第8章回歸分析預(yù)測

經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)與分析軟件應(yīng)用基礎(chǔ)第8章回歸分析預(yù)測學(xué)習(xí)要點(diǎn)理解回歸分析和相關(guān)性的概念掌握一元線性回歸的分析方法掌握將非線性問題變換成線性問題，然后求解非線性回歸的方法第8章回歸分析預(yù)測目錄8.1基本概念8.2一元線性回歸8.3多元線性回歸（略）8.4非線性回歸8.1基本概念社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系往往難以用確定性的函數(shù)關(guān)系來描述，它們大多是隨機(jī)性的，要通過統(tǒng)計(jì)觀察才能找出其中規(guī)律。比如：廣告的投入和銷售額兩者之間的關(guān)系。管理決策通常是建立在兩個(gè)或多個(gè)決策變量之間的依賴關(guān)系基礎(chǔ)上的。對于這類情況，可以使用因果關(guān)系法來進(jìn)行預(yù)測?；貧w分析（RegressionAnalysis）是因果關(guān)系法的一個(gè)主要類別，是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)上分析數(shù)據(jù)的方法，主要是希望探討數(shù)據(jù)之間是否有一種特定關(guān)系。8.1基本概念因果關(guān)系法的特點(diǎn)：由若干變量的觀測值來確定這些變量之間的依賴關(guān)系，從而由相關(guān)變量的未來值和尋找到的變量間的依賴關(guān)系來對某個(gè)變量進(jìn)行預(yù)測?！纠?】某快餐店的主要客戶群是在校大學(xué)生。為研究各店鋪銷售額與附近地區(qū)大學(xué)生人數(shù)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10個(gè)分店的樣本（見表）。根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立回歸模型，根據(jù)回歸模型預(yù)測一個(gè)區(qū)內(nèi)大學(xué)生人數(shù)為1.8萬的店鋪的季度銷售額。8.1基本概念自變量因變量目的方法自變量

在相互聯(lián)系的現(xiàn)象之間存在著一定的因果關(guān)系，這時(shí)把其中起著影響作用的現(xiàn)象具體化，通過一定的變量反應(yīng)出來，這樣的變量稱作自變量。因變量由于受到自變量變動(dòng)的影響而發(fā)生變動(dòng)的變量稱作因變量。8.1基本概念回歸分析按照涉及自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析。如果在回歸分析中，只包含一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。8.1基本概念回歸分析的方法：（1）確定變量（2）建立預(yù)測模型

（3）求參數(shù)（4）進(jìn)行相關(guān)分析

（5）計(jì)算預(yù)測誤差

（6）確定預(yù)測值8.1基本概念Excel中可用以下方法進(jìn)行回歸分析問題求解：圖表分析：

通過建立散點(diǎn)圖，然后添加趨勢線。使用回歸函數(shù)：（麻煩）

提供9個(gè)函數(shù)用于建立回歸模型和預(yù)測。利用規(guī)劃求解工具使用回歸分析工具（線性）規(guī)劃求解工具是最有效和最方便的求解工具8.1基本概念8.2一元線性回歸—模型最簡單的一種情況：問題只涉及兩個(gè)統(tǒng)計(jì)變量，即只有一個(gè)自變量和一個(gè)因變量的問題，且兩個(gè)變量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。對于這樣問題的回歸分析稱為一元線性回歸。一元線性回歸方程：其中：

a為常數(shù)項(xiàng)（截距、位移項(xiàng)），可大于、小于或等于零。b為回歸系數(shù)（斜率），可大于或小于零，但不能等于零。P2328.2一元線性回歸—模型條件如果滿足以下條件，則可以建立一元線性回歸模型：只研究兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系；根據(jù)有關(guān)經(jīng)濟(jì)理論，x、y之間存在相關(guān)或因果關(guān)系；x、y之間關(guān)系的散點(diǎn)圖近似為一條直線；建模的目的為得到x對y的邊際值，進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析或預(yù)測。8.2一元線性回歸—模型檢驗(yàn)建立了回歸模型，或者說找到了一條回歸線以后，還需要判斷：這條回歸線是否能夠解釋因變量Y的變化？檢驗(yàn)：1.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)——t統(tǒng)計(jì)量2.回歸方程的顯著性檢驗(yàn)——F統(tǒng)計(jì)量3.判定系數(shù)R28.2一元線性回歸—模型檢驗(yàn)（1）回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)——t統(tǒng)計(jì)量用來確定因變量和每個(gè)自變量之間是否存在顯著的關(guān)系。（2）回歸方程的顯著性檢驗(yàn)——F統(tǒng)計(jì)量用來確定自變量的全體與因變量之間的關(guān)系是否顯著。8.2一元線性回歸—模型檢驗(yàn)（3）判定系數(shù)R2

可以通過判定系數(shù)R2來判斷回歸方程的擬合優(yōu)度。通常認(rèn)為：當(dāng)判定系數(shù)大于0.9時(shí)，所得到的回歸直線擬合得較好。

當(dāng)判定系數(shù)小于0.5時(shí)，所得到的回歸直線很難說明變量之間的依賴關(guān)系。8.2一元線性回歸—模型檢驗(yàn)判定系數(shù)R2在Excel中有一個(gè)專門用于計(jì)算一元線性回歸判定系數(shù)的RSQ函數(shù)。語法：

RSQ(known_y,known_x)說明：known_y因變量各觀測值所在的單元格區(qū)域known_x自變量各觀測值所在的單元格區(qū)域8.2一元線性回歸—步驟與方法第一步：獲取自變量和因變量的觀測值。第二步：繪制觀測值X、Y散點(diǎn)圖（自變量為X軸、因變量為Y軸）。第三步：初步判斷自變量與因變量間的函數(shù)關(guān)系，寫出帶未知參數(shù)的回歸方程。第四步：用均方差最小原則，確定回歸方程中的參數(shù)的數(shù)值，從而得到回歸方程。8.2一元線性回歸——步驟與方法第五步：判斷回歸方程的擬合優(yōu)度。第六步：用所得到的回歸方程和給定的自變量值計(jì)算因變量的預(yù)測值，或者反過來，對于因變量的目標(biāo)值，利用回歸方程求自變量的值。【例8-1】某快餐店的主要客戶群是在校大學(xué)生。為研究各店鋪銷售額與附近地區(qū)大學(xué)生人數(shù)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10個(gè)分店的樣本。根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立回歸模型，根據(jù)回歸模型預(yù)測一個(gè)區(qū)內(nèi)大學(xué)生人數(shù)為1.8萬的店鋪的季度銷售額。8.2一元線性回歸8.2一元線性回歸要求：（1）采用規(guī)劃求解方法預(yù)測。（2）采用回歸分析報(bào)告預(yù)測。（3）在圖表中添加趨勢線及回歸公式和判定系數(shù)。注：該題中，大學(xué)生人數(shù)為自變量，銷售額為因變量。第一步：獲取自變量和因變量的觀測值8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測自變量因變量第二步：繪制觀測值X、Y散點(diǎn)圖8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測第三步：初步判斷自變量與因變量間的函數(shù)關(guān)系，寫出帶未知參數(shù)的回歸方程8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測假定a=1，b=1利用回歸方程計(jì)算預(yù)測值第四步：用均方差最小原則，確定回歸方程中的參數(shù)的數(shù)值，從而得到回歸方程。8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測觀測值Yi估計(jì)值Y'i8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測目標(biāo)函數(shù)決策變量規(guī)劃求解方法預(yù)測約束條件(可以缺省)目標(biāo)函數(shù)決策變量8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測第五步：判斷回歸方程的擬合優(yōu)度8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測第六步：用所得到的回歸方程和給定的自變量值計(jì)算因變量的預(yù)測值。8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測安裝Excel時(shí)選擇“完全安裝”或“自定義安裝”，不能選擇“典型安裝”。進(jìn)入Excel后加載：【文件】/【選項(xiàng)】/【Excel加載項(xiàng)】8.2一元線性回歸——采用回歸分析報(bào)告工具8.2一元線性回歸——采用回歸分析報(bào)告工具8.2一元線性回歸——采用回歸分析報(bào)告工具8.2一元線性回歸——采用回歸分析報(bào)告工具截距a斜率b擬合度判定系數(shù)R28.2一元線性回歸——采用圖表分析（趨勢線）【例8.2】某企業(yè)2010年3月至2011年6月銷售形勢穩(wěn)步增長，且銷售額與銷售時(shí)間（月序號(hào)）之間有線性關(guān)系：Y=a+bX。根據(jù)工作表中提供的數(shù)據(jù)建立一元線性回歸模型，要求：（1）用規(guī)劃求解法預(yù)測2011年第三季度的月銷售數(shù)據(jù)。（2）用回歸分析法預(yù)測2011年第三季度的月銷售數(shù)據(jù)。8.2一元線性回歸（3）繪制一個(gè)月序號(hào)-銷售額散點(diǎn)圖，在圖上添加線性趨勢線、線性回歸方程及判定系數(shù)R2的值，并與上述兩法所得到的截距a和斜率b的值進(jìn)行對照。（4）將用規(guī)劃求解法計(jì)算得到的2011年第三季度的月銷售數(shù)據(jù)的預(yù)測值添加到散點(diǎn)圖上（粉紅色的點(diǎn)子）。8.2一元線性回歸8.2一元線性回歸——采用規(guī)劃求解方法預(yù)測8.4非線性回歸在實(shí)際的問題中，因變量與自變量之間不是簡單的可以用一條直線來擬合的依賴關(guān)系，而是表現(xiàn)出一種非線性關(guān)系。非線性回歸分析方法就是用一條曲線來擬合因變量對于自變量的依賴關(guān)系。8.4非線性回歸根據(jù)問題的性質(zhì)，擬合曲線可以是指數(shù)曲線、對數(shù)曲線等多種曲線。具體采用何種曲線主要由兩個(gè)方面決定：自變量與因變量之間本身就存在某種內(nèi)在的函數(shù)依賴關(guān)系。根據(jù)由自變量和因變量觀測值作出的散點(diǎn)圖，看出它們之間的依賴關(guān)系。8.4非線性回歸方法1：添加趨勢線法方法2：規(guī)劃求解法方法3：回歸分析法一元非線性回歸的求解方法：8.4非線性回歸回歸分析法是解決一元線性問題的，因此在回歸分析前先需要將一元非線性問題轉(zhuǎn)換為一元線性問題，然后才可以通過回歸分析求解。即通過對變量的適當(dāng)變換，把非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，對新的變量作線性回歸，然后再還原到原來的變量?；貧w分析法冪函數(shù)

Y=aXb（a>0）設(shè)：U=lnXV=lnY則：V=lna+bU回歸分析法指數(shù)函數(shù)

Y=aebX（a>0）設(shè)：V=lnY則：V=lna+bX對數(shù)函數(shù)

Y=a+blnX設(shè)：U=lnX則：Y=a+bU兩個(gè)函數(shù)指數(shù)函數(shù)EXP(number)返回e的n次冪。常數(shù)e等于2.71828182845904，是自然對數(shù)的底數(shù)。對數(shù)函數(shù)LN(number)返回一個(gè)數(shù)的自然對數(shù)。自然對數(shù)以常數(shù)項(xiàng)e(2.71828182845904)為底。8.4一元非線性回歸【例8-3】某企業(yè)連續(xù)13年對某產(chǎn)品年銷售額如工作表中數(shù)據(jù)所示。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ停螅海?）使用添加趨勢線的方法來預(yù)測第14年的年銷售額的預(yù)測值。（2）使用規(guī)劃求解的方法來預(yù)測第14年的年銷售額的預(yù)測值。（3）使用回歸分析法來預(yù)測第14年的年銷售額的預(yù)測值。8.4一元非線性回歸——采用回歸分析報(bào)告工具【分析】觀察年銷售額的散點(diǎn)圖，可以注意到年銷售額是一個(gè)典型的指數(shù)函數(shù)特征，因此可以用指數(shù)函數(shù)來擬合。

即：Y=aebX

在進(jìn)行回歸分析前需要先進(jìn)行變量替換，即：

lnY=lna+bX8.4

一元非線性回歸【例8-4】工作表已有1952年至2001年的鋼鐵產(chǎn)量數(shù)據(jù)，請?jiān)趩卧駞^(qū)域G2:G4中寫出指數(shù)回歸方程的相關(guān)參數(shù)，并預(yù)測2002年至2005年的鋼鐵產(chǎn)量及建立歷年的鋼鐵產(chǎn)量指數(shù)回歸預(yù)測模型圖。回歸方程的形式是：Y=aebx。（1）使用數(shù)學(xué)方法及變量代換將此問題轉(zhuǎn)化為一元線性回歸問題。（2）在單元格區(qū)域C2:C31中填入新變量U的值。8.4一元非線性回歸（3）以新變量U為因變量、“年份”字段為自變量，用規(guī)劃求解法求參數(shù)ln(a)和b的最優(yōu)值。注：此處“規(guī)劃求解”要調(diào)用兩次：第一次