圓錐網(wǎng)線引入課之眾“設(shè)”紛紜1

妥善協(xié)調(diào)各方面的利益關(guān)系

正確處理人民內(nèi)部矛盾

授課人：黃靜中共云南省委黨校圓錐曲線引入課之眾“設(shè)”紛紜

學(xué)習(xí)案例

方案一由平面載圓錐得到載口曲線引入

我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面載圓錐，載口曲線是一個(gè)圓。如果改變平面與圓錐曲線的夾角，會(huì)得到什么圖形呢？

用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面載圓錐，當(dāng)平面與圓錐的軸的夾角不同時(shí)，可以得到不同的曲線，這是怎樣一些曲線？

初中時(shí)同學(xué)們已經(jīng)從平面幾何的視角對(duì)圓進(jìn)行了學(xué)習(xí)，高一時(shí)又從方程的視角對(duì)圓進(jìn)行了再次研究，在接下來的學(xué)習(xí)中我們將對(duì)另外三種圓錐曲線進(jìn)行類似的研究。

這些曲線分別是橢圓、拋物線和雙曲線。(通過圖形演示）

我們通常把圓、橢圓、拋物線和雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。方案二由動(dòng)點(diǎn)成線的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)引入

實(shí)驗(yàn)1：取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端拉開一段距離并固定在圖板的兩點(diǎn)A、B處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)鉛筆，探究此時(shí)筆尖畫出的軌跡。（演示）

實(shí)驗(yàn)2：取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在圖板的兩點(diǎn)A、B處，把筆尖放在拉鏈頭處，隨著拉鏈逐漸拉開或閉攏，思考筆尖將畫出怎樣的圖形。（演示）

實(shí)驗(yàn)3：取一條有彈性的皮筋，把它的一端綁定在圖板上的，在一根滑軌L內(nèi)可移動(dòng)的小油輪N上，另一端固定在滑軌旁邊的一點(diǎn)F處，將鉛筆放在皮筋中點(diǎn)處，然后不同程度地拉伸皮筋，保持鉛筆兩側(cè)的皮筋長相等，移動(dòng)鉛筆，這時(shí)筆尖畫出的又是什么曲線。（演示）方案三由生活情境蘊(yùn)涵和科學(xué)知識(shí)引入

實(shí)例1：電影放映機(jī)的聚光燈有一個(gè)反射鏡，它的形狀是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢圓面，為了使片門（電影膠片通過的地方）處獲得最強(qiáng)的光線，一般將燈絲F2與片門F1置于條橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處。（并畫出草圖）

實(shí)例2：生活中人們所用的手電筒，能讓一只很小的燈泡發(fā)出的射向各方的光，經(jīng)過適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，射出一束較強(qiáng)的平行光線，這其中起主要作用的是裝在小燈泡后面的一個(gè)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋物面狀的反光鏡。（并畫出草圖）

實(shí)例3：攝影師在室內(nèi)拍照時(shí)，由于自然光線不足，常常需要借助閃光燈或其它照明燈具。為了獲得足夠的亮度，又使光線盡可能的柔和，攝影師所用的室內(nèi)燈的反射鏡面專門做成雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀，并讓燈絲恰好位于焦點(diǎn)處。（畫出圖形）

這三個(gè)實(shí)例都是學(xué)生在生活中耳聞目見的，其中蘊(yùn)藏著怎樣的科學(xué)原理？學(xué)生一定會(huì)在驚訝于這些情境的同時(shí)，迫切地希望通過學(xué)習(xí)弄個(gè)水落石出。教師則趁機(jī)給出待研究的課題：這些例子中包含著即將學(xué)習(xí)的圓錐曲線的有關(guān)知識(shí)，而且都用到圓錐曲線具有的奇妙的光學(xué)性質(zhì)。XYABMO方案五

由類比推理原理從原有認(rèn)識(shí)生成引入

類比1（由圓類比橢圓）圓是平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形。那么，如果將一個(gè)定點(diǎn)改為兩個(gè)定點(diǎn)，將定長改為到兩定點(diǎn)距離等于之和為定長，這樣的點(diǎn)將組成怎樣的平面幾何圖形？

類比2（由橢圓類比雙曲線）橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離等于之和為定長（大于兩點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的集合。那么，如果將“距離之和”改為“距離之差”（小于兩點(diǎn)間距離），進(jìn)而改為“距離之差的絕對(duì)值”（小于兩點(diǎn)間距離），滿足條件的點(diǎn)的集合組成什么樣的曲線？

類比3：（由橢圓、雙曲線類比拋物線）橢圓、雙曲線是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離滿足一定條件的點(diǎn)的集合。那么，如果將兩個(gè)定點(diǎn)改為一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線（定點(diǎn)不在定直線上），將距離之和或之差改為距離相等。這樣的點(diǎn)的集合又組成什么圖形？AOQPIAOQPIFMDIABF

評(píng)析：這種引入方式用一種統(tǒng)一的形式展示了“圓錐曲線”得名的緣起，讓學(xué)生在一個(gè)立方體幾何圖形情境中體驗(yàn)解析幾何研究對(duì)象的相互關(guān)系。

學(xué)生“開門見山”地認(rèn)識(shí)了一個(gè)圓錐曲線大家庭，為依次研究其中的每位“家庭成員”的個(gè)體特征做了自然的鋪陳。同時(shí)教師重視并合理使用教材的章頭圖及引言，無形中也向?qū)W生傳達(dá)了重視教材、深挖內(nèi)涵的求知信號(hào)。但由于“截”是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，要讓學(xué)生建構(gòu)起“截口曲線”的概念，需要借助幾何畫板等工具加以展現(xiàn)。

評(píng)析：這種引入方式具有較強(qiáng)的可操作性，所用工具簡(jiǎn)單易得，每位學(xué)生都可以獨(dú)立制作實(shí)踐。通過這組實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可形成對(duì)圓錐曲線的直觀認(rèn)知印象，同時(shí)也將運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)下的“曲線是由動(dòng)點(diǎn)生成的軌跡”這一幾何特質(zhì)在實(shí)踐中得到內(nèi)化。當(dāng)然，實(shí)驗(yàn)的效果取決于“操作”的精度，稍有不“慎”，就可能產(chǎn)生一組“牽強(qiáng)附會(huì)”的圓錐曲線，這是教學(xué)中需要引起注意的。

評(píng)析：這種引入方式的最大亮點(diǎn)是能夠很大程度地激起學(xué)生的求知欲，使學(xué)生情不自禁在于平凡中見“神奇”，真正起到情境設(shè)計(jì)在引入教學(xué)中的作用。事實(shí)上，奇妙的光學(xué)性質(zhì)背都蘊(yùn)涵著奇妙的數(shù)學(xué)關(guān)系。而圓錐曲線是所有曲線中最常見的，它有著極其廣泛的用途。上述應(yīng)用只是圓錐曲線在生活中的部分體現(xiàn)。這些光學(xué)性質(zhì)均源于它的切線和法線的性質(zhì)。并且都可以通過解析幾何知識(shí)加以證明?？紤]到上述實(shí)例其實(shí)只給出了“旋轉(zhuǎn)圓錐曲面”的形象。因此，教師要花功夫“引導(dǎo)性”地“提取”包含其中的圓錐曲線，才能順利過渡到教學(xué)需求。

評(píng)析：這種引入方式實(shí)質(zhì)上是“借題發(fā)揮”，讓學(xué)生經(jīng)歷前面所學(xué)的“曲線與方程”的解題訓(xùn)練，并在教師引導(dǎo)下觀察分析問題條件間的聯(lián)系，產(chǎn)生對(duì)相關(guān)結(jié)論的聯(lián)想，為隨后逐次揭開圓錐曲線的“面紗”，以及最終由圓錐曲線的“統(tǒng)一定義”予以系統(tǒng)解釋提供鋪墊。當(dāng)然，這種基于由數(shù)（方程）導(dǎo)形（曲線）思想方式，較之由形（曲線）生數(shù)（方程），能否顯得更自然，需要教師在教學(xué)中加以斟酌。

評(píng)析：這種引入方式即著重于從條件的類比變化探求新曲線的產(chǎn)生，包含了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)散思維，也滲透了數(shù)學(xué)研究的漸變思想；同時(shí)站在集合觀點(diǎn)下解剖圓錐曲線是怎樣由點(diǎn)組成的感知。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生已然在“潛移默化”中經(jīng)歷了一個(gè)重新認(rèn)識(shí)舊知識(shí)到創(chuàng)新衍生新知的知識(shí)探求歷程。對(duì)于類比基礎(chǔ)較好的學(xué)生，經(jīng)過老師的點(diǎn)撥，應(yīng)該能達(dá)到預(yù)設(shè)的效果，否則，要想這一引入成為自然需要老師有較高的引領(lǐng)水平和藝術(shù)。

評(píng)析：這種引入方式是讓學(xué)生從熟悉的平面幾何情境中，思考推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，激發(fā)進(jìn)一步探索所得曲線幾何特性的興趣。教師借此由平面幾何導(dǎo)入解析幾何，既能讓學(xué)生深刻體會(huì)兩部分內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，感情人“渾然天成”之味，又能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的同時(shí)溫故舊知，有一舉兩得之益。與方案4類似，選擇這個(gè)方案需要老師解決好一個(gè)問題，如何順暢地實(shí)現(xiàn)先的數(shù)（方程），再去分析研究對(duì)應(yīng)的形（曲線），才能優(yōu)化教學(xué)。

評(píng)析：這種引入方案中的折紙游戲，只需要學(xué)生按指定規(guī)則進(jìn)行操作，簡(jiǎn)便易行，對(duì)學(xué)生來說很具吸引力，折紙實(shí)驗(yàn)形成的圓錐曲