統(tǒng)計(jì)學(xué)第五章

第五章綜合指標(biāo)分析法第五章綜合指標(biāo)分析法§5.1綜合指標(biāo)概述§5.2總量指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用§5.3相對指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用§5.4平均指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用§5.5變異指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用即統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，是說明社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體數(shù)量方面的概念和數(shù)值，是對具體社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象數(shù)量的綜合反映。綜合指標(biāo)表現(xiàn)形式：絕對數(shù)、相對數(shù)和平均數(shù)第一節(jié)綜合指標(biāo)概述一、綜合指標(biāo)的概念反映現(xiàn)象總體規(guī)模或水平的綜合指標(biāo)，即數(shù)量指標(biāo)，也稱為絕對數(shù)。總量指標(biāo)二、綜合指標(biāo)的種類指應(yīng)用對比的方法來反映相關(guān)事物之間數(shù)量聯(lián)系程度的指標(biāo)，也稱為相對數(shù)。相對指標(biāo)反映現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的一般水平，又稱統(tǒng)計(jì)平均數(shù)。平均指標(biāo)說明總體各單位標(biāo)志值變異程度大小，又稱離散指標(biāo)，或離中趨勢指標(biāo)。變異指標(biāo)是認(rèn)識社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的起點(diǎn)；是進(jìn)行宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控和企業(yè)經(jīng)營管理的主要依據(jù)；是計(jì)算其他統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的基礎(chǔ)。第二節(jié)總量指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用一、總量指標(biāo)的作用總體標(biāo)志總量總體單位總量按反映的總體內(nèi)容不同分為：二、總量指標(biāo)的種類按反映的時(shí)間狀況不同分為：時(shí)期指標(biāo)時(shí)點(diǎn)指標(biāo)按計(jì)量單位不同分為：實(shí)物指標(biāo)勞動量指標(biāo)價(jià)值指標(biāo)總體標(biāo)志總量總體單位總量一個(gè)總體中只有一個(gè)單位總量，但可以有多個(gè)標(biāo)志總量，它們由總體單位的數(shù)量標(biāo)志值匯總而來?？傮w各單位某一數(shù)量標(biāo)志的標(biāo)志值總和總體所包含的總體單位的數(shù)量時(shí)期指標(biāo)時(shí)點(diǎn)指標(biāo)表明現(xiàn)象總體在一段時(shí)期內(nèi)發(fā)展過程的總量，如：在某一段時(shí)期內(nèi)的出生人數(shù)、死亡人數(shù)表明現(xiàn)象總體在某一時(shí)刻（瞬間）的數(shù)量狀況，如：在某一時(shí)點(diǎn)的總?cè)丝跀?shù)具有可加性、數(shù)值大小與時(shí)期長短有直接關(guān)系、需要連續(xù)登記匯總不具有可加性、數(shù)值大小與時(shí)點(diǎn)間隔長短一般沒有直接關(guān)系、由一次性登記調(diào)查得到實(shí)物單位自然單位度量衡單位標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物單位價(jià)值單位勞動單位計(jì)量單位如：臺、件如：米、平方米如：噸標(biāo)準(zhǔn)煤如：工日、工時(shí)如：元、美元復(fù)合計(jì)量單位如：噸公里、千瓦時(shí)總量指標(biāo)一般通過全面調(diào)查登記取得數(shù)據(jù)，再逐步計(jì)算匯總得出，少數(shù)采用估計(jì)推算的方法。統(tǒng)計(jì)方法：三、總量指標(biāo)的計(jì)算和運(yùn)用正確規(guī)定總量指標(biāo)所表示的各種社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的概念、構(gòu)成內(nèi)容和計(jì)算范圍，確定計(jì)算方法?；驹瓌t：符號及運(yùn)算規(guī)則

總和表示形式：求和規(guī)則：第三節(jié)相對指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用一、相對指標(biāo)的作用和表現(xiàn)形式可以反映總體的結(jié)構(gòu)、比例、速度和密度等內(nèi)部特征，對總體進(jìn)行更深入的分析和研究

；將現(xiàn)象規(guī)模的差異抽象化，使原來不能直接用總量指標(biāo)對比的現(xiàn)象找到直接對比的基礎(chǔ)。相對指標(biāo)的作用：甲企業(yè)乙企業(yè)利潤總額資金占用資金利潤率500萬元5000萬元3000萬元40000萬元16.7%12.5%比較兩廠經(jīng)濟(jì)效益不可比不可比可比無名數(shù)有名數(shù)用倍數(shù)、系數(shù)、成數(shù)、﹪、‰等表示用雙重計(jì)量單位表示的復(fù)名數(shù)相對指標(biāo)的表現(xiàn)形式倍數(shù)與成數(shù)一般用整數(shù)的形式來表述5倍、3成、近7成8.6成分母為1分母為1.00分母為10分母為100分母為1000二、相對指標(biāo)的種類和計(jì)算方法結(jié)構(gòu)相對數(shù)比例相對數(shù)比較相對數(shù)計(jì)劃完成程度相對數(shù)強(qiáng)度相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)例：我國某年國民收入使用額為19715億元，其中消費(fèi)額為12945億元，積累額為6770億元。則說明⒈為無名數(shù)；⒉同一總體各組的結(jié)構(gòu)相對數(shù)之和為1；⒊用來分析現(xiàn)象總體的內(nèi)部構(gòu)成狀況。例：我國某年國民收入使用額為19715億元，其中消費(fèi)額為12945億元，積累額為6770億元。則⒈為無名數(shù)，可用百分?jǐn)?shù)或一比幾或幾比幾表示；⒉用來反映組與組之間的聯(lián)系程度或比例關(guān)系。說明例：某年某地區(qū)甲、乙兩個(gè)公司商品銷售額分別為5.4億元和3.6億元。則⒈為無名數(shù)，一般用倍數(shù)、系數(shù)表示；⒉用來說明現(xiàn)象發(fā)展的不均衡程度。說明

是同類指標(biāo)數(shù)值在不同時(shí)間上的對比，也稱發(fā)展速度。動態(tài)相對數(shù)⒈為無名數(shù)，一般用百分?jǐn)?shù)表示；⒉用來反映現(xiàn)象的數(shù)量在時(shí)間上的變動程度。說明例：某年某地區(qū)年平均人口數(shù)為100萬人，在該年度內(nèi)出生的人口數(shù)為8600人。則該地區(qū)一般用﹪、‰表示。其特點(diǎn)是分子來源于分母，但分母并不是分子的總體。無名數(shù)的強(qiáng)度相對數(shù)例：某地區(qū)現(xiàn)有總?cè)丝跒?00萬人，醫(yī)院床位總數(shù)為24700張。則該地區(qū)（正指標(biāo)）（逆指標(biāo)）為用雙重計(jì)量單位表示的復(fù)名數(shù)，反映的是一種依存性的比例關(guān)系或協(xié)調(diào)關(guān)系，可用來反映經(jīng)濟(jì)效益、經(jīng)濟(jì)實(shí)力、現(xiàn)象的密集程度等。有名數(shù)的強(qiáng)度相對數(shù)⒈短期計(jì)劃完成情況的檢查⑴計(jì)劃數(shù)與實(shí)際數(shù)同期時(shí)，直接應(yīng)用公式:A.計(jì)劃任務(wù)數(shù)表現(xiàn)為絕對數(shù)時(shí)例：某企業(yè)2005年計(jì)劃產(chǎn)量為10萬件，而實(shí)際至第三季度末已生產(chǎn)了8萬件，全年實(shí)際共生產(chǎn)11萬件。則⑵考察計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度情況:⒉長期計(jì)劃完成情況的檢查⑴累計(jì)法計(jì)劃指標(biāo)按計(jì)劃期內(nèi)各年的總和規(guī)定任務(wù)例：某市計(jì)劃“十五”期間要完成社會固定資產(chǎn)投資總額60億元，計(jì)劃任務(wù)的實(shí)際完成情況為：年份20012002200320042005合計(jì)投資額（億元）11.411.912.512.813.161.7其中，2005年各月份實(shí)際完成情況為（單位：億元）：月份123456789101112投資額1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.8要求計(jì)算：⒈該市“十五”期間固定資產(chǎn)投資計(jì)劃的完成程度;⒉提前完成計(jì)劃的時(shí)間。已累計(jì)完成固定資產(chǎn)投資額60億元解：提前完成計(jì)劃時(shí)間：因?yàn)榈?005年10月底已完成固定資產(chǎn)累計(jì)投資額60億元（61.7–0.8–0.9=60），即已完成計(jì)劃任務(wù)，提前完成計(jì)劃兩個(gè)月。例：某市計(jì)劃“十五”期間要完成社會固定資產(chǎn)投資總額60億元，計(jì)劃任務(wù)的實(shí)際完成情況為：年份20012002200320042005合計(jì)投資額（億元）11.411.912.512.813.161.7其中，2005年各月份實(shí)際完成情況為（單位：億元）：月份123456789101112投資額1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.81.10.8如何確定提前完成計(jì)劃的時(shí)間?思考月份123456789101112投資額1.11.11.21.11.11.11.21.21.31.10.80.8【分析】已累計(jì)完成固定資產(chǎn)投資額60.1億元已累計(jì)完成固定資產(chǎn)投資額59億元可以判斷出，計(jì)劃任務(wù)應(yīng)是在2005年10月份的某一天完成的假定10月份每天都完成相等的投資額59億元60.1億元601億元0.1億元在2005年10月為完成尚差的1.0億元投資額的計(jì)劃任務(wù)需要的天數(shù)：【方法一】在2005年10月為完成超額的0.1億元的投資額所用的天數(shù)：【方法二】即提前完成任務(wù)兩個(gè)月零兩天。即提前完成任務(wù)兩個(gè)月零兩天。⑵水平法計(jì)劃指標(biāo)以計(jì)劃末期應(yīng)達(dá)到的水平規(guī)定任務(wù)⒉長期計(jì)劃完成情況的檢查例：某自行車廠計(jì)劃“十五”末期達(dá)到年產(chǎn)自行車120萬輛的產(chǎn)量，實(shí)際完成情況為：年份20012002200320042005產(chǎn)量（萬輛）108114117119123其中，最后兩年各月份實(shí)際產(chǎn)量為（單位：萬輛）：要求計(jì)算：⒈該廠“十五”期間產(chǎn)量計(jì)劃的完成程度；⒉提前完成計(jì)劃的時(shí)間。月份1234567891011122004年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12005年10.110.110.210.210.210.210.210.310.310.410.410.4+0.5+0.5=120解：提前完成計(jì)劃時(shí)間：因?yàn)樽?004年3月起至2005年2月底連續(xù)12個(gè)月的時(shí)間內(nèi)該廠自行車的實(shí)際產(chǎn)量已達(dá)到120萬輛〔119+﹙10.1–9.6﹚+（10.1–9.6）=120〕，即已完成計(jì)劃任務(wù)，提前完成計(jì)劃10個(gè)月。例：某自行車廠計(jì)劃“十五”末期達(dá)到年產(chǎn)自行車120萬輛的產(chǎn)量，實(shí)際完成情況為：年份20012002200320042005產(chǎn)量（萬輛）108114117119123其中，最后兩年各月份實(shí)際產(chǎn)量為（單位：萬輛）：月份1234567891011122004年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12005年10.110.110.210.210.210.210.210.310.310.410.410.410.010.010.510.5如何確定提前完成計(jì)劃的時(shí)間?思考【分析】月份1234567891011122004年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12005年10.010.010.210.210.210.210.210.310.310.410.510.5+0.4+0.4=119.8月份1234567891011122004年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12005年10.010.010.210.210.210.210.210.310.310.410.510.5=120.2+0.4+0.4+0.4可以判斷出，計(jì)劃任務(wù)應(yīng)是在2005年3月份的某一天完成的（尚未完成計(jì)劃）（已超額完成計(jì)劃）2004年3月2005年3月9.8萬輛10.2萬輛全月輪換將共增加0.4萬輛每輪換一天將增加（）萬輛在2005年3月份為完成尚差的0.2萬輛的計(jì)劃任務(wù)還需要的天數(shù)：即提前完成任務(wù)九個(gè)月零15天。B.計(jì)劃任務(wù)數(shù)表現(xiàn)為相對數(shù)時(shí)例：己知某廠2005年的計(jì)劃規(guī)定產(chǎn)品產(chǎn)量要比上年實(shí)際提高5﹪而實(shí)際提高了7﹪。則百分點(diǎn)相當(dāng)于百分?jǐn)?shù)的計(jì)量單位，一個(gè)百分點(diǎn)就指1﹪。上例中，實(shí)際比計(jì)劃多提高的百分點(diǎn)為（7﹪-5﹪）×100=2（個(gè)百分點(diǎn)）實(shí)際工作中常用，但并不是相對數(shù)可比性原則；定性分析與定量分析相結(jié)合；相對指標(biāo)與總量指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用；各種相對指標(biāo)綜合運(yùn)用。三、正確運(yùn)用相對指標(biāo)的原則時(shí)間一致；口徑一致（總體范圍、計(jì)算價(jià)格、計(jì)量單位、經(jīng)濟(jì)內(nèi)容等）；計(jì)算方法一致?？杀刃栽瓌t注意指標(biāo)間的可比性2005年的工業(yè)總產(chǎn)值（當(dāng)年價(jià)格）1985年的工業(yè)總產(chǎn)值（當(dāng)年價(jià)格）2005年中國的國民收入（人民幣元）2005年美國的國民收入（美元）正確選擇對比基礎(chǔ)本單位歷史水平本行業(yè)（全國）平均（先進(jìn)）水平經(jīng)濟(jì)效益指數(shù)＝某經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)實(shí)際值該經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值價(jià)格定基指數(shù)＝某期價(jià)格水平某固定基期的價(jià)格水平經(jīng)濟(jì)發(fā)展、價(jià)格水平均較為正常的時(shí)期定性與定量分析相結(jié)合不識字人口數(shù)全部人口數(shù)15歲及15歲以上不識字人口數(shù)15歲及15歲以上全部人口數(shù)√文盲率相對指標(biāo)抽象掉了具體的數(shù)量差異:1:2=50%

10000:20000=50%1998年相對于1997年，美國的GDP增長速度為3.9％，同期中國GDP增長速度為7.8％，恰好為美國的2倍；但根據(jù)同期匯率（1美元兌換8.3元人民幣），1998年中國GDP總量約合9671億美元，約相當(dāng)于同期美國GDP總量84272億美元的1/9。相對指標(biāo)與總量指標(biāo)結(jié)合使用結(jié)構(gòu)相對數(shù)比例相對數(shù)比較相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)計(jì)劃完成相對數(shù)強(qiáng)度相對數(shù)（部分與總體關(guān)系）（部分與部分關(guān)系）（橫向?qū)Ρ汝P(guān)系）（縱向?qū)Ρ汝P(guān)系）（實(shí)際與計(jì)劃關(guān)系）（關(guān)聯(lián)指標(biāo)間關(guān)系）各種相對指標(biāo)綜合運(yùn)用人口性別比為1.03：11999年末我國共有總?cè)丝?2.6億人，其中男性人口為6.4億，女性人口為6.2億。男性人口的比重為50.8﹪人口密度是美國的4.5倍人口密度為130人/平方公里人口出生率為15.23‰女性人口的比重為49.2﹪比1980年末的9.9億人增加了28﹪社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。平均指標(biāo)代表性：反映具體條件下各單位標(biāo)志值的一般水平抽象性：將總體各單位標(biāo)志值的差異抽象化只用于對數(shù)量標(biāo)志求平均隨著條件的變化而變化第四節(jié)平均指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用一、平均指標(biāo)的特點(diǎn)與作用特點(diǎn)：平均指標(biāo)的作用反映總體各單位變量分布的集中趨勢和一般水平；比較同類現(xiàn)象在不同單位的發(fā)展水平；比較同類現(xiàn)象在不同時(shí)期的發(fā)展變化趨勢或規(guī)律；分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。 平均指標(biāo)按計(jì)算方法分類算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)二、平均指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用基本形式：例：直接承擔(dān)者※注意區(qū)分算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù)（一）算術(shù)平均數(shù)A.簡單算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況式中：為算術(shù)平均數(shù);為總體單位總數(shù)；為第個(gè)單位的標(biāo)志值。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法平均每人日銷售額為：算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元、440元，則【例】B.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：為算術(shù)平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法解：算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法若上述資料為組距數(shù)列，則應(yīng)取各組的組中值作為該組的代表值用于計(jì)算；此時(shí)求得的算術(shù)平均數(shù)只是其真值的近似值。說明分析：成績（分）人數(shù)（人）甲班乙班丙班603912010013920平均成績（分）619980起到權(quán)衡輕重的作用算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法決定平均數(shù)的變動范圍表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)、單位數(shù)；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法變量數(shù)列中各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)（頻率），反映了各組的標(biāo)志值對平均數(shù)的影響程度。權(quán)數(shù)絕對權(quán)數(shù)相對權(quán)數(shù)算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個(gè)數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和，即：或變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和恒等于零，即：或變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小，即：或證明：設(shè)x0為任意值，當(dāng)時(shí)，離差的概念12345678-1-1-213算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)上述性質(zhì)使算術(shù)平均數(shù)在計(jì)算和分析時(shí)具有簡捷、便利的特點(diǎn)?！纠?/p>

設(shè)X=（2，4，6，8），則其調(diào)和平均數(shù)可由定義計(jì)算如下：⒉再求算術(shù)平均數(shù)：⒈求各標(biāo)志值的倒數(shù)：，，，⒊再求倒數(shù)：是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)A.簡單調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理，且各組標(biāo)志總量相等的情況式中：為調(diào)和平均數(shù);為變量值的個(gè)數(shù)；為第個(gè)變量值。調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法B.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理，且各組標(biāo)志總量不相等的情況。式中：為第組的變量值；為第組的標(biāo)志總量。調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法日產(chǎn)量（件）各組工人日總產(chǎn)量（件）10111213147001100456019501400合計(jì)9710【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用即該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量為12.1375件。調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用解：——當(dāng)己知各組變量值和標(biāo)志總量時(shí)，作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。因?yàn)椋赫{(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用求解比值的平均數(shù)的方法由于比值（平均數(shù)或相對數(shù)）不能直接相加，求解比值的平均數(shù)時(shí)，需將其還原為構(gòu)成比值的分子、分母原值總計(jì)進(jìn)行對比。設(shè)比值

分子變量分母變量則有：求解比值的平均數(shù)的方法己知，采用基本平均數(shù)公式己知，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式己知，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式比值【例A】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。求解比值的平均數(shù)的方法【例A】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。求解比值的平均數(shù)的方法分析：應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下（按計(jì)劃完成程度分組）：組別企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）實(shí)際產(chǎn)值（萬元）12342310380025001720044006802375180605060合計(jì)182490026175計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。求解比值的平均數(shù)的方法【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下（按計(jì)劃完成程度分組）：組別企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）實(shí)際產(chǎn)值（萬元）12342310380025001720044006802375180605060合計(jì)182490026175計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。求解比值的平均數(shù)的方法分析：應(yīng)采用平均數(shù)的基本公式計(jì)算是N項(xiàng)變量值連乘積的開N次方根幾何平均數(shù)用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應(yīng)用：各個(gè)比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個(gè)比率或速度不為零或負(fù)值。應(yīng)用的前提條件：（三）幾何平均數(shù)A.簡單幾何平均數(shù)式中：為幾何平均數(shù);為變量值的個(gè)數(shù)；為第個(gè)變量值。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法【例】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。分析：設(shè)最初投產(chǎn)100A個(gè)單位，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95）×0.92；……第五道工序的合格品為（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應(yīng)為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計(jì)算。因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應(yīng)為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計(jì)算。解：思考若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個(gè)獨(dú)立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法因各車間彼此獨(dú)立作業(yè)，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.92；……第五車間的合格品為：100×0.80。則該企業(yè)全部合格品應(yīng)為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.80幾何平均數(shù)的計(jì)算方法分析：不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。又因?yàn)閼?yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即B.加權(quán)幾何平均數(shù)——適用于各變量值出現(xiàn)的次數(shù)不同的情況式中：為幾何平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法【例】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近12年來的年利率前4年為3﹪，下2年為5﹪，下2年為8﹪，下3年為10﹪，最后1年為15﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：分析：第2年的計(jì)息基礎(chǔ)第12年的計(jì)息基礎(chǔ)則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計(jì)算平均年本利率應(yīng)采用幾何平均法。解：幾何平均數(shù)的計(jì)算方法思考若上題中不是按復(fù)利而是按單利計(jì)息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應(yīng)得利息為：第2年末的應(yīng)得利息為：第12年末的應(yīng)得利息為：…………設(shè)本金為V，則各年末應(yīng)得利息為：則該筆本金12年應(yīng)得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。因?yàn)榧俣ū窘馂閂所以，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算平均年利息率，即：解：（比較：按復(fù)利計(jì)息時(shí)的平均年利率為6.85﹪）是否為比率或速度各個(gè)比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術(shù)平均法求解比值的平均數(shù)的方法數(shù)值平均數(shù)計(jì)算公式的選用順序指標(biāo)或調(diào)和平均法冪平均數(shù)k階冪平均數(shù)：當(dāng)k=1時(shí)，1階冪平均數(shù)為算術(shù)平均數(shù)。當(dāng)k=-1時(shí)，-1階冪平均數(shù)為調(diào)和平均數(shù)。當(dāng)時(shí)，為幾何平均數(shù)。冪平均數(shù)是關(guān)于k的遞增函數(shù)，因此調(diào)和平均數(shù)小于等于幾何平均數(shù)，小于等于算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系：指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示,它不受極端數(shù)值的影響，用來說明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平。眾數(shù)（四）眾數(shù)很直觀，且不受極端值影響既適用于變量數(shù)列，又適用于品質(zhì)數(shù)列優(yōu)點(diǎn)：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:眾數(shù)的確定（對品質(zhì)數(shù)列或單項(xiàng)數(shù)列）計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。眾數(shù)的確定（等距數(shù)列）【例B】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。概約眾數(shù)：眾數(shù)所在組的組中值，在本例為500件眾數(shù)的確定下限公式：上限公式：注意：不等距數(shù)列確定眾數(shù)時(shí)應(yīng)根據(jù)頻數(shù)密度或頻率密度，以消除組距不同的影響。眾數(shù)的原理及應(yīng)用83名女生身高原始數(shù)據(jù)83名女生身高組距數(shù)列當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時(shí)，適合使用眾數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個(gè)以上分布中心時(shí)，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。眾數(shù)的原理及應(yīng)用將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值，用表示中位數(shù)不受極端數(shù)值的影響，在總體標(biāo)志值差異很大時(shí)，具有較強(qiáng)的代表性。中位數(shù)的作用：（五）中位數(shù)中位數(shù)的位次為：即第3個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數(shù)的確定（未分組資料）中位數(shù)的位次為：中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個(gè)單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即【例B】若上述售貨小組為6個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則中位數(shù)的確定（未分組資料）【例C】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計(jì)800—計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的位次：中位數(shù)的確定（單項(xiàng)數(shù)列）中位數(shù)的確定（組距數(shù)列）【例D】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的確定（組距數(shù)列）共個(gè)單位共個(gè)單位共個(gè)單位共個(gè)單位LU中位數(shù)組組距為d共個(gè)單位假定該組內(nèi)的單位呈均勻分布共有單位數(shù)

中位數(shù)下限公式為

該段長度應(yīng)為

中位數(shù)的確定下限公式：上限公式：數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的比較概括能力靈敏度耐抗性適用的數(shù)據(jù)類型數(shù)值平均數(shù)強(qiáng)高弱窄位置平均數(shù)弱低強(qiáng)寬（六）算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系算術(shù)平均數(shù)：代表性強(qiáng)，便于計(jì)算和分析眾數(shù)、中位數(shù)：很直觀已知兩總體的單位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，將它們合成一個(gè)新總體后，可計(jì)算出新總體的算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)：眾數(shù)和中位數(shù)無此性質(zhì)對兩變量X和Y有：算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的數(shù)量關(guān)系右偏(正偏)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)受極大值的影響，有：左偏(負(fù)偏)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)受極小值的影響，有：對稱鐘型分布：非對稱鐘型分布：三者通常不等，其差別取決于偏斜的方向和程度。算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的數(shù)量關(guān)系皮爾生經(jīng)驗(yàn)規(guī)則：在適度偏斜的鐘型分布情形下，中位數(shù)一般介于眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間；且中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的距離，大約只是中位數(shù)與眾數(shù)之距離的一半。因此，該零件的直徑分布為右偏【例】某車間生產(chǎn)的一批零件尺寸呈輕微偏斜的鐘型分布，已知其中直徑大于402厘米的占一半，眾數(shù)為400厘米，試估計(jì)其平均數(shù)，并判定其偏斜方向。算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的數(shù)量關(guān)系已知Me=402，Mo=400總體的同質(zhì)性是計(jì)算和應(yīng)用平均數(shù)的前提條件和基礎(chǔ)；社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中應(yīng)用的算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，各有其特點(diǎn)和適用條件；要用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)；應(yīng)當(dāng)用變量數(shù)列和典型單位的資料補(bǔ)充說明平均數(shù)。

三、計(jì)算和應(yīng)用平均指標(biāo)的基本原則課程學(xué)生語文數(shù)學(xué)英語總成績平均成績甲乙丙606555656565706575195195195656565單位：分某班三名同學(xué)三門課程的成績?nèi)缦拢赫埍容^三名同學(xué)學(xué)習(xí)成績的差異。第五節(jié)變異指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用指總體中各單位標(biāo)志值背離分布中心的規(guī)?；虺潭龋脴?biāo)志變異指標(biāo)來反映。離中趨勢反映統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)差異程度的綜合指標(biāo)，也稱為標(biāo)志變動度變異指標(biāo)值越大，平均指標(biāo)的代表性越?。环粗?，平均指標(biāo)的代表性越大集中趨勢弱、離中趨勢強(qiáng)集中趨勢強(qiáng)、離中趨勢弱一、變異指標(biāo)的作用反映變量分布的離中趨勢或發(fā)散程度；衡量平均指標(biāo)代表性的大??；反映社會經(jīng)濟(jì)活動過程的均衡程度與穩(wěn)定程度；是進(jìn)行抽樣推斷等統(tǒng)計(jì)分析的基本指標(biāo)。 測定標(biāo)志變異度的絕對量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測定標(biāo)志變異度的相對量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）極差平均差標(biāo)準(zhǔn)差極差系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)的種類四分位差指所研究的數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差，又稱全距。極差最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則二、變異指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度計(jì)劃完成程度的全距。優(yōu)點(diǎn):直觀、計(jì)算方法簡單、運(yùn)用方便缺點(diǎn):受極端數(shù)值的影響，不能全面反映所有標(biāo)志值差異大小及分布狀況，準(zhǔn)確程度差往往應(yīng)用于生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制中極差的特點(diǎn)用數(shù)列中3/4位次與1/4位次的標(biāo)志值之差來表示，用Q.D.表示四分位差【例】班級共有35名學(xué)生，按成績從高到低排列，1/4位次即：（35+1）/4（第9個(gè)）和3/4位次即：3×（35+1）/4（第27個(gè)）學(xué)生的成績分別是85和66，所以該班級學(xué)生成績的四分位差為Q.D.=(85-66)=19(分)。⑴簡單平均差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，用A.D.表示平均差計(jì)算公式：總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第i個(gè)單位的變量值【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解：即該售貨小組5個(gè)人銷售額的平均差為93.6元。⑵加權(quán)平均差——適用于分組資料平均差的計(jì)算公式總體算術(shù)平均數(shù)第i組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第i組的變量值或組中值【例B】計(jì)算下表中某公司職工月工資的平均差。月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計(jì)—2000解：即該公司職工月工資的平均差為138.95元。優(yōu)點(diǎn):不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；缺點(diǎn):用絕對值的形式消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算。平均差的特點(diǎn)一般情況下都是通過計(jì)算另一種標(biāo)志變異指標(biāo)——標(biāo)準(zhǔn)差，來反映總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值的差異狀況⑴簡單標(biāo)準(zhǔn)差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用來表示；標(biāo)準(zhǔn)差的平方又叫作方差，用來表示。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：總體單位總數(shù)第i個(gè)單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解：（比較：其銷售額的平均差為93.6元）即該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差為109.62元。⑵加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差——適用于分組資料標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式總體算術(shù)平均數(shù)第i組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第i組的變量值或組中值【例B】計(jì)算下表中某公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差。月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計(jì)—2000解：（比較：其工資的平均差為138.95元）即該公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差為167.9元。標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算。由同一資料計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果一般要略大于平均差。證明：由于冪平均數(shù)關(guān)于其階數(shù)遞增，平均差是1階冪平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差是2階冪平均數(shù)。簡單標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的簡捷計(jì)算避免離差平方和在計(jì)算過程中的出現(xiàn)目的:變量值平方的平均數(shù)變量值平均數(shù)的平方標(biāo)準(zhǔn)差的簡捷計(jì)算證明總方差、組間方差和組內(nèi)方差組內(nèi)方差：組內(nèi)標(biāo)志值對組平均數(shù)的方差，用表示第i組組內(nèi)方差。組間方差：組平均數(shù)對總平均數(shù)的方差，用表示組間方差。在總體分組的條件下，總方差等于組間方差與組內(nèi)方差平均數(shù)之和。即：方差加法定理：【例】根據(jù)某城市居民家計(jì)調(diào)查結(jié)果，將500戶居民按年收入水平分組后，分別觀察其恩格爾系數(shù)（食品支出占全部消費(fèi)支出的比重），整理得到如下的復(fù)合分組資料。試以恩格爾系數(shù)為考察變量，利用表中資料計(jì)算該變量的總方差、組內(nèi)方差和組間方差，并驗(yàn)證三者之間的數(shù)量關(guān)系。年收入水平合計(jì)2萬元以下2~5萬