k-3)有關(guān)，而與r(k-3)以前的值無(wú)關(guān)。根據(jù)所得的冗余方程建立殘差，第二種產(chǎn)生殘差的方法是：循環(huán)求解方程式（5）（即冗余方程），每次的計(jì)算結(jié)果與傳感器的實(shí)際輸出比較，即計(jì)算殘差為

冗余方程建立的一般方法考慮離散的、非時(shí)變的線性系統(tǒng)式中，A、B、C是適當(dāng)維數(shù)的矩陣。設(shè)z是前向移動(dòng)算子，即zf(k)=f(k+1)，則消去狀態(tài)變量x，得冗余方程：（6）（7）上述所得的冗余方程也可表示為式中，矩陣G(z)和H(z)與狀態(tài)模型的關(guān)系是（8）則由式（8），得一致方程（9）→→(冗余方程)adjA:矩陣A的伴隨矩陣（A*）detA:矩陣A的行列式（|A|）由于故障和噪聲的緣故，e(k)將偏離零值，若忽略噪聲的影響，殘差即可直接被用來(lái)分析故障。如果，u(k)和y(k)已知，由式（9）可計(jì)算出一致矢量e(k)。矩陣(H(z)-G(z))的列與系統(tǒng)故障有關(guān)，列的變化可以反映出故障的方向，故障的可檢測(cè)性和可隔離性與矩陣(H(z)-G(z))的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。用矢量e(k)的范數(shù)與規(guī)定的閾值進(jìn)行比較，可以實(shí)現(xiàn)故障檢測(cè)的目的，通過(guò)比較矢量e(k)的方向和故障方向，可以實(shí)現(xiàn)故障定位。即：一致方程

基于觀測(cè)器法的殘差產(chǎn)生考慮離散系統(tǒng)式中，用龍貝格（Luenberger）觀測(cè)器進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，有下列形式：（10a）（10b）定義狀態(tài)估計(jì)誤差可得殘差方程：將其代入式（10），

基于參數(shù)辨識(shí)法的殘差產(chǎn)生參數(shù)辨識(shí)的基本思想是通過(guò)比較正常參數(shù)與故障參數(shù)來(lái)檢測(cè)故障是否發(fā)生。其參數(shù)辨識(shí)殘差可由下式表示：式中，表示系統(tǒng)正常時(shí)的參數(shù)；代表實(shí)際估計(jì)參數(shù)。對(duì)于系統(tǒng)：定義輸出參數(shù)估計(jì)誤差輸出估計(jì)誤差的范數(shù)，常用于檢測(cè)系統(tǒng)的故障。閾值選取的原則，在理想情況下，應(yīng)該是把所有正常工作的值包含在閾值以?xún)?nèi)，一旦冗余信號(hào)之間的差別超過(guò)給定閾值，則必然是處于非正常工作狀態(tài)。但由于現(xiàn)實(shí)中信號(hào)固有的隨機(jī)性，使得無(wú)法達(dá)到理想情況，而只能盡量達(dá)到上述準(zhǔn)則的要求。三、故障決策的閾值選取原則系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中，由于各種隨機(jī)因素的存在，如噪聲和擾動(dòng)等等，引起故障檢測(cè)器的誤檢：漏報(bào)警和虛報(bào)警。一個(gè)好的故障監(jiān)督系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)使這兩種誤檢都盡可能的小，因此，在選取故障決策的閾值時(shí)，需要折衷考慮。下面介紹確定故障決策閾值的幾種方法。

根據(jù)元部件的允差選取閾值

方法一：最大不一致原理最大不一致原理的基本思想是：將每一通道中各單元的允差綜合起來(lái)考慮，確定出最壞情況下允許的偏差，按此確定故障檢測(cè)器的閾值。具體步驟：設(shè)有兩冗余通道，其中每一單元均有一允差Ei（i＝1，2，…，n），每一單元的增益為Ri（i＝1，2，…，n），通道的邏輯連接方式如下圖所示，則最大偏差量近似為：圖兩冗余通道的邏輯連接方式例：假設(shè)某系統(tǒng)，有兩條通道，且每條通道有四個(gè)單元，每個(gè)單元的最大允差分別為最大量程：1%、4%、2%、3%，根據(jù)最大不一致原理，則有Emax＝20%，因此，可取閾值為m>20%。采用最大不一致原理求出的閾值，往往是極端情況，所以這一方法求出的閾值一般都偏大，只能作為及其粗略的估計(jì)。

方法二：閾值的方均根求法閾值的方均根求法的基本思想是：從最大不一致原理出發(fā)，考察通道之間的不一致性，與此同時(shí)考慮硬件允差的隨機(jī)性。假設(shè)偏差及單元的邏輯圖與方法一中的情況類(lèi)似，即有兩冗余通道且為并聯(lián)關(guān)系，進(jìn)一步假設(shè)硬件允差隨信號(hào)的變化服從正態(tài)分布，則確定閾值最為恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ乔笤什畹姆骄豪杭僭O(shè)某系統(tǒng)的每條通道有四個(gè)單元，每個(gè)單元的最大允差分別為最大量程：1%、4%、2%、3%，根據(jù)閾值的方均根求法，則有Er＝7.75%，因此，可取閾值為m>7.75%。

利用統(tǒng)計(jì)原理選取閾值

序貫概率比方法為了檢測(cè)傳感器的故障，計(jì)算傳感器的殘差序列R（k），作出如下假設(shè)：H0：序列R（k）是零均值白噪聲，即系統(tǒng)中傳感器正常；H1：序列R（k）的幅值不為零，即系統(tǒng)中傳感器已發(fā)生故障。計(jì)算：其概率比：根據(jù)Pe1、Pe2確定閾值如下：（1）如果≥（1－Pe1）/Pe2，則認(rèn)為k時(shí)刻以前系統(tǒng)已發(fā)生故障，拒絕假設(shè)H0；（2）如果≤Pe1/（1－Pe2），則認(rèn)為k時(shí)刻以前系統(tǒng)正常，即接受假設(shè)H0；（3）如果Pe1/（1－Pe2）<<（1－Pe1）/Pe2，則繼續(xù)檢驗(yàn)。

代價(jià)函數(shù)法在選取故障決策閾值時(shí)，主要考慮兩個(gè)因素，即虛警率PFA和漏檢率PM，這兩者都是閾值的函數(shù)，當(dāng)閾值增大時(shí)，PFA減小，PM增大；當(dāng)減小時(shí)，PF