第11章應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論

第十一章應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)

：

過一點(diǎn)各方向截面上應(yīng)力的集合。應(yīng)力狀態(tài)分析：

分析一點(diǎn)處的應(yīng)力隨截面方位改變而變化的規(guī)律。應(yīng)力狀態(tài)分析的目的：

為多應(yīng)力強(qiáng)度分析打基礎(chǔ)；了解強(qiáng)度破壞的力學(xué)因素?！?1-1概述1.應(yīng)力狀態(tài)的概念通過桿內(nèi)任意一點(diǎn)所作各個截面上的應(yīng)力隨著截面的方位而改變。例如軸向拉壓時(shí)桿件斜截面上的應(yīng)力受扭桿件

y

a

bcdenx(a)detnxc(b)受扭桿件通過桿內(nèi)任意一點(diǎn)所作各個截面上的應(yīng)力也隨著截面的方位而改變，有必要進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析。

+－maxmax

max梁在橫力彎曲時(shí)，在梁的橫截面上，除去離中性軸最遠(yuǎn)的和中性軸上的點(diǎn)以外，各點(diǎn)處既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。當(dāng)需要按照這些點(diǎn)處的應(yīng)力對梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須考慮兩種應(yīng)力的綜合影響，就需要全面研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。鑄鐵軸向拉伸：沿橫截面拉斷破壞，斷口平齊。鑄鐵軸向壓縮：沿斜截面剪斷破壞。低碳鋼軸向拉伸：沿45o斜截面滑移而產(chǎn)生屈服流動。斷口有頸縮現(xiàn)象?；仡櫸覀冏鲞^的材料實(shí)驗(yàn)低碳鋼扭轉(zhuǎn)：沿橫截面剪斷破壞。鑄鐵扭轉(zhuǎn)：沿斜截面拉斷破壞。TT斷裂線σmin鑄鐵的所謂扭轉(zhuǎn)破壞，實(shí)質(zhì)上是沿45o方向拉伸引起的斷裂。因此根據(jù)對應(yīng)力狀態(tài)的分析，可以了解桿件中材料破壞的力學(xué)因素，以建立強(qiáng)度條件。2.應(yīng)力狀態(tài)分析的方法取研究對象截開并考察平衡討論結(jié)果單元體：圍繞一點(diǎn)取出的邊長為無限小的正立方體。應(yīng)力特點(diǎn)：單元體各表面上的應(yīng)力視為均勻分布。平行面上的應(yīng)力相等。相鄰垂直面上的切應(yīng)力根據(jù)切應(yīng)力互等定理確定。一般選擇單元體的面平行于構(gòu)件的橫截面或表面，這樣可以用現(xiàn)有公式求出單元體上的應(yīng)力。TTFF

QM§11-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)

平面應(yīng)力狀態(tài)：單元體各平面上的應(yīng)力，都平行于單元體的某一對平面，而在這一對平面上卻沒有應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)，又稱為兩向應(yīng)力狀態(tài)。1.求斜截面上的應(yīng)力求此單元體上任意平行于z軸的斜截面上的應(yīng)力。設(shè)單元體z方向厚度為1。取垂直于斜截面的n軸和平行于斜截面的t軸為參考坐標(biāo)軸。設(shè)斜面面積為dA，則有因?yàn)椋陨蟽墒娇梢院喕癁椋?/p>

正應(yīng)力：拉“+”，壓“-”。切應(yīng)力：順時(shí)針“+”，逆時(shí)針“-”。夾角：外法線逆時(shí)針轉(zhuǎn)為“+”，順時(shí)針轉(zhuǎn)“-”。

公式（6－1）與（6－2）稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式，可由求得任意截面上的和。2.應(yīng)力圓將式改寫成將上面兩式兩邊分別平方再相加得應(yīng)力圓圓心：半徑：標(biāo)準(zhǔn)圓方程：A1A2O應(yīng)力圓方程：對比得

對于一個單元體，已知且則按以下步驟求應(yīng)力圓：（1）在坐標(biāo)系內(nèi)，按選定比例尺，量取得，點(diǎn)。（2）連接和兩點(diǎn)，其連線與軸交于C點(diǎn)。以C點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓就是所求應(yīng)力圓。A1A2O

單元體某一面上的應(yīng)力，必對應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)。單元體上任意A，B兩截面的外法線之間的夾角為，則在應(yīng)力圓上代表該兩個面上應(yīng)力的兩點(diǎn)之間圓弧段所對應(yīng)的圓心角必為。因此，只要由單元體的X平面和Y平面上已知應(yīng)力作出應(yīng)力圓，就可以很容易地從應(yīng)力圓確定任一截面上的應(yīng)力。A1A2O3.主應(yīng)力與主平面觀察應(yīng)力圓，可見軸與應(yīng)力圓交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)正應(yīng)力為最大、最小值，而切應(yīng)力為零。

主平面：切應(yīng)力等于零的平面。

主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。A1A2Os在通過某點(diǎn)的各個平面上，最大，最小正應(yīng)力所在平面是主平面。最大最小正應(yīng)力為主應(yīng)力。由于，表明兩個主平面是相互垂直的，兩個主應(yīng)力也是相互垂直的。此外，單元體上沒有應(yīng)力作用的平面也是主平面，它與另外兩個主平面也互相垂直。三個主平面上的主應(yīng)力通常用表示，并按代數(shù)值大小排列，即A1A2OsA1A2Os還可以注意最大最小切應(yīng)力所在的平面相互垂直并與主平面成45角。從圖可見xyx1212A1A2Os還可以看到例：兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖a和b所示，梁的尺寸見圖c。試通過應(yīng)力圓求截面C上a點(diǎn)處的主應(yīng)力。解：首先作出梁的剪力和彎矩圖如圖d和e所示：

(a)

B5m10mA250kNC(b)fza(c)

12015270159(d)FS圖M圖(e)

M(kN·m)80x200kN50kNFSx由此可得C截面處的彎矩和截面左側(cè)的剪力為：

又因?yàn)闄M截面的慣性矩和計(jì)算a點(diǎn)切應(yīng)力所需的靜矩為：且：由此可得C截面上a點(diǎn)處正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：

該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖f所示，選定適當(dāng)?shù)谋壤纯衫L出相應(yīng)的應(yīng)力圓，如圖g所示。ty(f)tyytxsxxtxsxsx=122.7MPatx=64.6MPaty=-64.6MPas/MPat/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)s3smax2a0(g)由應(yīng)力圓可得a點(diǎn)處的主應(yīng)力為：且：則1主平面的方位角0為：顯然，3主平面應(yīng)垂直與1主平面，如下圖所示。s3s1tytyytxsxxtxsx如圖所示的三個單元體是否處于平面應(yīng)力狀態(tài)？(a)(b)(c)思考題6-1參考答案：單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)(a)(b)(c)思考題6-2

根據(jù)圖示應(yīng)力圓是否可知，對于圖示的單元體，（1）垂直于xy平面的截面上之最大切應(yīng)力其值為

，作用在自

作用截面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o的面上；（2）該截面上還有正應(yīng)力，其值為。A1A2Osxyx12求圖示應(yīng)力狀態(tài)下單元體的與紙面垂直的任意截面上的應(yīng)力。思考題10-3平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓123123=0132=0231=0平面應(yīng)力狀態(tài)3=-1=2=0單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)1=2=03=-純剪應(yīng)力狀態(tài)2=3=01=s單向壓縮應(yīng)力狀態(tài)(1)一點(diǎn)處應(yīng)力隨截面方位的改變而變化：

4.小結(jié)：(2)切應(yīng)力極值：A1A2Os(3)正應(yīng)力極值：(4)主平面·主應(yīng)力·主方向：A1A2Os例題：求純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主方向。1=2=03=-問題：在基本變形中，桿件內(nèi)哪些點(diǎn)為上述應(yīng)力狀態(tài)？依上述結(jié)果可以確定三個主應(yīng)力的順序嗎？常見的二向應(yīng)力狀態(tài)§11-3三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓123=0132=0231=0平面應(yīng)力狀態(tài)如果一單元體中，主應(yīng)力均不為0，則單元體處于空間應(yīng)力狀態(tài)，即三向應(yīng)力狀態(tài)。平面應(yīng)力圓表達(dá)了與主應(yīng)力為零的面相垂直的截面上應(yīng)力的情況。事實(shí)上即使那個面上的主應(yīng)力不為零，而按平面應(yīng)力狀態(tài)繪出的應(yīng)力圓，仍然表示平行于該主應(yīng)力的截面上應(yīng)力的情況。

132132132132

O可以證明，代表不平行于任一主應(yīng)力的任意斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必定落在三個以主應(yīng)力作出的應(yīng)力圓之間。13213三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力O§11-4平面應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律各向同性材料在平面應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)變形微小時(shí)，正應(yīng)變只與該點(diǎn)處的正應(yīng)力相關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)。在線彈性且變形微小時(shí)，可將任意的平面應(yīng)力狀態(tài)看作兩個單向應(yīng)力狀態(tài)和一個純剪切應(yīng)力狀態(tài)的疊加。000從而即得平面應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律：xxy例已知|ea|+|eb|=40010，E=200GPa,=0.25，D=120mm,d=80mm，求T。TT13545aabb解：==純剪應(yīng)力狀態(tài)===TT13545aabb==TT13545aabb§11-5強(qiáng)度理論及其應(yīng)用1321<[]1強(qiáng)度極限可以通過試驗(yàn)來測定。應(yīng)力組合無限多種，強(qiáng)度極限無法通過試驗(yàn)來測定。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)簡單應(yīng)力狀態(tài)

人們根據(jù)材料破壞的現(xiàn)象，形成了如下共識：⑴材料受外力作用發(fā)生破壞時(shí)，不論破壞的表象如何復(fù)雜，其破壞形式只有幾種類型。⑵同一種類型的破壞是由某一個共同的力學(xué)因素引起的。⑶當(dāng)某一共同力學(xué)因素達(dá)到材料的極限值，該材料就會發(fā)生某型破壞。⑷可以通過簡單拉伸試驗(yàn)來確定這個因素的極限值，從而建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。(1)脆性破壞：沒有明顯的塑性變形，這時(shí)的斷裂面是最大拉應(yīng)力所在面。例如鑄鐵在室溫、靜載下受單向拉伸或扭轉(zhuǎn)。1.材料的兩種基本破壞形式：強(qiáng)度理論——認(rèn)為材料某一類型的破壞是由某種力學(xué)因素引起的假說。(2)塑性屈服：有明顯的塑性變形，這時(shí)材料是沿最大剪應(yīng)力所在面發(fā)生相對錯動而破壞的。例如低碳鋼在室溫、靜載下受單向拉（壓）及鑄鐵受壓縮。2.四個基本的強(qiáng)度理論(1)關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論(a)最大拉應(yīng)力理論破壞條件：1=jx強(qiáng)度條件：1［］適用范圍:(Ⅰ)脆性材料在單向拉伸和純剪應(yīng)力狀態(tài)下發(fā)生的破壞

(Ⅱ)鑄鐵在雙向受拉和一拉一壓的平面應(yīng)力狀態(tài)下TT斷裂線σmin適用范圍：（Ⅰ）石料等脆性材料在單向壓縮狀態(tài)下發(fā)生的破壞。（Ⅱ）鑄鐵一拉一壓的平面應(yīng)力狀態(tài)下偏于安全。(b)最大伸長線應(yīng)變理論破壞條件：1=jx

，強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：1-3［］適用范圍：塑性破壞，拉壓屈服極限相同的塑性材料。（2）關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論（c）最大切應(yīng)力理論破壞條件：max=jx

，強(qiáng)度條件：適用范圍：塑性破壞，拉壓屈服極限相同的塑性材料。（d）形狀改變比能理論破壞條件：ud

=udjx即3.強(qiáng)度理論的應(yīng)用（1）按第三強(qiáng)度理論：（2）按第四強(qiáng)度理論：對圖示平面應(yīng)力狀態(tài)，試證明。由第三強(qiáng)度理論，有：例：利用第三或第四強(qiáng)度理論求純剪應(yīng)力狀態(tài)下屈服應(yīng)力s和拉壓屈服應(yīng)力s之間的關(guān)系。t

當(dāng)=s時(shí)材料發(fā)生屈服，因此有：解：圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力為：而當(dāng)材料拉壓屈服時(shí)有：由此可得：利用第四強(qiáng)度理論，有：即，

純剪：單拉：由此可得：60例試全面校核圖a、b、c所示焊接工字梁的強(qiáng)度，梁的自重不計(jì)。已知：梁的橫截面對于中性軸的慣性矩為Iz=88×106mm4；半個橫截面對于中性軸的靜矩為S*z,max